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Repaso
Nota: Todo número real es un número complejo, pero no todo número complejo es un numero real.
Formulas para operar números complejos:
Suma
Se asocian y suman por un lado las partes reales y por otro las imaginarias
Producto
Se resuelve igual que el producto de 2 binomios, usando la distributividad
recordando que 
División
Aritmética de números complejos
Resuelve el siguiente cociente de números complejos
Aplicamos la fórmula de cociente de números complejos
Así, se obtiene
Realiza las siguientes operaciones:
1
2
3
4
1
Elevamos primero el numerador a la tercera potencia
Calculamos el cociente
2
Convertimos el número 
en forma polar
Finalmente calculamos la potencia de 
Si ajustamos el argumento a un ángulo entre 
y 
, obtenemos
3
Convertimos el número 
en forma polar
Finalmente calculamos la potencia de
4
Convertimos el númerador que aparece dentro de la raíz a forma polar
Ahora convertimos el denominador a forma polar
Calculamos el cociente
Obtenemos el módulo y el argumento de las raíces
Las raíces terceras constan entonces de los números
Resuelve y expresa en forma polar
Convertimos el número 
en forma polar
Entonces
Para calcular las raíces obtenemos el módulo y los argumentos
Las 5 raíces quintas constan entonces de los números
Calcula la siguiente operación, dando el resultado en forma polar
Quitamos los paréntesis para poder realizar las operaciones en el númerador y denominador
Multiplicamos el númerador y el denominador por el conjugado de este último
Entonces
Para la forma polar, obtenemos el módulo y el argumento
De este modo,
Calcula el valor de cociente. Obten sus raíces cúbicas, expresando en forma polar, trigonométrica y binomial
1Cálculo del cociente
Cambiamos el exponente negativo y desarrollamos
Tomando en cuenta que 
, nos queda que
Entonces
2Conversión a forma polar
Para obtener las raíces de 
, necesitamos cambiar a su forma polar. Esto la hacemos obteniendo su módulo y argumento
Por lo que
3Cálculo de las raíces terceras
Obtenemos el módulo y el argumento de las raíces
Las 3 raíces cúbicas constan entonces de los números
4Raíces expresadas en forma trigonométrica y binomial
Raíces de una ecuación
Calcula las raíces de la siguiente ecuación:
Cambiamos a la forma polar el número dentro de la raíz, en este caso, -1.
Obtenemos el módulo y el argumento de las raíces
Las raíces de la ecuación son entonces los números con módulo 1 y con los argumentos anteriores, es decir,
Calcula las raíces de la siguiente ecuación:
Cambiamos a la forma polar el número dentro de la raíz, en este caso, -1.
Obtenemos el módulo y el argumento de las raíces
Las raíces de la ecuación son entonces los números con módulo 1 y con los argumentos anteriores, es decir,
Calcular todas las raíces de la ecuación:
Despejamos
Cambiamos el número dentro de la raíz a forma polar
Obtenemos el módulo y el argumento de las raíces
Las raíces quintas constan entonces de los números
Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones 
y su conjugado.
Dado un número complejo y su conjugado
Podemos encontrar un ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean dichos números. Esta ecuación se expresa de la siguiente manera
Donde 
es la suma de las raíces y 
el producto. En este caso,
Entonces la ecuación que buscamos es
Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones 
y su conjugado.
Dado un número complejo y su conjugado
Podemos encontrar un ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean dichos números. Esta ecuación se expresa de la siguiente manera
Donde es la suma de las raíces y el producto. En este caso,
Entonces la ecuación que buscamos es
Conjugado de un complejo, forma polar y trigonométrica
Determina el resultado de sumar un número con su conjugado
Consideramos el número complejo 
y su conjugado 
Realizamos la suma
Así, la suma de un número complejo con su conjugado es igual a dos veces la parte real del número complejo.
Determina el resultado de multiplicar un número complejo con su conjugado
Consideramos el número complejo y su conjugado
Realizamos la multiplicación
Así, el producto de un número complejo con su conjugado es igual a la sumas de los cuadrados de la parte real y la parte imaginaria del número complejo.
Determina el resultado de la diferencia de un número complejo y su conjugado
Consideramos el número complejo y su conjugado
Realizamos la resta
Así, la diferencia de un número complejo con su conjugado es igual a dos veces la parte imaginaria del número complejo.
Escribe en las formas polar y trigonométrica, los conjugados y los opuestos de:
a
b
a
Obtenemos el módulo y el argumento de las raíces
Entonces en forma polar y trigonométrica queda
El conjugado
El opuesto
b
Obtenemos el módulo y el argumento de las raíces
Entonces en forma polar y trigonométrica queda
El conjugado
El opuesto
Escribe en las formas polar y trigonométrica, los conjugados y los opuestos de:
a
b
a
Obtenemos el módulo y el argumento de las raíces
Entonces en forma polar y trigonométrica queda
El conjugado
El opuesto
b
Obtenemos el módulo y el argumento de las raíces
Entonces en forma polar y trigonométrica queda
El conjugado
El opuesto
Teorema de Moivre y binomio de Newton
Expresa en forma polar y binómica un complejo cuyo cuadrado sea:
Convertimos a forma polar
Queremos encontrar un número , tal que al elevarlo al cuadrado resulte el número anterior
Obtenemos el módulo y el argumento de las raíces
Las 3 raíces cuadradas constan entonces de los números
Eso convertido a forma trigonométrica y binomial obtengo
Expresa en forma polar y binómica un complejo cuyo cubo sea:
Convertimos a forma polar
Queremos encontrar un número , tal que al elevarlo al cubo resulte el número anterior
Obtenemos el módulo y el argumento de las raíces
Las 3 raíces cúbicas constan entonces de los números
Eso convertido a forma trigonométrica y binomial obtengo
Expresa en función de cos α y sen α:
a 
b 
1 Binomio de Newton:
Aplicamos el binomio de Newton
Desarrollamos
Separamos la parte real y la parte imaginaria
2 Fórmula de Moivre:
Por otro lado sabemos que
Usando el resultado al que llegamos con el binomio de Newton, igualamos las parte reales y obtenemos que
Al igualar las parte imaginarias concluimos que
Expresa en función de cos α y sen α:
a 
b 
1 Binomio de Newton:
Aplicamos el binomio de Newton
Desarrollamos
Separamos la parte real y la parte imaginaria
2 Fórmula de Moivre:
Por otro lado sabemos que
Usando el resultado al que llegamos con el binomio de Newton, igualamos las parte reales y obtenemos que
Al igualar las parte imaginarias concluimos que
Expresa en función de 
y 
:
a 
b 
1 Binomio de Newton:
Aplicamos el binomio de Newton
Desarrollamos
Separamos la parte real y la parte imaginaria
2 Fórmula de Moivre:
Por otro lado sabemos que
Usando el resultado al que llegamos con el binomio de Newton, igualamos las parte reales y obtenemos que
Al igualar las parte imaginarias concluimos que
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Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
Me interesa poder descargar esos materiales sobre números complejos que aparecen en este sitio
Hola, lo sentimos pero esa función(descargar) no la tenemos en funcionamiento, pero puedes ver el material en la pagina las veces que desees.
El resultado para el seno de un angulo tripe que ustesdes muestran es incorrecto, quiza error de transcripcion al momento de escribir. El resultado correcto es: sen(3a) = 3cos^2(a).sen(a) – sen^3(a). O su forma equivalente: sen(3a) = 3sen(a) – 4sen^3(a)
Hola te agradecemos tus observaciones, una disculpa ya se corrigió.
Me podrías ayudar con (Interpretación de un número complejo)
En el ejemplo 7, ¿cómo uno calcula que el arc tg de 2/0 es igual a 90 si en la calculadora al hacerlo da error?:( me ayudaría mucho saberlo
Ayuda con numeros complejos:
a)Z2= 2 -3i
Este resultado no te lo dará la calculadora pues 2/0 no está definido, pero de manera intuitiva se menciona que es infinito y como tan 90 es infinito, entonces se deduce que arc tg de 2/0 es 90 grados, otra manera de deducirlo es geométricamente.
3. Calcular las siguientes operaciones
a) ((3 + i)(3 – 2i) – (2i – 3) ^ 2)/(2i ^ 20 – i ^ 13)
b) (1 – (2 + 3i) ^ 2 * (1 – 2i))/(2i ^ 77 – i ^ 726)
c) (2 – 3i) ^ 3
Me pueden ayudar con este ejercicio por favor
¿Me podrían ayudar con este ejercicio? Dados los siguientes números imaginarios, escribelos como raíces
-8 i
-16 i
-raiz de 21 i
-28i