1Calcula k para que el número complejo que obtenemos de la siguiente división esté representado en la bisectriz del primer cuadrante

 

\cfrac{2 + i}{k - i}

1 Para que el afijo (a, b), del complejo esté en la bisectriz del primer cuadrante tiene que cumplirse: a = b. Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador para realizar el cociente

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{2 + i}{k - i} & = & \cfrac{(2 + i) \cdot (k + i)}{(k - i) \cdot (k + i)}  \\\\  & = & \cfrac{2k + 2i + ki + i^2}{k^2 - i^2} \end{array}

 

2 Escribimos la componente real e imaginaria recordando que i^2 = -1

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{2k + 2i + ki + i^2}{k^2 - i^2} & = & \cfrac{(2k - 1) + (k + 2)i}{k^2 + 1} \\\\  & = &  \cfrac{(2k - 1)}{k^2 + 1} + \cfrac{(k + 2)i}{k^2 + 1} \end{array}

 

3 Igualamos ambas componentes, como ambas tienen el mismo denominador, entonces los numeradores también son iguales

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{2k - 1}{k^2 + 1} & = & \cfrac{k + 2}{k^2 + 1}  \\\\  2k - 1 & = & k + 2  \\\\ k & = & 3 \end{array}

 

Así el valor buscado es k = 3

 

 

 

2 Halla el valor de k para que el cociente sea: un número imaginario puro; un número real

 

\cfrac{2 - ki}{k - i}

1 Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador para realizar el cociente

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{2 - ki}{k - i} & = & \cfrac{(2 - ki) \cdot (k + i)}{(k - i) \cdot (k + i)} \\\\ & = & \cfrac{2k + 2i - k^2 i - k i^2}{k^2 - i^2} \end{array}

 

2 Escribimos la componente real e imaginaria recordando que i^2 = -1

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{2k + 2i - k^2 i - k i^2}{k^2 - i^2} & = & \cfrac{3k + (2 - k^2)i}{k^2 + 1} \\\\ & = & \cfrac{3k}{k^2 + 1} + \cfrac{(2 - k^2)i}{k^2 + 1} \end{array}

 

3 Para obtener un número imaginario puro se requiere que la parte real sea cero

 

\cfrac{3k}{k^2 + 1} = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ k = 0

 

Así para que el número sea imaginario puro se requiere k = 0

 

4 Para obtener un número real se requiere que la parte imaginaria sea cero

 

\cfrac{(2 - k^2)i}{k^2 + 1} = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ k = \pm \sqrt{2}

 

Así para que el número sea real se requiere k = \pm \sqrt{2}

 

 

 

3Se considera el complejo 2 + 2\sqrt{3}i, se gira 45^o alrededor del origen de coordenadas en sentido contrario a las agujas del reloj. Hallar el complejo obtenido después del giro.

1 Escribimos el número en forma polar

 

|z| = \sqrt{2^2 + (2 \sqrt{2})^2} = 4

 

\alpha = arc \, tg \cfrac{2 \sqrt{3}}{2} = 60^o

 

entonces z = 4_{60^o}

 

2 Multiplicamos por un complejo de módulo 1 y argumento 45^o

 

4_{60^o} \cdot 1_{45^o} = 4_{105^o}

 

El número buscado es 4_{105^o}

 

 

4 Hallar las coordenadas de los vértices de un hexágono regular de centro el origen de coordenadas, sabiendo que uno de los vértices es el afijo del complejo 1_{90^o}

1 Los vértices son los afijos de las raíces sextas de otro complejo z

 

z = \left (1_{90^o} \right )^6 = 1_{540^o} = 1_{180^o}

 

2 Calculamos las raíces sextas

 

\sqrt[6]{z} = \sqrt[6]{1_{180^o}} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ |z| = 1, \ \alpha_k = \cfrac{180^o + 360^o k}{6}

 

3 Calculamos los valores para k = 0, 1, \dots, 5

 

\begin{array}{rclcl} k = 0 & \Longrightarrow & \alpha_0 = 30^o & \Longrightarrow & z_0' = 1_{30^o}  \\\\ k = 1 & \Longrightarrow & \alpha_1 = 90^o & \Longrightarrow & z_1' = 1_{90^o}  \\\\ k = 2 & \Longrightarrow & \alpha_2 = 150^o & \Longrightarrow & z_2' = 1_{150^o}  \\\\ k = 3 & \Longrightarrow & \alpha_3 = 210^o & \Longrightarrow & z_3' = 1_{210^o}  \\\\ k = 4 & \Longrightarrow & \alpha_4 = 270^o & \Longrightarrow & z_4' = 1_{270^o}  \\\\ k = 5 & \Longrightarrow & \alpha_5 = 330^o & \Longrightarrow & z_5' = 1_{330^o}  \end{array}

 

4 Las coordenadas buscadas son

 

\begin{array}{lcccccl} z_0' & = & 1_{30^o} & = & (cos 30^o, sen 30^o) & = &  \left( \cfrac{\sqrt{3}}{2}, \cfrac{1}{2} \right)  \\\\ z_1' & = & 1_{90^o} & = & (cos 90^o, sen 90^o) & = &  \left( 0, 1 \right) \\\\ z_2' & = & 1_{150^o} & = & (cos 150^o, sen 150^o) & = &  \left( -\cfrac{\sqrt{3}}{2}, \cfrac{1}{2} \right) \\\\ z_3' & = & 1_{210^o} & = & (cos 210^o, sen 210^o) & = &  \left( -\cfrac{\sqrt{3}}{2}, -\cfrac{1}{2} \right) \\\\ z_4' & = & 1_{270^o} & = & (cos 270^o, sen 270^o) & = &  \left( 0, -1 \right) \\\\z_5' & = & 1_{330^o} & = & (cos 330^o, sen 330^o) & = &  \left( \cfrac{\sqrt{3}}{2}, -\cfrac{1}{2} \right)} \end{array}

 

 

 

5 Determina el valor de a y b para que el cociente \cfrac{a + 2 i}{3 + b i} sea igual a (\sqrt{2})_{315^o}

1 Expresamos (\sqrt{2})_{315^o} como número complejo

 

(\sqrt{2})_{315^o} = \sqrt{2}(cos 315^o + i sen 315^o) = 1 - i

 

2 Igualamos el cociente con la expresión anterior, multiplicamos ambos lados por 3 + bi y resolvemos

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{a + 2 i}{3 + b i} & = & 1 - i \\\\ a + 2 i & = & (1 - i)(3 + b i) \\\\ a + 2 i & = & (3 + b) + (b - 3)i \end{array}

 

3 Igualamos la parte imaginaria de ambos lados y obtenemos

 

2 & = & b - 3 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ b = 5

 

4 Igualamos la parte real de ambos lados y obtenemos

 

a & = & 3 + b \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a = 8

 

 

 

6 ¿Cuáles son las coordenadas del punto que se obtiene al girar 90^o, en sentido antihorario alrededor del origen, el afijo del complejo 2 + i?

1 Sabemos que

 

1_{90^o} = i

 

2 Multiplicamos por el complejo de módulo 1 y argumento 90^o

 

(2 + i) \cdot 1_{90^o} = (2 + i) \cdot i = -1 + 2i

 

Las coordenadas buscadas son (-1, 2)

 

 

7 Halla las coordenadas de los vértices de un cuadrado de centro el origen de coordenadas, sabiendo que uno de los vértices es el punto (0, -2).

1 Escribimos (0, -2) en forma polar

 

(0, -2) = -2i = 2_{270^o}

 

2 Los vértices son los afijos de las raíces cuartas de otro complejo z

 

z = \left (2_{270^o} \right )^4 = 16_{1080^o} = 16_{0^o}

 

3 Calculamos las raíces cuartas

 

\sqrt[4]{z} = \sqrt[4]{16_{0^o}} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ |z| = 2, \ \alpha_k = \cfrac{0^o + 360^o k}{4}

 

4 Calculamos los valores para k = 0, 1, \dots, 4

 

\begin{array}{rclcl} k = 0 & \Longrightarrow & \alpha_0 = 0^o & \Longrightarrow & z_0' = 2_{0^o} \\\\ k = 1 & \Longrightarrow & \alpha_1 = 90^o & \Longrightarrow & z_1' = 2_{90^o} \\\\ k = 2 & \Longrightarrow & \alpha_2 = 180^o & \Longrightarrow & z_2' = 2_{180^o} \\\\ k = 3 & \Longrightarrow & \alpha_3 = 270^o & \Longrightarrow & z_3' = 2_{270^o}  \end{array}

 

5 Las coordenadas buscadas son

 

\begin{array}{lcccccl} z_0' & = & 2_{0^o} & = & 2 (cos 0^o, sen 0^o) & = & \left( 2, 0 \right) \\\\ z_1' & = & 2_{90^o} & = & 2 (cos 90^o, sen 90^o) & = & \left( 0, 2 \right) \\\\ z_2' & = & 2_{180^o} & = & 2 (cos 180^o, sen 180^o) & = & \left( -2, 0 \right) \\\\ z_3' & = & 2_{270^o} & = & 2 (cos 270^o, sen 270^o) & = & \left( 0, -2 \right)  \end{array}

 

 

 

8 La suma de los componentes reales de dos números complejos conjugados es seis, y la suma de sus módulos es diez. Determina esos complejos en la forma binómica y polar.

1 Escribimos el número complejo z = a + bi en forma polar

 

z = r_{\alpha}

 

2 Escribimos su conjugado \overline{z} = a - bi en forma polar

 

\overline{z} = r_{-\alpha}

 

3 La suma de las componentes reales es seis, de lo que se obtiene

 

a + a = 6 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a = 3

 

4 La suma de sus módulos es 10, de lo que se obtiene

 

r + r = 10 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ r = 5

 

5 De la expresión del módulo r^2 = a^2 + b^2 se obtiene

 

5^2 = 3^2 + b^2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ b = 4

 

5 Calculamos el argumento

 

\alpha = arctan\cfrac{4}{3} = 53.13^o

 

Así, los números complejos son

 

z = 3 + 4i = 5_{53.13^o}

 

\overline{z} = 3 - 4i = 5_{306.87^o}

 

¿Necesitas un profesor de Matemáticas?

¿Te ha gustado el artículo?

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) 4,00/5 - 11 vote(s)
Cargando...

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗