Marta

19 abril 2021

 

1Calcula k para que el número complejo que obtenemos de la siguiente división esté representado en la bisectriz del primer cuadrante

 

\cfrac{2 + i}{k - i}

1 Para que el afijo (a, b), del complejo esté en la bisectriz del primer cuadrante tiene que cumplirse: a = b. Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador para realizar el cociente

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{2 + i}{k - i} & = & \cfrac{(2 + i) \cdot (k + i)}{(k - i) \cdot (k + i)} \\\\ & = & \cfrac{2k + 2i + ki + i^2}{k^2 - i^2} \end{array}

 

2 Escribimos la componente real e imaginaria recordando que i^2 = -1

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{2k + 2i + ki + i^2}{k^2 - i^2} & = & \cfrac{(2k - 1) + (k + 2)i}{k^2 + 1} \\\\ & = & \cfrac{(2k - 1)}{k^2 + 1} + \cfrac{(k + 2)i}{k^2 + 1} \end{array}

 

3 Igualamos ambas componentes, como ambas tienen el mismo denominador, entonces los numeradores también son iguales

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{2k - 1}{k^2 + 1} & = & \cfrac{k + 2}{k^2 + 1} \\\\ 2k - 1 & = & k + 2 \\\\ k & = & 3 \end{array}

 

Así el valor buscado es k = 3

 

 

 

2 Halla el valor de k para que el cociente sea: un número imaginario puro; un número real

 

\cfrac{2 - ki}{k - i}

1 Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador para realizar el cociente

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{2 - ki}{k - i} & = & \cfrac{(2 - ki) \cdot (k + i)}{(k - i) \cdot (k + i)} \\\\ & = & \cfrac{2k + 2i - k^2 i - k i^2}{k^2 - i^2} \end{array}

 

2 Escribimos la componente real e imaginaria recordando que i^2 = -1

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{2k + 2i - k^2 i - k i^2}{k^2 - i^2} & = & \cfrac{3k + (2 - k^2)i}{k^2 + 1} \\\\ & = & \cfrac{3k}{k^2 + 1} + \cfrac{(2 - k^2)i}{k^2 + 1} \end{array}

 

3 Para obtener un número imaginario puro se requiere que la parte real sea cero

 

\cfrac{3k}{k^2 + 1} = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ k = 0

 

Así para que el número sea imaginario puro se requiere k = 0

 

4 Para obtener un número real se requiere que la parte imaginaria sea cero

 

\cfrac{(2 - k^2)i}{k^2 + 1} = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ k = \pm \sqrt{2}

 

Así para que el número sea real se requiere k = \pm \sqrt{2}

 

 

 

3Se considera el complejo 2 + 2\sqrt{3}i, se gira 45^o alrededor del origen de coordenadas en sentido contrario a las agujas del reloj. Hallar el complejo obtenido después del giro.

1 Escribimos el número en forma polar

 

|z| = \sqrt{2^2 + (2 \sqrt{2})^2} = 4

 

\alpha = arc \, tg \cfrac{2 \sqrt{3}}{2} = 60^o

 

entonces z = 4_{60^o}

 

2 Multiplicamos por un complejo de módulo 1 y argumento 45^o

 

4_{60^o} \cdot 1_{45^o} = 4_{105^o}

 

El número buscado es 4_{105^o}

 

 

4 Hallar las coordenadas de los vértices de un hexágono regular de centro el origen de coordenadas, sabiendo que uno de los vértices es el afijo del complejo 1_{90^o}

1 Los vértices son los afijos de las raíces sextas de otro complejo z

 

z = \left (1_{90^o} \right )^6 = 1_{540^o} = 1_{180^o}

 

2 Calculamos las raíces sextas

 

\sqrt[6]{z} = \sqrt[6]{1_{180^o}} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ |z| = 1, \ \alpha_k = \cfrac{180^o + 360^o k}{6}

 

3 Calculamos los valores para k = 0, 1, \dots, 5

 

\begin{array}{rclcl} k = 0 & \Longrightarrow & \alpha_0 = 30^o & \Longrightarrow & z_0' = 1_{30^o} \\\\ k = 1 & \Longrightarrow & \alpha_1 = 90^o & \Longrightarrow & z_1' = 1_{90^o} \\\\ k = 2 & \Longrightarrow & \alpha_2 = 150^o & \Longrightarrow & z_2' = 1_{150^o} \\\\ k = 3 & \Longrightarrow & \alpha_3 = 210^o & \Longrightarrow & z_3' = 1_{210^o} \\\\ k = 4 & \Longrightarrow & \alpha_4 = 270^o & \Longrightarrow & z_4' = 1_{270^o} \\\\ k = 5 & \Longrightarrow & \alpha_5 = 330^o & \Longrightarrow & z_5' = 1_{330^o} \end{array}

 

4 Las coordenadas buscadas son

 

\begin{array}{lcccccl} z_0' & = & 1_{30^o} & = & (cos 30^o, sen 30^o) & = & \left( \cfrac{\sqrt{3}}{2}, \cfrac{1}{2} \right) \\\\ z_1' & = & 1_{90^o} & = & (cos 90^o, sen 90^o) & = & \left( 0, 1 \right) \\\\ z_2' & = & 1_{150^o} & = & (cos 150^o, sen 150^o) & = & \left( -\cfrac{\sqrt{3}}{2}, \cfrac{1}{2} \right) \\\\ z_3' & = & 1_{210^o} & = & (cos 210^o, sen 210^o) & = & \left( -\cfrac{\sqrt{3}}{2}, -\cfrac{1}{2} \right) \\\\ z_4' & = & 1_{270^o} & = & (cos 270^o, sen 270^o) & = & \left( 0, -1 \right) \\\\z_5' & = & 1_{330^o} & = & (cos 330^o, sen 330^o) & = & \left( \cfrac{\sqrt{3}}{2}, -\cfrac{1}{2} \right)} \end{array}

 

 

 

5 Determina el valor de a y b para que el cociente \cfrac{a + 2 i}{3 + b i} sea igual a (\sqrt{2})_{315^o}

1 Expresamos (\sqrt{2})_{315^o} como número complejo

 

(\sqrt{2})_{315^o} = \sqrt{2}(cos 315^o + i sen 315^o) = 1 - i

 

2 Igualamos el cociente con la expresión anterior, multiplicamos ambos lados por 3 + bi y resolvemos

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{a + 2 i}{3 + b i} & = & 1 - i \\\\ a + 2 i & = & (1 - i)(3 + b i) \\\\ a + 2 i & = & (3 + b) + (b - 3)i \end{array}

 

3 Igualamos la parte imaginaria de ambos lados y obtenemos

 

2 & = & b - 3 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ b = 5

 

4 Igualamos la parte real de ambos lados y obtenemos

 

a & = & 3 + b \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a = 8

 

 

 

6 ¿Cuáles son las coordenadas del punto que se obtiene al girar 90^o, en sentido antihorario alrededor del origen, el afijo del complejo 2 + i?

1 Sabemos que

 

1_{90^o} = i

 

2 Multiplicamos por el complejo de módulo 1 y argumento 90^o

 

(2 + i) \cdot 1_{90^o} = (2 + i) \cdot i = -1 + 2i

 

Las coordenadas buscadas son (-1, 2)

 

 

7 Halla las coordenadas de los vértices de un cuadrado de centro el origen de coordenadas, sabiendo que uno de los vértices es el punto (0, -2).

1 Escribimos (0, -2) en forma polar

 

(0, -2) = -2i = 2_{270^o}

 

2 Los vértices son los afijos de las raíces cuartas de otro complejo z

 

z = \left (2_{270^o} \right )^4 = 16_{1080^o} = 16_{0^o}

 

3 Calculamos las raíces cuartas

 

\sqrt[4]{z} = \sqrt[4]{16_{0^o}} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ |z| = 2, \ \alpha_k = \cfrac{0^o + 360^o k}{4}

 

4 Calculamos los valores para k = 0, 1, \dots, 4

 

\begin{array}{rclcl} k = 0 & \Longrightarrow & \alpha_0 = 0^o & \Longrightarrow & z_0' = 2_{0^o} \\\\ k = 1 & \Longrightarrow & \alpha_1 = 90^o & \Longrightarrow & z_1' = 2_{90^o} \\\\ k = 2 & \Longrightarrow & \alpha_2 = 180^o & \Longrightarrow & z_2' = 2_{180^o} \\\\ k = 3 & \Longrightarrow & \alpha_3 = 270^o & \Longrightarrow & z_3' = 2_{270^o} \end{array}

 

5 Las coordenadas buscadas son

 

\begin{array}{lcccccl} z_0' & = & 2_{0^o} & = & 2 (cos 0^o, sen 0^o) & = & \left( 2, 0 \right) \\\\ z_1' & = & 2_{90^o} & = & 2 (cos 90^o, sen 90^o) & = & \left( 0, 2 \right) \\\\ z_2' & = & 2_{180^o} & = & 2 (cos 180^o, sen 180^o) & = & \left( -2, 0 \right) \\\\ z_3' & = & 2_{270^o} & = & 2 (cos 270^o, sen 270^o) & = & \left( 0, -2 \right) \end{array}

 

 

 

8 La suma de los componentes reales de dos números complejos conjugados es seis, y la suma de sus módulos es diez. Determina esos complejos en la forma binómica y polar.

1 Escribimos el número complejo z = a + bi en forma polar

 

z = r_{\alpha}

 

2 Escribimos su conjugado \overline{z} = a - bi en forma polar

 

\overline{z} = r_{-\alpha}

 

3 La suma de las componentes reales es seis, de lo que se obtiene

 

a + a = 6 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a = 3

 

4 La suma de sus módulos es 10, de lo que se obtiene

 

r + r = 10 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ r = 5

 

5 De la expresión del módulo r^2 = a^2 + b^2 se obtiene

 

5^2 = 3^2 + b^2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ b = 4

 

5 Calculamos el argumento

 

\alpha = arctan\cfrac{4}{3} = 53.13^o

 

Así, los números complejos son

 

z = 3 + 4i = 5_{53.13^o}

 

\overline{z} = 3 - 4i = 5_{306.87^o}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗