Potencia de complejos en forma polar

 

La potencia n-ésima z^n  de un número complejo z es otro número complejo, tal que:

 

  • Su módulo se obtiene de elevar a la n el módulo de z
  • Su argumento será n veces el argumento de z

 

Cuando el número está expresado en forma polar, sus potencias son muy sencillas de calcular, pues:

(r_{\alpha})^n=(r^n)_{n\alpha}
 

Ejemplos:

 

  • (3_{30^{\circ}})^4=(3^4)_{4\cdot30^{\circ}}=81_{120^{\circ}}
  • \left( 7_{45^{\circ}} \right )^2=(7^2)_{2\cdot 45^{\circ}}=49_{90^{\circ}}
  • (2_{10^{\circ}})^6=(2^6)_{6\cdot10^{\circ}}=64_{60^{\circ}}

 

 

De la fórmula anterior, podemos obtener que  \longrightarrow \ \ (1_{\alpha})^n=(1^n)_{n\alpha}=1_{n\alpha}

 

De expresar esto mismo en forma trigonométrica resulta la fórmula de Moivre:

 

    (\cos \alpha + i \sin \alpha)^n=\cos n\alpha + i \sin n\alpha
 

La cual será útil cuando tomemos potencias de números complejos en forma trigonométrica

 

Ejemplos:

 

  • (\cos \alpha +i\sin \alpha )^9=\cos 9\alpha +i\sin 9\alpha
  • (2\cos \alpha +2i\sin \alpha )^4=2^4(\cos \alpha +i\sin \alpha)^4=16(\cos 4\alpha +i\sin 4\alpha)

 

Ejercicios con potencias de números complejos

 

1 (1+i)^4

Lo que conviene es convertir (1+i) a forma polar.
Módulo de (1+i)       \longrightarrow \hspace{.5cm} \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}
Argumento de (1+i)       \longrightarrow \hspace{.5cm} \arctan \left(\frac{1}{1}\right)=45^{\circ}

Usando la fórmula para potencias en forma polar obtengo que

 

(1+i)^4=(\sqrt{2}_{45^{\circ}})^4=(\sqrt{2})^4_{4\cdot45^{\circ}}=4_{180^{\circ}}
 

(\sqrt{3}-i)^7

 

Lo que conviene es convertir (\sqrt{3}-i) a forma polar.
Módulo de (\sqrt{3}-i)    \longrightarrow \hspace{.3cm} \sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}=2
Arg. de (\sqrt{3}-i)    \longrightarrow \hspace{.3cm} 360^{\circ}-\left|\arctan \left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right)\right|=360^{\circ}-30^{\circ}=330^{\circ}

Usando la fórmula para potencias en forma polar obtengo que

 

(\sqrt{3}-i)^7=(2_{330^{\circ}})^7=(2^7)_{7\cdot 330^{\circ}}=128_{2310^{\circ}}
Pero 2310^{\circ}=6\times 360^{\circ} + 150^{\circ}, entonces 128_{2310^{\circ}}=128_{150^{\circ}}

 

(2_{10^{\circ}})^5

 

Ya está en forma polar, por lo que solo usamos la fórmula

 

(2_{10^{\circ}})^5=(2^5)_{5\cdot 10^{\circ}}=32_{50^{\circ}}

 

\left(5\cos \left(30^{\circ}\right) +5i\sin \left(30^{\circ}\right) \right)^3

 

 

Queremos obtener la potencia de un número complejo en forma trigonométrica.

 

Factorizamos el 5, para obtener

 

5^3\left(\cos \left(30^{\circ}\right) +i\sin \left(30^{\circ}\right)\right)^3

Usamos la fórmula de Moivre y desarrollamos

 

    \begin{align*} 125\left(\cos \left(3\cdot 30^{\circ}\right) +i\sin \left(3\cdot 30^{\circ}\right)\right)&=125\left(\cos \left(90^{\circ}\right) +i\sin \left(90^{\circ}\right)\right)\\ &=125\left(0 +i\right)\\ &=125i \end{align*}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗