Potencia de complejos en forma polar

La potencia n-ésima $z^n$ de un número complejo $z$ es otro número complejo, tal que:

Su módulo se obtiene de elevar a la $n$ el módulo de $z$
Su argumento será $n$ veces el argumento de $z$

Cuando el número está expresado en forma polar, sus potencias son muy sencillas de calcular, pues:

$(r_{\alpha})^n=(r^n)_{n\alpha}$

Ejemplos:

$(3_{30^{\circ}})^4=(3^4)_{4\cdot30^{\circ}}=81_{120^{\circ}}$
$\left( 7_{45^{\circ}} \right )^2=(7^2)_{2\cdot 45^{\circ}}=49_{90^{\circ}}$
$(2_{10^{\circ}})^6=(2^6)_{6\cdot10^{\circ}}=64_{60^{\circ}}$

Fórmula de Moivre

De la fórmula anterior, podemos obtener que $\longrightarrow \ \ (1_{\alpha})^n=(1^n)_{n\alpha}=1_{n\alpha}$

De expresar esto mismo en forma trigonométrica resulta la fórmula de Moivre:

$(\cos \alpha + i \sin \alpha)^n=\cos n\alpha + i \sin n\alpha$

La cual será útil cuando tomemos potencias de números complejos en forma trigonométrica

Ejemplos:

$(\cos \alpha +i\sin \alpha )^9=\cos 9\alpha +i\sin 9\alpha$

$(2\cos \alpha +2i\sin \alpha )^4=2^4(\cos \alpha +i\sin \alpha)^4=16(\cos 4\alpha +i\sin 4\alpha)$

Ejercicios con potencias de números complejos

1 $(1+i)^4$

Lo que conviene es convertir $(1+i)$ a forma polar.

Módulo de $(1+i)$ $\longrightarrow \hspace{.5cm} \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$

Argumento de $(1+i)$ $\longrightarrow \hspace{.5cm} \arctan \left(\frac{1}{1}\right)=45^{\circ}$

Usando la fórmula para potencias en forma polar obtengo que

$(1+i)^4=(\sqrt{2}_{45^{\circ}})^4=(\sqrt{2})^4_{4\cdot45^{\circ}}=4_{180^{\circ}}$

2 $(\sqrt{3}-i)^7$

Lo que conviene es convertir $(\sqrt{3}-i)$ a forma polar.

Módulo de $(\sqrt{3}-i)$ $\longrightarrow \hspace{.3cm} \sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}=2$

Arg. de $(\sqrt{3}-i)$ $\longrightarrow \hspace{.3cm} 360^{\circ}-\left|\arctan \left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right)\right|=360^{\circ}-30^{\circ}=330^{\circ}$

Usando la fórmula para potencias en forma polar obtengo que

$(\sqrt{3}-i)^7=(2_{330^{\circ}})^7=(2^7)_{7\cdot 330^{\circ}}=128_{2310^{\circ}}$ Pero $2310^{\circ}=6\times 360^{\circ} + 150^{\circ}$ , entonces $128_{2310^{\circ}}=128_{150^{\circ}}$

3 $(2_{10^{\circ}})^5$

Ya está en forma polar, por lo que solo usamos la fórmula

$(2_{10^{\circ}})^5=(2^5)_{5\cdot 10^{\circ}}=32_{50^{\circ}}$

4 $\left(5\cos \left(30^{\circ}\right) +5i\sin \left(30^{\circ}\right) \right)^3$

Queremos obtener la potencia de un número complejo en forma trigonométrica.

Factorizamos el $5$ , para obtener

$5^3\left(\cos \left(30^{\circ}\right) +i\sin \left(30^{\circ}\right)\right)^3$

Usamos la fórmula de Moivre y desarrollamos

$\begin{align*} 125\left(\cos \left(3\cdot 30^{\circ}\right) +i\sin \left(3\cdot 30^{\circ}\right)\right)&=125\left(\cos \left(90^{\circ}\right) +i\sin \left(90^{\circ}\right)\right)\\ &=125\left(0 +i\right)\\ &=125i \end{align*}$