Repaso

Nota: Todo número real es un número complejo, pero no todo número complejo es un numero real

 

Formulas para operar números complejos:

 

Suma

 

Se asocian  y suman por un lado las partes reales y por otro las imaginarias

\displaystyle (a+bi)+(c+di) =(a+c) + (b+d)i

 

Producto

 

Se resuelve igual que el producto de 2 binomios, usando la distributividad
recordando que \displaystyle i \cdot i = -1

\displaystyle (a+bi)(c+di) = (ac-bd)+ (ad+bc)i

 

División

 

\displaystyle \frac{a+bi}{c+di} = \frac{ac+bd}{ c^2+d^2} +  \frac{bc-ad}{c^2+d^2}

 

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Vamos

Aritmética de números complejos

 

1 Realiza las siguientes operaciones:

 

  • \displaystyle \frac{(3_{20^\circ})^3}{2_{60^\circ}}

 

  • \displaystyle (1+i)^{10}
  • \displaystyle (1+\sqrt{3}i)^6

 

  • \displaystyle \sqrt[3]{\frac{-1+i}{\sqrt{3}+i}}

 

1\displaystyle \frac{(3_{20^\circ})^3}{2_{60^\circ}}

 

Elevamos primero el numerador a la tercera potencia

\displaystyle \frac{(3_{20^\circ})^3}{2_{60^\circ}}=\frac{3^3_{3\cdot 20^\circ}}{2_{60^\circ}}=\frac{27_{60^\circ}}{2_{60^\circ}}

Calculamos el cociente

\displaystyle \frac{27_{60^\circ}}{2_{60^\circ}}=\left(\frac{27}{2}\right)_{60^\circ-60^\circ}=\left(\frac{27}{2}\right)_{0^\circ}

 

2\displaystyle (1+i)^{10}

 

Convertimos el número 1+i en forma polar

z=1+i

\text{M\'odulo} \hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} |z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}

\text{Argumento} \hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} \alpha=\arctan \frac{1}{1}=45^\circ

z=(\sqrt{2})_{45^\circ}

Finalmente calculamos la potencia de z

(1+i)^{10}=(\sqrt{2}_{45^\circ})^{10}=(\sqrt{2})^{10}_{10\cdot 45^\circ}=32_{450^\circ}

Si ajustamos el argumento a un ángulo entre 0 y 360^\circ, obtenemos

32_{450^\circ}=32_{90^\circ}

 

3\displaystyle (1+\sqrt{3}i)^6

 

Convertimos el número 1+\sqrt{3}i en forma polar

z=1+\sqrt{3}i

\text{M\'odulo} \hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm}|z|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2

\displaystyle \text{Argumento} \hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} \alpha=\arctan \frac{\sqrt{3}}{1}=60^\circ

z=2_{60^\circ}

Finalmente calculamos la potencia de z

 (1+\sqrt{3}i)^6 =(2_{60^\circ})^{6}=(2^6)_{6\cdot 60^\circ}=64_{360^\circ}=64_{0^\circ}

 

4\displaystyle \sqrt[3]{\frac{-1+i}{\sqrt{3}+i}}

 

Convertimos el númerador que aparece dentro de la raíz a forma polar

\displaystyle z_1=1-i

\displaystyle |z_1|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}

\displaystyle a_1=\arctan \frac{1}{-1}=135^\circ

\displaystyle z_1=(\sqrt{2})_{135^\circ}

Ahora convertimos el denominador a forma polar

\displaystyle z_2=\sqrt{3}+i

\displaystyle |z_2|=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=2

\displaystyle a_2=\arctan \frac{1}{\sqrt{3}}=30^\circ

\displaystyle z_2=2_{30^\circ}

Calculamos el cociente

\displaystyle \sqrt[3]{\frac{(\sqrt{2})_{135^\circ}}{2_{30^\circ}}}=\sqrt[3]{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)_{105^\circ}}

Obtenemos el módulo y el argumento de las raíces

\displaystyle \text{M\'odulo}\hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} |z|=\sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt[3]{\sqrt{\frac{2}{4}}}=\sqrt[6]{\frac{1}{2}}

\displaystyle \text{Argumento}\hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} \alpha=\frac{105^\circ +360^\circ k}{3}=\left\{\begin{matrix} k=0 & a_1=35^\circ\\ k=1 & a_2=155^\circ \\ k=2 & a_3=275^\circ \end{matrix}\right.

Las raíces terceras constan entonces de los números

\displaystyle \begin{matrix} x_1=\left(\sqrt[6]{\frac{1}{2}}\right)_{35^\circ}\\ x_2=\left(\sqrt[6]{\frac{1}{2}}\right)_{155^\circ}\\ x_3=\left(\sqrt[6]{\frac{1}{2}}\right)_{275^\circ} \end{matrix}

 

2 Resuelve y expresa en forma polar \sqrt[5]{10+10i}

 

Convertimos el número 10+10i en forma polar

\displaystyle z=10+10i

\displaystyle |z|=\sqrt{10^2+10^2}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}

\displaystyle a=\arctan \frac{10}{10}=45^\circ

\displaystyle z=(10\sqrt{2})_{45^\circ}

Entonces

\displaystyle \sqrt[5]{10+10i}= \sqrt[5]{(10\sqrt{2})_{45^\circ}}

Para calcular las raíces obtenemos el módulo y los argumentos

\text{M\'odulo} \hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} \sqrt[5]{10\sqrt{2}}=\sqrt[10]{200}

\displaystyle \text{Argumento}\hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} \alpha=\frac{45^\circ +360^\circ k}{5}=\left\{\begin{matrix} k=0 & a_1=9^\circ\\ k=1 & a_2=81^\circ \\ k=2 & a_3=153^\circ\\ k=3 & a_4=225^\circ\\ k=4 & a_5=297^\circ\\ \end{matrix}\right.

Las 5 raíces quintas constan entonces de los números

\displaystyle \begin{matrix} x_1=(\sqrt[10]{200})_{9^\circ}\\ x_2=(\sqrt[10]{200})_{81^\circ}\\ x_3=(\sqrt[10]{200})_{153^\circ}\\ x_4=(\sqrt[10]{200})_{225^\circ}\\ x_5=(\sqrt[10]{200})_{297^\circ}\\ \end{matrix}

 

 

3 Calcula la siguiente operación, dando el resultado en forma polar.

\displaystyle \frac{(2-3i)-(3+2i)}{(3+2i)-(2+i)}

 

Quitamos los paréntesis para poder realizar las operaciones en el númerador y denominador

\displaystyle \frac{(2-3i)-(3+2i)}{(3+2i)-(2+i)}=\frac{2-3i-3-2i}{3+2i-2-i}=\frac{-1-5i}{1+i}

Multiplicamos el númerador y el denominador por el conjugado de este último

\displaystyle \frac{-1-5i}{1+i}=\frac{(-1-5i)\cdot (1-i)}{(1+i)\cdot (1-i)}=

\displaystyle \frac{-1+i-5i+5i^2}{1-i^2}=\frac{-6-4i}{2}=-3-2i

Entonces

\displaystyle z=-3-2i

Para la forma polar, obtenemos el módulo y el argumento

\text{M\'odulo} \hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} |z|=\sqrt{(-3)^2+(-2)^2}=\sqrt{13}

\displaystyle \text{Argumento}\hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} \alpha=\arctan \frac{-2}{-3}=213^\circ 41' 24''

De este modo,

\displaystyle z=(\sqrt{13})_{213^\circ 41' 24''}

 

4 Calcula el valor de cociente. Obten sus raíces cúbicas, expresando en forma polar, trigonométrica y binomial.

\displaystyle \frac{i^7-i^{-7}}{2i}

 

1Cálculo del cociente

Cambiamos el exponente negativo y desarrollamos

\displaystyle \frac{i^7-i^{-7}}{2i}=\frac{i^7-\frac{1}{i^{7}}}{2i}= \frac{\frac{i^{14}-1}{i^7}}{2i}=\frac{i^{14}-1}{2i^8}

Tomando en cuenta que i^4=1, nos queda que

\displaystyle \frac{i^{14}-1}{2i^8}=\frac{i^2-1}{2}=\frac{-1-1}{2}=-1

Entonces

\displaystyle z=-1

2Conversión a forma polar

Para obtener las raíces de z=-1, necesitamos cambiar a su forma polar. Esto la hacemos obteniendo su módulo y argumento

\text{M\'odulo} \hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} |z|=\sqrt{(-1)^2+0^2}=1

\displaystyle \text{Argumento}\hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} \alpha =\arctan \frac{0}{-1}=180^\circ

Por lo que

\displaystyle z=1_{180^\circ}

3Cálculo de las raíces terceras

\displaystyle \sqrt[3]{1_{180^\circ}}

Obtenemos el módulo y el argumento de las raíces

\text{M\'odulo} \hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} |z'|=\sqrt[3]{1}=1

\displaystyle \text{Argumento}\hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} \alpha=\frac{180^\circ +360^\circ k}{3}=\left\{\begin{matrix} k=0 & a_1=60^\circ\\ k=1 & a_2=180^\circ \\ k=2 & a_3=300^\circ \end{matrix}\right.

Las 3 raíces cúbicas constan entonces de los números

\displaystyle \begin{matrix} z_1=1_{60^\circ}  \\ z_2=1_{180^\circ}\\ z_3=1_{300^\circ} \end{matrix}

4Raíces expresadas en forma trigonométrica y binomial

\displaystyle z_1=1_{60^\circ}=\cos 60^\circ +i\text{ sen } 60^\circ=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i

z_2=1_{180^\circ}=\cos 180^\circ +i\text{ sen} 180^\circ=-1

z_3=1_{300^\circ }=\cos 300^\circ +i\text{ sen }300^\circ=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i

 

raices de un numero complejo representación gráfica
 

Raíces de una ecuación

 

5 Calcula las raíces de la siguiente ecuación: x^6+1=0

 

Despejamos

x^6+1=0

x^6=-1

x=\sqrt[6]{-1}

Cambiamos a la forma polar el número dentro de la raíz, en este caso, -1.

x=\sqrt[6]{1_{180^\circ}}

Obtenemos el módulo y el argumento de las raíces

\text{M\'odulo} \hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} \sqrt[6]{1}=1

\displaystyle \text{Argumento}\hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} \alpha=\frac{180^\circ +360^\circ k}{6}=\left\{\begin{matrix} k=0 & & a_1=30^\circ\\ k=1 & &a_2=90^\circ \\ k=2 & &a_3=150^\circ\\ k=3 & &a_4=210^\circ\\ k=4 & &a_5=270^\circ\\ k=5 & &a_6=330^\circ \end{matrix}\right.

Las raíces de la ecuación son entonces los números con módulo 1 y con los argumentos anteriores, es decir,

\displaystyle \begin{matrix} x_1=1_{30^\circ}\\ x_2=1_{90^\circ}\\ x_3=1_{150^\circ}\\ x_4=1_{210^\circ}\\ x_5=1_{270^\circ}\\ x_6=1_{330^\circ}\\ \end{matrix}

 

6 Calcular todas las raíces de la ecuación:

x^5+32=0

 

Despejamos

x^5+32=0

x^5=-32

x=\sqrt[5]{-32}

Cambiamos el número dentro de la raíz a forma polar

x=\sqrt[5]{32_{180^\circ}}

Obtenemos el módulo y el argumento de las raíces

\text{M\'odulo}\hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} \sqrt[5]{32}=2

\displaystyle \text{Argumento}\hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} \alpha=\frac{180^\circ +360^\circ k}{5}=\left\{\begin{matrix} k=0 & a_1=36^\circ\\ k=1 & a_2=108^\circ \\ k=2 & a_3=180^\circ\\ k=3 & a_4=252^\circ\\ k=4 & a_5=324^\circ\\ \end{matrix}\right.

Las raíces quintas constan entonces de los números

\displaystyle \begin{matrix} z_1=2_{36^\circ}  \\ z_2=2_{108^\circ}\\ z_3=2_{180^\circ}\\ z_4=2_{252^\circ}  \\ z_5=2_{324^\circ}\end{matrix}

7 Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones 1+2i y su conjugado.

 

Dado un número complejo y su conjugado

x_1=1+2i

x_2=1-2i

Podemos encontrar un ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean dichos números. Esta ecuación se expresa de la siguiente manera

x^2-Sx+P=0

Donde S es la suma de las raíces y P el producto. En este caso,

S=1+2i+1-2i=2

P=(1+2i)\cdot (1-2i)=1+4=5

Entonces la ecuación que buscamos es

x^2-2x+5=0

 

Conjugado de un complejo, forma polar y trigonométrica

 

8 Escribe en las formas polar y trigonométrica, los conjugados y los opuestos de:

  • 4+4i
  • -2+2i

 

14+4i

 

Obtenemos el módulo y el argumento de las raíces

\text{M\'odulo} \hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} |z|=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}

\displaystyle \text{Argumento}\hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} \alpha=\arctan \frac{1}{1}=45^\circ

Entonces z en forma polar y trigonométrica queda

z=4+4i=(4\sqrt{2})_{45^\circ}=(4\sqrt{2})(\cos 45^\circ +i\text{ sen }45^\circ)

El conjugado

\overline{z}=4-4i=(4\sqrt{2})_{-45^\circ}=(4\sqrt{2})(\cos (-45^\circ) +i\text{ sen }(-45^\circ))

El opuesto

-z=-4-4i=(4\sqrt{2})_{225^\circ}=(4\sqrt{2})(\cos 225^\circ +i\text{ sen }225^\circ)

 

2 -2+2i

 

Obtenemos el módulo y el argumento de las raíces

\text{M\'odulo} \hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} |z|=\sqrt{(-2)^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}

\displaystyle \text{Argumento}\hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} \alpha=\arctan \frac{2}{-2}=135^\circ

Entonces z en forma polar y trigonométrica queda

z=-2+2i=(2\sqrt{2})_{135^\circ}=(2\sqrt{2})(\cos 135^\circ +i\text{ sen }135^\circ)

El conjugado

\overline{z}=-2-2i=(2\sqrt{2})_{-135^\circ}=(2\sqrt{2})(\cos (-135^\circ) +i\text{ sen }(-135^\circ))

El opuesto

-z=2-2i=(2\sqrt{2})_{315^\circ}=(2\sqrt{2})(\cos 315^\circ +i\text{ sen }315^\circ)

 

Teorema de Moivre y binomio de Newton

 

9 Expresa en forma polar y binómica un complejo cuyo cubo sea:

8\left(\cos \frac{\pi}{2}+i\text{ sen }\frac{\pi}{2}\right)

 

Convertimos a forma polar

8\left(\cos \frac{\pi}{2}+i\text{ sen }\frac{\pi}{2}\right)=8(\cos 90^\circ + i\text{ sen } 90^\circ) =8_{90^\circ}

Queremos encontrar un número z, tal que al elevarlo al cubo resulte el número anterior

z^3=8_{90^\circ}

z=\sqrt[3]{8_{90^\circ}}

Obtenemos el módulo y el argumento de las raíces

\text{M\'odulo} \hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} |z|=\sqrt[3]{8}=2

\displaystyle \text{Argumento}\hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} \alpha=\frac{90^\circ +360^\circ k}{3}=\left\{\begin{matrix} k=0 & a_1=30^\circ\\ k=1 & a_2=150^\circ \\ k=2 & a_3=270^\circ \end{matrix}\right.

Las 3 raíces cúbicas constan entonces de los números

z_1=2_{30^\circ}
z_2=2_{150^\circ}
z_3=2_{270}^\circ

Eso convertido a forma trigonométrica y binomial obtengo

\displaystyle z_1=2_{30^\circ}=2(\cos 30^\circ +i\text{ sen } 30^\circ)=\sqrt{3}+i
z_2=2_{150^\circ}=2(\cos 150^\circ +i\text{ sen} 150^\circ)=-\sqrt{3}+i
z_3=2_{270^\circ }=2(\cos 270^\circ +i\text{ sen }270^\circ)=-2i

 

10 Expresa en función de cos α y sen α:

  • \cos 5a
  • \text{ sen }5a

 

1 Binomio de Newton:

 

Aplicamos el binomio de Newton

\displaystyle  (\cos a+ i \text{ sen }a)^5 = {5\choose 0}\cos^5 a +{5\choose 1}\cos^4 a \cdot i \text{ sen } a+{5\choose 2}\cos^3 a\cdot i^2\text{ sen}^2 \, a +{5\choose 3}\cos^2 a\cdot i^3\text{ sen}^3 \, a+{5\choose 4}\cos a\cdot i^4\text{ sen}^4 \, a+{5\choose 0} i^5\text{ sen}^5 \, a

Desarrollamos

 \cos^5 a +5\cos^4 a \cdot i \text{ sen } a-10\cos^3 a\cdot \text{ sen}^2 \, a-10\cos^2 a-i\text{ sen}^3 \, a+5\cos a\cdot \text{ sen}^4 \, a+i\text{ sen}^5 \, a

Separamos la parte real y la parte imaginaria

 (\cos^5 a -10\cos^3 a\cdot \text{ sen}^2 \, a+5\cos a\cdot \text{ sen}^4 \, a)+(5\cos^4 a \cdot \text{ sen } a-10\cos^2 a-\text{ sen}^3 \, a+\text{ sen}^5 \, a)i

 

2 Fórmula de Moivre:

 

Por otro lado sabemos que

(\cos a + i\text{ sen }a)^5=\cos 5a + i \text{ sen }5a

Usando el resultado al que llegamos con el binomio de Newton, igualamos las parte reales y obtenemos que

\cos 5a=\cos^5 a -10\cos^3 a \cdot  \text{ sen}^2 a+ 5\cos a \cdot \text{ sen}^4 a

Al igualar las parte imaginarias concluimos que

\text{ sen } 5a=5\cos^4 a\cdot \text{ sen }a-10\cos^2 a\cdot \text{ sen}^3 a + \text{ sen}^5 a

 

11 Expresa en función de \cos a y \text{sen } a:

  • \cos 3a
  • \text{sen }3a

 

1 Binomio de Newton:

 

Aplicamos el binomio de Newton

\displaystyle (\cos a + i \text{ sen }a)^3={3\choose 0}\cos^3 a +{3\choose 1}\cos^2 a \cdot i \text{ sen } a+{3\choose 2}\cos a\cdot i^2\text{ sen}^2 \, a+{3\choose 3} a i^3\text{ sen}^3

Desarrollamos

\cos^3 a +3 \cos ^2 a\cdot i \text{ sen }a+3\cos a\cdot i^2\text{ sen }^2 a+i^3\text{ sen}^3 a

Separamos la parte real y la parte imaginaria

=(\cos^3 a -3\cos a \text{ sen }^2 a)+(3\cos^2 a \text{ sen }a -\text{ sen}^3 a)i

 

2 Fórmula de Moivre:

 

Por otro lado sabemos que

(\cos a+i\text{ sen }a)^3=\cos 3a +i\text{ sen }3a

Usando el resultado al que llegamos con el binomio de Newton, igualamos las parte reales y obtenemos que

\cos 3a=\cos^3 a-3\cos a \text{ sen}^2 a

Al igualar las parte imaginarias concluimos que

\text{sen}^3a=3\cos^2 a \text{ sen}^3 a

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗