10 febrero 2020
Temas
Potencia de complejos en forma polar
La potencia n-ésima de un número complejo
es otro número complejo, tal que:
- Su módulo se obtiene de elevar a la
el módulo de
- Su argumento será
veces el argumento de
Cuando el número está expresado en forma polar, sus potencias son muy sencillas de calcular, pues:
Ejemplos:
Fórmula de Moivre
De la fórmula anterior, podemos obtener que
De expresar esto mismo en forma trigonométrica resulta la fórmula de Moivre:
La cual será útil cuando tomemos potencias de números complejos en forma trigonométrica
Ejemplos:
Ejercicios con potencias de números complejos
1
Usando la fórmula para potencias en forma polar obtengo que
2
Usando la fórmula para potencias en forma polar obtengo que
3
Ya está en forma polar, por lo que solo usamos la fórmula
4
Queremos obtener la potencia de un número complejo en forma trigonométrica.
Factorizamos el , para obtener
Usamos la fórmula de Moivre y desarrollamos
Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
Muchas gracias por el esfuerzo. ¿Cómo se eleva un número a un exponente complejo?
¡Hola, Martín!
Definir la potencia
donde ambos son complejos no es tan sencillo como podría parecer (puedes buscar detalles en libros de Análisis Complejo). Para no hacer el comentario largo, te puedo mencionar que esa potencia se define como
en donde
y
donde
. Esa es la definición, pero hay muchos detalles sobre el porqué esa definición tiene sentido y generaliza la potencia de los números reales.
Cualquier duda que tengas, no dudes en comentar.
Muchas gracias, ¿Cómo se saca la raíz quinta de 6+22i?