Intervalos característicos

Sea X una v.a. que se distribuye normalmente, un intervalo característico es un intervalo simétrico entorno a la media (\mu -k, \mu +k) en el que la probabilidad de que un valor de la variable esté en ese intervalo es p, es decir

     \[ \mathbb{P}[\mu -k < x < \mu +k] = p \]

Llamamos nivel de significancia a la probabilidad que dejamos fuera del intervalo característico y lo denotamos con \alpha. Entonces, la probabilidad que queda en el intervalo será p = 1-\alpha conocida como nivel de confianza el cual es representado en porcentajes en varias ocasiones.

Normal
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Vamos

Intervalos característicos con distribución normal estándar y valor critico

Sea una distribución normal N(0,1). Un intervalo característico correspondiente a una probabilidad p, sería un intervalo (-k, k) que cumpliría que la probabilidad dentro de ese intervalo sería p. Es decir,

     \[ \mathbb{P}(-k \leq x \leq k) = p \]

Con distribución N(0,1) la media es 0, por tanto los intervalos característicos son de la forma (-k, k).

Normal estandar

Calculemos los intervalos característicos para los valores más comunes de nivel de confianza:

Buscamos k tal que

     \[ \mathbb{P}[ - k < x < k] = 1 - \alpha \]

Tenemos que

    \begin{align*} \mathbb{P}[ - k < x < k] &= \mathbb{P}[x<k] - \mathbb{P}[x<-k] \\ &= \mathbb{P}[x<k] -1+ \mathbb{P}[x<k] \\ &= 2 \mathbb{P}[x<k] - 1 \end{align*}

entonces

     \[ 2 \mathbb{P}[x<k] - 1 = 1 - \alpha \]

por tanto

     \[ \mathbb{P}[x<k] = 1 - \frac{\alpha}{2} \]

Llamemos  z_{\alpha} al valor de la variable que deja a su derecha una probabilidad \alpha, es decir

    \[ \mathbb{P}[x > z_{\alpha}] = \alpha .\]

Entonces tendremos que

    \[ \mathbb{P}[x < z_{\alpha / 2}] = 1 - \frac{\alpha}{2} \]

Y a z_{\alpha / 2} se le conoce como valor critico, cada nivel de confianza lleva asociado un valor llamado valor crítico z_{\alpha / 2} y en una distribución normal N(0,1) el intervalo característico es de la forma (-z_{\alpha / 2}, z_{\alpha / 2}).

Ahora bien, si tenemos un nivel de confianza de 1- \alpha = 0.9, entonces \alpha = 0.1 y \frac{\alpha}{2} = 0.05, de aquí, tenemos que hallar k tal que

    \begin{align*} \mathbb{P}[x < k] &= 1 - \frac{\alpha}{2} \\ &= 1 - 0.05\\ &= 0.95 \end{align*}

Buscando en las tablas encontramos que k = 1.645 , es decir:

Valor critico :  z_{\alpha / 2} = 1.645

Intervalo característico :  ( -1.645, 1.645)

En la siguiente tabla vemos los valores críticos dado el nivel de confianza:

1 - \alpha  \alpha / 2  z_{\alpha / 2}
0.90 0.05 1.645
0.95 0.025 1.96
0.99 0.005 2.575

En una distribución normal  N(\mu, \sigma ) el intervalo característico correspondiente a una probabilidad  p = 1 - \alpha es de la forma:

    \[ (\mu - z_{\alpha / 2} \cdot \sigma, \mu + z_{\alpha / 2} \cdot \sigma) \]

En la siguiente tabla vemos como quedaría el intervalo característico dado el nivel de confianza:

1 - \alpha  \alpha / 2  z_{\alpha / 2} Intervalos característicos
0.90 0.05 1.645 (\mu - 1.645 \cdot \sigma , \mu + 1.645 \cdot \sigma)
0.95 0.025 1.96 (\mu - 1.96 \cdot \sigma , \mu + 1.96 \cdot \sigma )
0.99 0.005 2.575 (\mu - 2.575 \cdot \sigma ,\mu + 2.575 \cdot \sigma )
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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗