En ocasiones, cuando realizamos una prueba de hipótesis, nuestra hipótesis nula pueden ser de la forma

 

\displaystyle H_0: \mu = \mu_0

 

para la media, o

 

\displaystyle H_0: p = p_0

 

si se trata de una proporción.

 

En este caso, la hipótesis alternativa es del tipo

 

\displaystyle H_A: \mu \neq \mu_0

 

cuando se trata de la media, o

 

\displaystyle H_A: p \neq p_0

 

para la proporción.

 

Procedimiento y fórmulas del contraste bilateral

 

A partir de aquí consideramos sólo la prueba de hipótesis para la media. El procedimiento es muy similar para las proporciones y se indicará cuando sea diferente.

 

Observemos que la hipótesis nula es una igualdad. Por lo tanto, rechazaremos la hipótesis nula cuando la media muestral sea mucho mayor o mucho menor a la hipotética.

 

En otras palabras, la región de rechazo se divide en dos regiones alejadas de la media. Estas regiones (o colas) de la región de rechazo son simétricas respecto a la media hipotética. Además, la probabilidad \alpha de estas regiones se conoce como el nivel de significación.

 

Regiones de rechazo y región de aceptación

 

Por tanto, en este caso la región de aceptación es el intervalo de probabilidad 1 - \alpha para \mu. Este intervalo se obtiene al descargar las colas de la región de rechazo y está dado por

 

\displaystyle \left( \mu_0 - z_{\alpha /2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \mu_0 + z_{\alpha /2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)

 

en el caso de la prueba de hipótesis para la media hipotética \mu_0.

 

Por otro lado, si hacemos una prueba de hipótesis para la proporción p, entonces la región de aceptación está dada por

 

\displaystyle \left( p_0 - z_{\alpha /2} \cdot \sqrt{\frac{p_0(1 - p_0)}{n}}, p_0 + z_{\alpha /2} \cdot \sqrt{\frac{p_0(1 - p_0)}{n}} \right)

 

En estas regiones, n es el tamaño de muestra, z_{\alpha / 2} es el valor crítico, \mu_0 es la media hipotética y p_0 es la proporción hipotética.

 

Los valores críticos z_{\alpha / 2} para la significancia \alpha se resumen en la siguiente tabla:

 

1 - \alpha \alpha/2 z_{\alpha/2} Intervalos característicos
0.90 0.05 1.645 \left( \mu - 1.645 \sigma, \mu + 1.645 \sigma \right)
0.95 0.025 1.96 \left( \mu - 1.96 \sigma, \mu + 1.96 \sigma \right)
0.99 0.005 2.575 \left( \mu - 2.575 \sigma, \mu + 2.575 \sigma \right)

 

Observemos que esta prueba de conoce como bilateral ya que la hipótesis se rechaza si la media (o proporción) muestral es mucho mayor o menor que la hipotética, es decir, la hipótesis se puede rechazar en ambos lados de \mu_0 (o p_0).

 

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Ejemplo resuelto del contraste bilateral

 

1 Se sabe que la desviación típica de las notas de cierto examen de Matemáticas es 2,4. Para una muestra de 36 estudiantes se obtuvo una nota media de 5,6. ¿Sirven estos datos para confirmar la hipótesis de que la nota media del examen fue de 6, con un nivel de confianza del 95%?

 

Realizamos los pasos para hacer una prueba de hipótesis:

 

a Primero enunciamos las hipótesis nula y alternativa. La hipótesis nula es

 

\displaystyle H_0 : \mu = 6

 

es decir, que la nota promedio es 6. Por otro lado, la hipótesis alternativa es

 

\displaystyle H_A : \mu \neq 6

 

que significa que la nota promedio es diferente a 6. Observemos que como la hipótesis nula es una igualdad, entonces haremos un constraste bilateral.

 

b Luego construimos la zona de aceptación. Como tenemos que el nivel de confianza es 95%, entonces el nivel de significancia es \alpha = 0.05. A este valor de significancia le corresponde el valor crítico

 

\displaystyle z_{\alpha / 2} = 1.96

 

De este modo, el intervalo de aceptación para la media es

 

\displaystyle \left( 6 - 1.96 \cdot \frac{2.4}{\sqrt{36}}, 6 + 1.96 \cdot \frac{2.4}{\sqrt{36}} \right)

 

es decir,

 

\displaystyle (6 - 0.784, 6 + 0.784) = (5.216, 6.784)

 

c Después realizamos la verificación: la media obtenida en la muestra es de 5.6.

 

d Por tanto, decidimos que la hipótesis nula H_0 se acepta debido a que \overline{X} = 5.6 se encuentra dentro del intervalo de aceptación. Es decir, concluimos que no hay evidencia suficiente para decir que la media es diferente a 6.

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗