Unidad imaginaria

 

Se llama así al número sqrt{-1} y se designa por la letra i

 

sqrt{-1}=i

 

Las raíz cúbica de -1 no es un numero imaginario ni complejo.

 

sqrt[3]{-1}=-1Rightarrow (-1)^{3}=(-1)(-1)(-1)=-1

 

Ejemplos con unidad imaginaria

 

1sqrt{-4}=sqrt{(4)(-1)} = sqrt{4}sqrt{-1}=sqrt{4} i= 2i

 

2sqrt{-7}=sqrt{left ( 7 right )left ( -1 right )}=sqrt{7}sqrt{-1}=sqrt{7}i approx 2.64575 i

 

3sqrt[3]{-8}=sqrt[3]{left ( 8 right )left ( -1 right )}=sqrt[3]{8} sqrt[3]{-1}=left ( 2 right )left ( -1 right )=-2

 

4 sqrt[3]{-10}=sqrt[3]{left ( 10right )left ( -1 right )}=sqrt[3]{10}sqrt[3]{-1}=sqrt[3]{10}left ( -1 right )=-sqrt[3]{10}approx-2.15443.....

 

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Vamos

Número complejo

 

Al número z=a+bi se le llama número complejo en forma binómica o binomial. En general, cualquier número complejo se denota por la letra z.

 

Al número a se llama parte real del número complejo y se denota por a=Re(z) , mientras que al número b se llama parte imaginaria del número complejo y se denota por b=Im(z) .

 

Si la parte imaginaria de un número complejo vale cero, esto es b = 0, se reduce a un número real a, ya que z =a + 0i = a.

 

Si la parte real de un número complejo vale cero, esto es a = 0, el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un número imaginario puro.

 

En general, al conjunto de todos números complejos se le designa por el símbolo mathbb{C}. De una manera más formal, utilizando notación de conjuntos, se le denota como:

 

mathbb{C}=left { a+bi | a,b in mathbb{R}right }}

 

Los números complejos a + bi  y -a - bi se llaman opuestos o contrarios.

 

Los números complejos z = a + bi y overline{z}=a-bi se llaman complejos conjugados.

 

Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma componente imaginaria, es decir:

 

{z_{1}=a+bi}

z_{2}=c+di

 

con  a=c  o  {Re{left ( z_{1} right )=Releft ( z_{2} right )}}b=d  o  {Im{left ( z_{1} right )=Imleft ( z_{2} right )}}

 

Representación gráfica de los números complejos

 

Los números complejos se representan gráficamente en el plano cartesiano (que en este caso de va a llamar plano complejo, PC por sus iniciales) en forma de vector posicional, es decir, un vector cuyo punto inicial es el origen y su punto final el punto (a,b), también llamado afijo del número complejo. El eje X se llama eje real y el eje Y, eje imaginario.

 

Al plano complejo también se le conoce como plano de Argand.

Representación gráfica de los números complejos
Representación gráfica de los números complejos

 

Potencias de la unidad imaginaria

 

i^{o}=1

 

i^{1}=i

 

i^{2}=-1, ya que i=sqrt{-1}Rightarrow i^2=(sqrt{-1})^2 Rightarrow i^2=-1

 

i^3=-i,   ya que  i^{3}=i^{2}i=(-1)i=-i

 

i^{4}=1,   ya que  i^{4}=i^{2}i^{2}=(-1)(-1)=1   o  i^{4}=i^{3}i=(-i)i=-i^{2}=-(-1)=1

 

 

Ejemplos de potencias superiores de números complejos

 

1i^{22}=i^{20}cdot i^{2}=(i^{4})^{5} cdot i^{2}=(1)^{5} cdot(-1)=-1

 

2i^{27}=i^{24}cdot i^{3}=(i^{4})^{6} cdot i^{3}=1^{6} cdot(-i)=-i

 

3i^{125}=i^{120}cdot i^{5}=(i^{2})^{60} cdot i^{4} cdot i=(-1)^{60} cdot(1)cdot i =(1)cdot (1)cdot(i)=i

 

4i^{500}=(i^{4})^{125}=(1)^{125}=1

 

Números imaginarios puros

 

Un número imaginario puro se denota por:

 

z=bi

 

donde:

 

b es un número real.

i es la unidad imaginaria.

 

Recordemos que su parte real es 0, es decir, a=Re(z)=0. A los números complejos cuya parte real es distinta de cero también se les puede llamar simplemente números imaginarios.

 

Operaciones de complejos en forma binómica

 

Suma y diferencia de números complejos

 

La regla para sumar o restar dos números complejos a+bi y c+di es sumar/restar parte real de uno con parte real del otro y parte imaginaria de uno con parte imaginaria del otro.

 

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

 

(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i

 

Cuando se tienen suma y resta combinadas de varios números complejos, se suman y/o restan las partes reales con las partes reales y las partes imaginarias con las partes imaginarias.

 

Ejemplos:

 

1(5-8i)+(7+6i)

 

begin{array}{rcl}(5-8i)+(7+6i) & = & (5+7)+(-8+6)i \\ & = & 12 +(-2)i end{array}

 

2(3-i)-(-8-9i)

 

begin{array}{rcl}(3-i)-(-8-9i) & = & (3-(-8))+(1-(-9))i \\ & = & (3+8)+(-1+9)i \\ & = & 11 +8i end{array}

 

3(5+2i)+(-8+3i)-(4-2i)

 

begin{array}{rcl}(5+2i)+(-8+3i)-(4-2i) & = & (5+(-8)-4)+(2i+3i -(-2i)) \\ & = & (5-8-4)+(2+3+2)i \\ & = & -7 +7i end{array}

 

La suma y resta de números complejos también se puede operar como suma y resta de polinomios, ya que los números complejos están expresados de la forma binómica.

Ejemplo:

 

begin{array}{rcl}-(5+2i)-(-4-10i)+(1-i)-(-1+i) & = & -5-2i+4+10i+1-i+1-i \\ & = & -5+4+1+1-2i+10i-i+i \\ & = & 1+6i end{array}

 

Producto de números complejos

 

El producto o multiplicación de números complejos expresados en la forma binómica se opera de acuerdo a la siguiente fórmula:

 

(a+bi)cdot(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

 

o también puede efectuarse como el producto de binomios.

 

Ejemplo de acuerdo a la fórmula:

 

begin{array}{rcl}(2-5i)cdot(3+2i) & = & left [ (2)(3)-(-5)(2) right ]+left [ (2)(2)+(-5)(3) right ]i \\ & = & (6+10)+(4-15)i \\ & = & 16+(-11)i \\ & = & 16-11i end{array}

 

Ejemplo como producto de binomios:

 

begin{array}{rcl}(5+2i)cdot(2-3i) & = & 10-15i+4i-6i^{2} \\ & = & 10-11i+6 \\ & = & 16-11i end{array}

 

Cociente de números complejos

 

La división de dos números complejos expresados como fracción se efectúa multiplicando tanto el numerador como el denominador de dicha fracción por el complejo conjugado del denominador y, posteriormente, realizando las simplificaciones correspondientes hasta expresar el resultado de la forma a+bi.

 

begin{array}{rcl}displaystyle frac{a+bi}{c+di} & = & cfrac{(a+bi)cdot(c-di)}{(c+di)cdot (c-di)} \\ & = & cfrac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^{2}+d^{2}} \\ & = & cfrac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}}+cfrac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}}i end{array}

 

Ejemplos:

 

1displaystyle frac{3+2i}{1-2i}

 

begin{array}{rcl}displaystyle frac{3+2i}{1-2i} & = & cfrac{(3+2i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)} \\ & = & cfrac{3+6i+2i+4i^{2}}{1-(2i)^{2}} \\ & = & displaystyle frac{3-8i+4(-1)}{1-4i^{2}} \\ & = & cfrac{3-8i-4}{1-4(-1)} \\ & = & cfrac{-1+8i}{5} end{array}

 

2displaystyle frac{1-2i}{1+2i}

 

begin{array}{rcl}displaystyle frac{1-2i}{1+2i} & = & cfrac{(1-2i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)} \\ & = & displaystylefrac{1-2i-2i+4i^{2}}{1-(2i)^{2}} \\ & = & cfrac{1-4i+4(-1)}{1-4i^{2}} \\ & = & displaystyle frac{1-4i-4}{1-4(-1)} \\ & = & cfrac{-3-4i}{5} end{array}

 

Modulo y argumento de números complejos

 

El módulo de un número complejo (z=a+bi) representado gráficamente es la medida del vector desde su punto inicial (origen) hasta su afijo o punto final (a,b) Se designa por left | z right |.

 

Si se aplica el teorema de Pitágoras al triángulo abr de la siguiente figura, se obtiene la fórmula para calcular el módulo de un número complejo
 
Representación gráfica de un número complejo en el primer cuadrante del PC(1)

 

 r=|z|=sqrt{a^{2}+b^{2}}}

 

El argumento de un número complejo es el ángulo positivo ( el cual gira en sentido contrario a las manecillas del reloj) que forma el vector con la parte positiva del eje real. Se designa por arg(z)=theta  y se calcula mediante las siguientes fórmulas, dependiendo el cuadrante en el que se ubica el número complejo.

 

Primer cuadrante

 

Representación gráfica de un número complejo en el primer cuadrante del PC(2)

 

theta =arg(z)=arctgleft ( frac{+b}{+a} right )

 

Segundo cuadrante

 

Representación gráfica de un número complejo en el segundo cuadrante del PC

 

 alpha=arctgleft ( frac{b}{-a} right ) Rightarrow theta=arg(z)=180-|alpha |}}

 

Tercer cuadrante

 

Representación gráfica de un número complejo en el tercer cuadrante del PC

 

alpha=arctgleft ( frac{-b}{-a} right ) Rightarrow theta=arg(z)=180+|alpha |}}

 

Cuarto cuadrante

 

Representación gráfica de un número complejo en el cuarto cuadrante del PC

 

mathbf alpha=arctgleft ( frac{-b}{a} right ) Rightarrow theta=arg(z)=360-|alpha |}}

 

Ejemplos: Calculemos el módulo y el argumento de los siguientes números complejos. También hagamos su representación gráfica.

 

1 z = 8 + 6i

 

Calculamos el módulo

 

r=|z|=sqrt{8^{2}+6^{2}}=sqrt{64+36}=sqrt{100}={10}

 

Calculamos el argumento

 

theta=arg(z)=arctg left( cfrac{6}{8}right) = 36.87^o

 

Representación gráfica

 

Gráfica del número complejo z = 8 + 6i

 

2z = -sqrt{8}-sqrt{8}i

 

Calculamos el módulo

 

r=left | z right |=sqrt{(-sqrt{8})^{2}+(-sqrt{8})^{2}} =sqrt{8+8}=sqrt{16}={4}

 

Calculamos el argumento

 

alpha=arctg left( cfrac{-sqrt{8}}{-sqrt{8}}right) = 45^o

 

theta=arg(z)= 180^o + alpha = 225^o

 

Representación gráfica

 

Gráfica del número complejo -2.82843 - 2.82843i

 

Números complejos en forma polar y trigonométrica

 

Representación gráfica de un número complejo

 

Para obtener las partes real e imaginaria a y b respectivamente, del número complejo en función de su modulo y de su argumento, se aplican las definiciones de las funciones seno y coseno al ángulo alpha en el triángulo abr de la figura anterior.

 

cos , alpha = cfrac{a}{r}    Longrightarrow    a = r , cos , alpha

 

sen , alpha = cfrac{b}{r}    Longrightarrow    b = r , sen , alpha

 

Posteriormente, la forma trigonométrica y polar del número completo se expresa así:

 

z = a + ib = r(cos , alpha + i , sen , alpha) = r_{alpha}

 

En la siguiente tabla se resumen las formas rectengular (binómica), polar y trigonométrica
de cualquier número complejo.

 

Binómica z = a + ib
Polar z = r_{alpha}
Trigonométrica z = r (cos , alpha + i , sen alpha)

 

Números complejos iguales, conjugados y opuestos en las formas trigonométrica y polar

 

La siguiente gráfica muestra la representación tanto polar como trigonométrica de un número complejo r_{alpha}, su complejo conjugado r_{-alpha} y su complejo opuesto r_{alpha + pi}.

 

Representaciones polar y trigonométrica de número complejo, su conjugado y su opuesto

 

Números Complejos Iguales

 

r_{alpha} = r'_{alpha'}    Longleftrightarrow    left { begin{array}{l} r = r' \ alpha' = alpha + 2 pi k end{array} right.

 

k = 0, 1, 2, dots

 

Números Complejos Conjugados

 

r_{alpha}  conjugado  r'_{alpha'}    Longleftrightarrow    left { begin{array}{l} r = r' \ alpha' = -alpha + 2 pi k end{array} right.

 

k = 0, 1, 2, dots

 

Números Complejos Opuestos

 

r_{alpha}  opuesto  r'_{alpha'}    Longleftrightarrow    left { begin{array}{l} r = r' \ alpha' = (alpha + pi) + 2 pi k end{array} right.

 

k = 0, 1, 2, dots

 

Producto de números complejos en forma polar

 

Fórmula

 

r_{alpha} cdot r'_{beta} = (r cdot r')_{alpha + beta}

 

Ejemplos:

 

16_{45^o} cdot 3_{15^o}

 

6_{45^o} cdot 3_{15^o} = (6 cdot 3)_{45^o + 15^o} = 18_{60^o}

 

27_{135^o} cdot 2_{45^o}

 

7_{135^o} cdot 2_{45^o} = (7 cdot 2)_{135^o + 45^o} = 14_{180^o}

 

Producto por un número complejo de módulo 1

 

Al multiplicar un número complejo z = r_{alpha} por 1_{beta} se gira z un ángulo beta alrededor del origen.

 

r_{alpha} cdot 1_{beta} = r_{alpha + beta}

 

Cociente de números complejos en forma polar

 

Fórmula:

 

cfrac{r_{alpha}}{r'_{beta}} = left ( cfrac{r}{r'} right )_{alpha - beta}

 

Ejemplos:

 

16_{45^o} : 3_{15^o}

 

6_{45^o} : 3_{15^o} = (6 : 3)_{45^o - 15^o} = 2_{30^o}

 

2cfrac{15_{225^o}}{3_{80^o}}

 

cfrac{15_{225^o}}{3_{80^o}} = left (cfrac{15}{3} right )_{225^o - 80^o} = 5_{145^o}

 

Potencia de números complejos en forma polar

 

Fórmula:

 

 

(r_alpha)^n = (r)^n_{n cdot alpha}

 

Ejemplos:

 

1(2_{30^o})^4

 

(2_{30^o})^4 = (2)^4_{4 cdot 30^o} = 16_{120^o}

 

2(4_{45^o})^3

 

(4_{45^o})^3 = (4)^3_{3 cdot 45^o} = 64_{135^o}

 

Fórmula de DeMoivre

 

El Teorema de DeMoivre sirve para obtener potenciaciones enteras positivas de números complejos expresados en su forma trigonométrica.

 

La fórmula de DeMoivre es:

 

(cos , theta + i , sen , theta)^n = (cos , ntheta + i , sen , ntheta)

 

 

Si se aplica a la n-ésima potencia de un número complejo expresado en su forma polar:

 

(a + ib)^n = (r , cos , theta + i , r , sen , theta)^n = r^n (cos , ntheta + i , sen , ntheta)

 

Ejemplo:

 

Se va a efectuar la potenciación del siguinte numero complejo expresado en su forma binómica, utilizado la forma trigonométrica y el teorema de DeMoivre, ya que empleando expansión binomial se haría algo tardado y tedioso.

 

(-1 + i)^8

 

Paso 1. Se calcula el modulo y el argumento de la base de la potenciación, que es el número complejo sin exponente.

 

z = -1 + i

 

Módulo:

 

r = |z| = sqrt{(-1)^2 + 1^2} = sqrt{2}

 

Argumento:

 

alpha = arctg left ( cfrac{1}{-1}right ) = -45^o

 

theta = arg(z) = 180^o - |-45^o| = 135^o

 

Paso 2. Se expresa el número complejo en su forma trigonométrica

 

r_{alpha} = r(cos , theta + i , sen , theta)

 

sqrt{2}_{135^o} = sqrt{2}(cos , 135^o + i , sen , 135^o)

 

Paso 3. Se aplica la fórmula de DeMoivre.

 

begin{array}{rcl}(-1 + i)^8 & = & left [sqrt{2}(cos , 135^o + i , sen , 135^o)^8 \\ & = & (sqrt{2})^8 (cos , 8 cdot 135^o + i, sen , 8 cdot 135^o) \\  & = & 16(cos , 1080^o + i, sen , 1080^o) \\  &= & 16(1 + i , 0) \\ & = & 16 end{array}

 

Paso 4. Se escribe el resultado sin procedimiento.

 

(-1 + i)^8 = 16

 

Raíz n-ésima de números complejos en forma polar

 

Todo número complejo (excepto el cero) tiene exactamente n raíces n - ésimas diferentes.

 

sqrt[n]{z} = z^{frac{1}{n}} = r^{frac{1}{n}} left [ cos left ( cfrac{theta + 360^o k}{n} right ) + i , sen left ( cfrac{theta + 360^o k}{n} right )right ]

 

k = 0, 1, 2, dots, n-1

 

Ejemplo:

 

sqrt[6]{1 + i}

 

Paso 1. Se calculan el módulo y argumento del número complejo del cual se está extrayendo raíz sexta

 

z = 1 + i

 

Módulo

 

r = |z| = sqrt{1^2 + 1^2} = sqrt{2}

 

Argumento

 

theta = alpha = arg(z) = arctg left( cfrac{1}{1}right ) = 45^o

 

Paso 2. Se sustituyen los datos en la fórmula para extraer las n=6 ráices n- ésimas del número complejo z=1 + i.

 

sqrt[6]{1 + i} = (1 + i)^{frac{1}{6}} = (sqrt{2})^{frac{1}{6}} left [ cos left ( cfrac{45^o + 360^o k}{6} right ) + i , sen left ( cfrac{45^o + 360^o k}{6} right )right ]

 

Paso 3. Se varía el valor de k desde k = 0 hasta k = n - 1 = 5 para obtener las 6 raíces n-ésimas de z = 1 + i

 

Para k=0

 

begin{array}{rcl}sqrt[6]{1 + i} & = & (1 + i)^{frac{1}{6}} = (sqrt{2})^{frac{1}{6}} left [ cos left ( cfrac{45^o + 360^o (0)}{6} right ) + i , sen left ( cfrac{45^o + 360^o (0)}{6} right )right ] \\ & = & 1.05040 + 0.13829 i end{array}

 

Para k=1

 

begin{array}{rcl}sqrt[6]{1 + i} & = & (1 + i)^{frac{1}{6}} = (sqrt{2})^{frac{1}{6}} left [ cos left ( cfrac{45^o + 360^o (1)}{6} right ) + i , sen left ( cfrac{45^o + 360^o (1)}{6} right )right ] \\ & = & 0.40544 + 0.97882 i end{array}

 

Para k=2

 

begin{array}{rcl}sqrt[6]{1 + i} & = & (1 + i)^{frac{1}{6}} = (sqrt{2})^{frac{1}{6}} left [ cos left ( cfrac{45^o + 360^o (2)}{6} right ) + i , sen left ( cfrac{45^o + 360^o (2)}{6} right )right ] \\ & = & -0.64496 + 0.84053 i end{array}

 

Para k=3

 

begin{array}{rcl}sqrt[6]{1 + i} & = & (1 + i)^{frac{1}{6}} = (sqrt{2})^{frac{1}{6}} left [ cos left ( cfrac{45^o + 360^o (3)}{6} right ) + i , sen left ( cfrac{45^o + 360^o (3)}{6} right )right ] \\ & = & -1.05040 - 0.13829 i end{array}

 

Para k=4

 

begin{array}{rcl}sqrt[6]{1 + i} & = & (1 + i)^{frac{1}{6}} = (sqrt{2})^{frac{1}{6}} left [ cos left ( cfrac{45^o + 360^o (4)}{6} right ) + i , sen left ( cfrac{45^o + 360^o (4)}{6} right )right ] \\ & = & -0.40544 - 0.97882 i end{array}

 

Para k=5

 

begin{array}{rcl}sqrt[6]{1 + i} & = & (1 + i)^{frac{1}{6}} = (sqrt{2})^{frac{1}{6}} left [ cos left ( cfrac{45^o + 360^o (5)}{6} right ) + i , sen left ( cfrac{45^o + 360^o (5)}{6} right )right ] \\ & = & 0.64496 - 0.84053 i end{array}

 

Representación gráfica de las 6 raíces del número complejo z = 1 + i

 

Diagrama de radar de las 6 raíces n-ésimas de z=1 + i

Co-autor: Luis Felipe Velázquez León

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗