Marta

10 febrero 2020

Temas

 

Potencia de complejos en forma polar

 

La potencia n-ésima z^n  de un número complejo z es otro número complejo, tal que:

 

  • Su módulo se obtiene de elevar a la n el módulo de z
  • Su argumento será n veces el argumento de z

 

Cuando el número está expresado en forma polar, sus potencias son muy sencillas de calcular, pues:

(r_{\alpha})^n=(r^n)_{n\alpha}
 

Ejemplos:

 

  • (3_{30^{\circ}})^4=(3^4)_{4\cdot30^{\circ}}=81_{120^{\circ}}
  • \left( 7_{45^{\circ}} \right )^2=(7^2)_{2\cdot 45^{\circ}}=49_{90^{\circ}}
  • (2_{10^{\circ}})^6=(2^6)_{6\cdot10^{\circ}}=64_{60^{\circ}}

 

Fórmula de Moivre

 

De la fórmula anterior, podemos obtener que  \longrightarrow \ \ (1_{\alpha})^n=(1^n)_{n\alpha}=1_{n\alpha}

 

De expresar esto mismo en forma trigonométrica resulta la fórmula de Moivre:

 

    (\cos \alpha + i \sin \alpha)^n=\cos n\alpha + i \sin n\alpha
 

La cual será útil cuando tomemos potencias de números complejos en forma trigonométrica

 

Ejemplos:

 

  • (\cos \alpha +i\sin \alpha )^9=\cos 9\alpha +i\sin 9\alpha
  • (2\cos \alpha +2i\sin \alpha )^4=2^4(\cos \alpha +i\sin \alpha)^4=16(\cos 4\alpha +i\sin 4\alpha)

 

Ejercicios con potencias de números complejos

 

1 (1+i)^4

Lo que conviene es convertir (1+i) a forma polar.
Módulo de (1+i)       \longrightarrow \hspace{.5cm} \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}
Argumento de (1+i)       \longrightarrow \hspace{.5cm} \arctan \left(\frac{1}{1}\right)=45^{\circ}

Usando la fórmula para potencias en forma polar obtengo que

 

(1+i)^4=(\sqrt{2}_{45^{\circ}})^4=(\sqrt{2})^4_{4\cdot45^{\circ}}=4_{180^{\circ}}
 

2 (\sqrt{3}-i)^7

 

Lo que conviene es convertir (\sqrt{3}-i) a forma polar.
Módulo de (\sqrt{3}-i)    \longrightarrow \hspace{.3cm} \sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}=2
Arg. de (\sqrt{3}-i)    \longrightarrow \hspace{.3cm} 360^{\circ}-\left|\arctan \left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right)\right|=360^{\circ}-30^{\circ}=330^{\circ}

Usando la fórmula para potencias en forma polar obtengo que

 

(\sqrt{3}-i)^7=(2_{330^{\circ}})^7=(2^7)_{7\cdot 330^{\circ}}=128_{2310^{\circ}}
Pero 2310^{\circ}=6\times 360^{\circ} + 150^{\circ}, entonces 128_{2310^{\circ}}=128_{150^{\circ}}

 

3  (2_{10^{\circ}})^5

 

Ya está en forma polar, por lo que solo usamos la fórmula

 

(2_{10^{\circ}})^5=(2^5)_{5\cdot 10^{\circ}}=32_{50^{\circ}}

 

4  \left(5\cos \left(30^{\circ}\right) +5i\sin \left(30^{\circ}\right) \right)^3

 

 

Queremos obtener la potencia de un número complejo en forma trigonométrica.

 

Factorizamos el 5, para obtener

 

5^3\left(\cos \left(30^{\circ}\right) +i\sin \left(30^{\circ}\right)\right)^3

Usamos la fórmula de Moivre y desarrollamos

 

    \begin{align*} 125\left(\cos \left(3\cdot 30^{\circ}\right) +i\sin \left(3\cdot 30^{\circ}\right)\right)&=125\left(\cos \left(90^{\circ}\right) +i\sin \left(90^{\circ}\right)\right)\\ &=125\left(0 +i\right)\\ &=125i \end{align*}

 

¿Necesitas un/a profe de Matemáticas?

¿Te ha gustado el artículo?

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) 2,95/5 - 19 voto(s)
Cargando…

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗