En ocasiones, cuando realizamos una prueba de hipótesis para la media, nuestra hipótesis nula pueden ser de la forma

 

\displaystyle H_0: \mu \leq \mu_0

 

por lo que la hipótesis alternativa sería

 

\displaystyle H_A: \mu > \mu_0

 

Otra posibilidad es que la hipótesis nula sea del tipo

 

\displaystyle H_0: \mu \geq \mu_0

 

de modo que la hipótesis alternativa es

 

\displaystyle H_A: p < p_0

 

Procedimiento y fórmulas del contraste unilateral

 

Consideramos ambos casos por separado, empezando con el caso "menor o igual que".

 

Caso "menor o igual que"

 

En este caso, la hipótesis nula es del tipo

 

\displaystyle H_0: \mu \leq \mu_0

 

en el caso de la media. De modo que la hipótesis alternativa es

 

\displaystyle H_A: \mu > \mu_0

 

En este caso, rechazaríamos la hipótesis nula si la media muestral es mucho mayor a la media hipotética. La región de rechazo se muestra en la siguiente imagen, donde podemos apreciar que esta región de rechazo se concentra en la cola derecha de la distribución.

 

regiones de aceptación y rechazo para el primer caso

 

En este caso, la región de aceptación es

 

\displaystyle \left( -\infty, \mu_0 + z_{\alpha} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)

 

en donde z_{\alpha} es el valor crítico para la significación \alpha, \sigma es la desviación estándar de la población y \mu_0 es la media hipotética.

 

Caso "mayor o igual que"

 

Para este caso, la hipótesis nula es del tipo

 

\displaystyle H_0: \mu \geq \mu_0

 

mientras que la hipótesis alternativa es

 

\displaystyle H_A: \mu < \mu_0

 

Aquí, rechazaríamos la hipótesis nula si la media \overline{X} de la muestra es muy inferior a la media hipotética. En la siguiente imagen se muestra la región de rechazo, la cual se concentra en la cola izquierda de la distribución:

 

regiones de aceptación y de rechazo para el segundo caso

 

Por último, la región de aceptación en este caso está dada por

 

\displaystyle \left( \mu_0 - z_{\alpha} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \infty \right)

 

Al igual que en el caso anterior, z_{\alpha} es el valor crítico para la significación \alpha, \sigma es la desviación estándar de la población y \mu_0 es la media hipotética.

 

Prueba de hipótesis para una proporción

 

En el caso de una proporción, si la hipótesis nula es de la forma

 

\displaystyle H_0: p \leq p_0

 

y la hipótesis alternativa es del tipo

 

\displaystyle H_0: p > p_0

 

entonces la región de aceptación en este caso está dada por

 

\displaystyle \left( -\infty, \mu_0 + z_{\alpha} \cdot \sqrt{\frac{p_0 (1 - p_0)}{n}} \right)

 

Por otro lado, si la hipótesis nula es de la forma

 

\displaystyle H_0: p \geq p_0

 

y la hipótesis alternativa es del tipo

 

\displaystyle H_0: p < p_0

 

entonces la región de aceptación estaría dada por

 

\displaystyle \left( \mu_0 - z_{\alpha} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \infty \right)

 

Valores críticos

 

Los valores críticos z_{\alpha} para valores de significación \alpha comunes se resumen en la siguiente tabla:

 

1 - \alpha \alpha z_{\alpha}
0.90 0.10 1.28
0.95 0.05 1.645
0.99 0.01 2.33

 

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Ejemplos de problemas con el contraste unilateral

1 Un sociólogo ha pronosticado, que en una determinada ciudad, el nivel de abstención en las próximas elecciones será del 40% como mínimo. Se elige al azar una muestra aleatoria de 200 individuos con derecho a votar, 75 de los cuales estarían dispuestos a votar. Determina con un nivel de significación del 1% si se puede admitir el pronóstico.

 

Para realizar la prueba de hipótesis, haremos cada uno de los pasos.

 

a Comenzamos enunciando las hipótesis nula y alternativa. La hipótesis nula es

 

\displaystyle H_0: p \geq 0.4

 

es decir, la abstención será del 40% como mínimo. Luego, enunciamos la hipótesis alternativa:

 

\displaystyle H_A: p < 0.4

 

que significa que la abstención será menor al 40%. Observemos que se trata de una contraste unilateral del tipo "mayor o igual que".

 

b Después, construimos la región de aceptación. En este caso, a la significación \alpha = 0.01 le corresponde un valor crítico de z_{\alpha} = 2.33. Así, la región de aceptación es

 

\displaystyle \left(0.4 - 2.33 \cdot \frac{0.4(0.6)}{200}, \infty \right) = (0.319, \infty)

 

c Ahora verificamos si la proporción muestral está en el la región de aceptación. Notemos que 75 de los individuos están dispuestos a votar, por lo que 125 se abstendrían. Es decir, la proporción de abstenciones en la muestra es

 

\displaystyle \hat{p} = \frac{125}{200} = 0.625

 

d Notemos que \hat{p} = 0.625 se encuentra dentro de la región de aceptación. Por tanto, podemos aceptar la hipótesis nula. Es decir, concluimos que la abstención será de al menos el 40%.

 

2 Un informe indica que el precio medio del billete de avión entre Canarias y Madrid es, como máximo, de 120 € con una desviación típica de 40 €. Se toma una muestra de 100 viajeros y se obtiene que la media de los precios de sus billetes es de 128 €.

 

¿Existe evidencia suficiente para rechazar la afirmación de partida, con un nivel de significación de 0.1?

 

Al igual que en los casos anteriores, realizamos los pasos de la prueba de hipótesis.

 

a Primero, enunciamos las hipótesis nula y alternativa. La hipótesis nula es

 

\displaystyle H_0: \mu \leq 120,

 

mientras que la hipótesis alternativa es

 

\displaystyle H_A: \mu > 120.

 

Como se trata de una hipótesis del tipo "menor o igual que", entonces realizamos un contraste unilateral.

 

b Construimos la región de aceptación para \overline{X}. Observemos que a una significación \alpha = 0.1 le corresponde un valor crítico z_{\alpha} = 1.28. En este caso, la región de aceptación está dada por

 

\displaystyle \left(-\infty, 120 + 1.28 \cdot \frac{40}{\sqrt{100}}\right) = (-\infty, 125.12)

 

c Verificamos la media muestral, la cual fue \overline{X} = 128.

 

d Así, como la media muestral no se encuentra dentro de la región de aceptación, entonces rechazamos la hipótesis nula. Es decir, concluimos que hay evidencia suficiente para afirmar que el precio es mayor a 120 €, contrario a lo que indica el informe.

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗