Forma trigonométrica

 

{a + bi = r(cos\; \alpha + i \; sen \; \alpha)}

 

Ejemplo de numeros complejos en forma trigonometrica representación gráfica

 

{a=r\; cos\; \alpha, \ \ \  b= r \; sen \; \alpha}

 

Formas:

 

Binómica{z = a + bi}
Polar{z = r_{\alpha}}
Trigonométrica{z = r(cos \; \alpha + i\; sen \; \alpha)}

 

Ejemplo 1

 

{z=1+i\sqrt{3}}

 

Calculamos {|z|} y {\alpha}

 

{|z|=\sqrt{(1)^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=2}

 

{\alpha=arc\; tg \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{1}=60^{o}}

 

Tenemos

 

{z=2_{60^{o}}=2(cos\; 60^{o} + i\; sen\; 60^{o})}

 

Ejemplo 2

 

{z=-1+i\sqrt{3}}

 

Calculamos {|z|} y {\alpha}

 

{|z|=\sqrt{(-1)^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=2}

 

{\alpha=arc\; tg \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{-1}=120^{o}}

 

Tenemos

 

{z=2_{120^{o}}=2(cos\; 120^{o} + i\; sen\; 120^{o})}

 

Ejemplo 3

 

{z=-1-i\sqrt{3}}

 

Calculamos {|z|} y {\alpha}

 

{|z|=\sqrt{(-1)^{2}+(-\sqrt{3})^{2}}=2}

 

{\alpha=arc\; tg \displaystyle\frac{-\sqrt{3}}{-1}=240^{o}}

 

Tenemos

 

{z=2_{240^{o}}=2(cos\; 240^{o} + i\; sen\; 240^{o})}

 

Ejemplo 4

 

{z=1-i\sqrt{3}}

 

Calculamos {|z|} y {\alpha}

 

{|z|=\sqrt{(1)^{2}+(-\sqrt{3})^{2}}=2}

 

{\alpha=arc\; tg \displaystyle\frac{-\sqrt{3}}{1}=300^{o}}

 

Tenemos

 

{z=2_{300^{o}}=2(cos\; 300^{o} + i\; sen\; 300^{o})}

 

Ejemplo 5

 

{z=2}

 

Calculamos {|z|} y {\alpha}

 

{|z|=\sqrt{(2)^{2}+(0)^{2}}=2}

 

{\alpha=arc\; tg \displaystyle\frac{0}{2}=0^{o}}

 

Tenemos

 

{z=2_{0^{o}}=2(cos\; 0^{o} + i\; sen\; 0^{o})}

 

Ejemplo 6

 

{z=-2}

 

Calculamos {|z|} y {\alpha}

 

{|z|=\sqrt{(-2)^{2}+(0)^{2}}=2}

 

{\alpha=arc\; tg \displaystyle\frac{0}{-2}=180^{o}}

 

Tenemos

 

{z=2_{180^{o}}=2(cos\; 180^{o} + i\; sen\; 180^{o})}

 

Ejemplo 7

 

{z=2i}

 

Calculamos {|z|} y {\alpha}

 

{|z|=\sqrt{(0)^{2}+(2)^{2}}=2}

 

{\alpha=arc\; tg \displaystyle\frac{2}{0}=90^{o}}

 

Tenemos

 

{z=2_{90^{o}}=2(cos\; 90^{o} + i\; sen\; 90^{o})}

 

Ejemplo 8

 

{z=-2i}

 

Calculamos {|z|} y {\alpha}

 

{|z|=\sqrt{(0)^{2}+(-2)^{2}}=2}

 

{\alpha=arc\; tg \displaystyle\frac{-2}{0}=270^{o}}

 

Tenemos

 

{z=2_{270^{o}}=2(cos\; 270^{o} + i\; sen\; 270^{o})}

 

Ejemplo de escribir en forma binómica

 

{z=2_{120^{o}}}

 

Tenemos

 

{z=2_{0^{o}}=2(cos\; 120^{o} + i\; sen\; 120^{o})}

 

Calculamos {a} y {b}

 

{a=2cos\; 120^{o}=2\left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)=-1}

 

{a=2sen\; 120^{o}=2\left(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\sqrt{3}}

 

{z=-1+i\sqrt{3}}

 

Reales e imaginarios puros de módulo unidad:

 

{z =1_{0^{o}}= 1}

 

{z =1_{180^{o}}=-1}

 

{z =1_{90^{o}}=i}

 

{z =1_{270^{o}}=-i}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗