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Potencia de complejos en forma polar
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Ejercicios con potencias de números complejos

Potencia de complejos en forma polar

La potencia n-ésima $z^n$ de un número complejo $z$ es otro número complejo, tal que:

Su módulo se obtiene de elevar a la $n$ el módulo de $z$
Su argumento será $n$ veces el argumento de $z$

Cuando el número está expresado en forma polar, sus potencias son muy sencillas de calcular, pues:

$(r_{\alpha})^n=(r^n)_{n\alpha}$

Ejemplos:

$(3_{30^{\circ}})^4=(3^4)_{4\cdot30^{\circ}}=81_{120^{\circ}}$
$\left( 7_{45^{\circ}} \right )^2=(7^2)_{2\cdot 45^{\circ}}=49_{90^{\circ}}$
$(2_{10^{\circ}})^6=(2^6)_{6\cdot10^{\circ}}=64_{60^{\circ}}$

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Fórmula de Moivre

De la fórmula anterior, podemos obtener que $\longrightarrow \ \ (1_{\alpha})^n=(1^n)_{n\alpha}=1_{n\alpha}$

De expresar esto mismo en forma trigonométrica resulta la fórmula de Moivre:

$(\cos \alpha + i \sin \alpha)^n=\cos n\alpha + i \sin n\alpha$

La cual será útil cuando tomemos potencias de números complejos en forma trigonométrica

Ejemplos:

$(\cos \alpha +i\sin \alpha )^9=\cos 9\alpha +i\sin 9\alpha$

$(2\cos \alpha +2i\sin \alpha )^4=2^4(\cos \alpha +i\sin \alpha)^4=16(\cos 4\alpha +i\sin 4\alpha)$

Ejercicios con potencias de números complejos

1 $(1+i)^4$

Lo que conviene es convertir $(1+i)$

a forma polar.

Módulo de $(1+i)$

$\longrightarrow \hspace{.5cm} \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$

Argumento de $(1+i)$

$\longrightarrow \hspace{.5cm} \arctan \left(\frac{1}{1}\right)=45^{\circ}$

Usando la fórmula para potencias en forma polar obtengo que

$(1+i)^4=(\sqrt{2}_{45^{\circ}})^4=(\sqrt{2})^4_{4\cdot45^{\circ}}=4_{180^{\circ}}$

2 $(\sqrt{3}-i)^7$

Lo que conviene es convertir $(\sqrt{3}-i)$

a forma polar.

Módulo de $(\sqrt{3}-i)$

$\longrightarrow \hspace{.3cm} \sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}=2$

Arg. de $(\sqrt{3}-i)$

$\longrightarrow \hspace{.3cm} 360^{\circ}-\left|\arctan \left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right)\right|=360^{\circ}-30^{\circ}=330^{\circ}$

Usando la fórmula para potencias en forma polar obtengo que

$(\sqrt{3}-i)^7=(2_{330^{\circ}})^7=(2^7)_{7\cdot 330^{\circ}}=128_{2310^{\circ}}$

Pero $2310^{\circ}=6\times 360^{\circ} + 150^{\circ}$

, entonces $128_{2310^{\circ}}=128_{150^{\circ}}$

3 $(2_{10^{\circ}})^5$

Ya está en forma polar, por lo que solo usamos la fórmula

$(2_{10^{\circ}})^5=(2^5)_{5\cdot 10^{\circ}}=32_{50^{\circ}}$

4 $\left(5\cos \left(30^{\circ}\right) +5i\sin \left(30^{\circ}\right) \right)^3$

Queremos obtener la potencia de un número complejo en forma trigonométrica.

Factorizamos el $5$ , para obtener

$5^3\left(\cos \left(30^{\circ}\right) +i\sin \left(30^{\circ}\right)\right)^3$

Usamos la fórmula de Moivre y desarrollamos

$\begin{align*} 125\left(\cos \left(3\cdot 30^{\circ}\right) +i\sin \left(3\cdot 30^{\circ}\right)\right)&=125\left(\cos \left(90^{\circ}\right) +i\sin \left(90^{\circ}\right)\right)\\ &=125\left(0 +i\right)\\ &=125i \end{align*}$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Martín

Junio 2020

Muchas gracias por el esfuerzo. ¿Cómo se eleva un número a un exponente complejo?

Juan Manuel Sanchez Perez

Septiembre 2020

¡Hola, Martín!

Definir la potencia $a^b$ donde ambos son complejos no es tan sencillo como podría parecer (puedes buscar detalles en libros de Análisis Complejo). Para no hacer el comentario largo, te puedo mencionar que esa potencia se define como

$a^b = e^{b\ln a}$

en donde $\ln z = \ln | z | + i \text{arg}(z)$ y $e^z = e^x (\cos y + i \sin y)$ donde $z = x + iy \in \mathbb{C}$ . Esa es la definición, pero hay muchos detalles sobre el porqué esa definición tiene sentido y generaliza la potencia de los números reales.

Cualquier duda que tengas, no dudes en comentar.

anna

Mayo 2021

cómo puedo hacer el módulo de a^(iy) con a,y números reales?
Muchas gracias.

Martha

Marzo 2021

Como puedo hacer para elevar i^28?

cintia

Mayo 2021

DIividir al 28 entre 4 , da 7 y el resto es cero.
Entonces:
i^28=i^0= 1

Antonio

Octubre 2020

Muchas gracias, ¿Cómo se saca la raíz quinta de 6+22i?

Nathaly Quiroz

Agosto 2021

(2-3i) 2

Mariela

Septiembre 2021

(1+√3i)⁵

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