Intervalo de confianza para una proporción

   Cada miembro de una población en estudio puede clasificarse dependiendo de cierta característica de interés, puede clasificarse como que tiene o no tiene dicha característica, y podemos estar interesados en la proporción de personas "p" de la población que tienen esa característica.

Si tomamos una muestra aleatoria de tamaño n de la población y denotamos con X a la variable aleatoria que representa el numero de elementos de la muestra con la característica de interés, entonces se tendrá que X es una variable aleatoria que sigue una distribución binomial con parámetros n y p (por lo tanto, la esperanza y varianza son: E(X) = np y V(X) = np(1-p) ) . Y si el tamaño de la muestra es grande entonces tendremos que

    \begin{equation*} \frac{X - np}{\sqrt{np(1-p)}} \end{equation*}

se distribuye como una normal estándar.

Ahora bien, esto nos ayuda a encontrar un intervalo de nivel de confianza 1-\alpha para la proporción poblacional, para esto partimos de que

     \begin{equation*} P\left( -z_{\alpha/2} \leq \frac{X - np}{\sqrt{np(1-p)}} \leq z_{\alpha/2} \right) = 1- \alpha \end{equation*}

y de aquí llegamos a que el intervalo de confianza esta determinado por

     \begin{equation*} P\left( \hat{p}-z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \leq p \leq \hat{p} + z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right) = 1- \alpha, \end{equation*}

donde \hat{p} = \frac{X}{n}, es decir \hat{p} proporción de individuos con dicha característica en las muestras de tamaño n.

Intervalo de confianza para una proporción

     \begin{equation*} \left( \hat{p}-z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}, \hat{p} + z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right) . \end{equation*}

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Ejemplo de calcular intervalo de confianza de proporciones

En una muestra de 100 personas extraída de una población, 20 de ellas son portadoras de cierta enfermedad. Estima un intervalo de confianza a un nivel del 95% para la proporción de personas portadoras de la enfermedad.

Tenemos que

    \[ \hat p = \frac{20}{100} = 0.2 \]

para

    \[ 1- \alpha = 0.95 \quad \textrm{se tiene que} \quad z_{\alpha/2} = 1.96 \]

entonces

    \[\left( 0.2-1.96\sqrt{\frac{(0.2)(0.8)}{100}}, 0.2 + 1.96\sqrt{\frac{(0.2)(0.8)}{100}} \right) \]

    \[ \left( 0.2-0.0784, 0.2+0.0784} \right) \]

    \[ \left( 0.1216, 0.2784} \right)\]

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗