Marta

1 junio 2019

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Módulo de un número complejo

 

El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por \left | z \right |.

 

r_{\alpha }\cdot 1_{\beta }=r_{\alpha +\beta }

 

 

El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa por \textup{arg}(z).

Para calcular el argumento, calculamos el \arctan \frac{b}{a} prescisdiendo de los signos, para ubicar el cuadrante en que se encuentra tendremos en cuenta:

 

Números imaginarios. Representación gráfica

 

Expresión de un número complejo en forma polar

 

x=r_{\alpha }

 

\left | z \right |=r(r es el módulo)

 

\textup{arg}(z)=\alpha (\alpha es el argumento)

 

Ejemplos de conversión de la forma polar a la forma binómica:

 

z=2_{120^{\circ}}

 

Para pasar de la forma polar a la binómica, tenemos que pasar en primer lugar a la forma trigonométrica:

 

z=r_{\alpha }=r(\cos \alpha +i\sin \alpha )

 

\cfrac{r_{\alpha }}{r^{t}_{\beta }}=\left ( \cfrac{r}{r^{t}} \right )_{\alpha -\beta }

Reales e imaginarios puros de módulo unidad:

 

z=1_{0^{\circ}}=1

 

z=1_{180^{\circ}}=-1

 

z=1_{90^{\circ}}=i

 

z=1_{270^{\circ}}=-i

 

 

Ejemplos de pasar a la forma polar

 

 

16_{45^{\circ}}\div 3_{15^{\circ}}=(6\div 3)_{45^{\circ}-15^{\circ}}=2_{30^{\circ}}

 

 

2z=-1+\sqrt{3}i

 

\left | z \right |=\sqrt{(-1)^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=2

 

\alpha =\arctan \cfrac{+\sqrt{3}}{-1}=120^{\circ}

 

z=2_{120^{\circ}}

 

3z=-1-\sqrt{3}i

 

\left | z \right |=\sqrt{(-1)^{2}+(-\sqrt{3})^{2}}=2

 

\alpha =\arctan \cfrac{-\sqrt{3}}{-1}=240^{\circ}

 

z=2_{240^{\circ}}

 

4z=1-\sqrt{3}i

 

\left | z \right |=\sqrt{1^{2}+(-\sqrt{3})^{2}}=2

 

\alpha =\arctan \cfrac{-\sqrt{3}}{+1}=300^{\circ}

 

z=2_{300^{\circ}}

 

5z=2

 

\left | z \right |=\sqrt{2^{2}+0^{2}}=2

 

\alpha =\arctan \cfrac{0}{+2}=0^{\circ}

 

z=2_{0^{\circ}}

 

6z=-2

 

\left | z \right |=\sqrt{-2^{2}+0^{2}}=2

 

\alpha =\arctan \cfrac{0}{-2}=180^{\circ}

 

z=2_{180^{\circ}}

 

7z=2i

 

\left | z \right |=\sqrt{0^{2}+2^{2}}=2

 

\alpha =\arctan \cfrac{2}{0}=90^{\circ}

 

z=2_{90^{\circ}}

 

8z=-2i

 

\left | z \right |=\sqrt{0^{2}+(-2)^{2}}=2

 

\alpha =\arctan \cfrac{-2}{0}=270^{\circ}

 

z=2_{270^{\circ}}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗