Muestreo

1En cierta cadena de centros comerciales trabajan 150 personas en el departamento de personal, 450 en el departamento de ventas, 200 en el departamento de contabilidad y 100 en el departamento de atención al cliente. Con objeto de realizar una encuesta laboral, se quiere seleccionar una muestra de 180 trabajadores.
¿Qué tipo de muestreo deberíamos utilizar para la selección de la muestra si queremos que incluya a trabajadores de los cuatro departamentos mencionados?
¿Qué número de trabajadores tendríamos que seleccionar en cada departamento atendiendo a un criterio de proporcionalidad?

 

1¿Qué tipo de muestreo deberíamos utilizar para la selección de la muestra si queremos que incluya a trabajadores de los cuatro departamentos mencionados?

Utilizaremos un muestreo aleatorio estratificado, ya que queremos que haya representantes de cada uno de los departamentos, tomaremos una muestra significativa que represente la proporción de empleados que hay en cada departamento.

 

2¿Qué número de trabajadores tendríamos que seleccionar en cada departamento atendiendo a un criterio de proporcionalidad?

Para poder elegir una cantidad proporcional de cada departamento, primero debemos conocer la proorción que tendrá el tamaño de la muestra respecto a la totalidad de trabajadores, esto es:

     $$\frac{\text{N}^{\circ} \text{muestra}}{\text{N}^{\circ} \text{total de trabajadores}}=\frac{180}{N}$$

donde

    $$N=150+450+200+100=900.$$

Ahora, la cantidad de trabajadores a seleccionar de cada departamento, debe conservar la proporción que hemos calculado, es decir, el número $x$ de trabajadores en cada departamento debe cumplir:

     $$\frac{180}{900}=\frac{x}{\text{N}^{\circ} \text{trabajdores en departamento}}.$$

Entonces tenemos

     $$\frac{180}{900}=\frac{x_{\text{personal}}}{150} \Rightarrow x_{\text{personal}}=\frac{(180)(150)}{900}=30$$

     $$\frac{180}{900}=\frac{x_{\text{ventas}}}{450} \Rightarrow x_{\text{ventas}}=\frac{(180)(450)}{900}=90$$

     $$\frac{180}{900}=\frac{x_{\text{conta}}}{200} \Rightarrow x_{\text{conta}}=\frac{(180)(200)}{900}=40$$

     $$\frac{180}{900}=\frac{x_{\text{clientes}}}{100} \Rightarrow x_{\text{clientes}}=\frac{(180)(100)}{900}=20$$

Y además podemos corroborar que

x_{\text{personal}}+x_{\text{ventas}}+x_{\text{conta}}+x_{\text{clientes}}=30+90+40+20=180

que es justamente el tamaño de la muestra.

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Nivel de confianza

2La cantidad de hemoglobina en sangre del hombre sigue una ley normal con una desviación típica de 2g/dl. Calcule el nivel de confianza de una muestra de 12 extracciones de sangre que indique que la media poblacional de hemoglobina en sangre está entre 13 y 15 g/dl.

 

1 Necesitamos encontrar el nivel de confianza para que la media del nivel de hemoglobina en sangre esté entre 13 y 15 g/dl. Para establecer esto necesitamos conocer el nivel de significancia y esto lo podemos saber a través de la fórmula del error estándar, este es

    $$\text{E}=Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt(n)}$$

donde $\sigma$ es la desviación típica, $n$ es el tamaño de la muestra y $Z_{\alpha/2}$ es el valor Z de una distribución Normal estándar tal que

    $$P(z\leq Z)=1-\frac{\alpha}{2}$$

Como queremos conocer la confiabilidad de que la media esté entre 13 y 15 g/dl, tomemos este intervalo como estimador para el error estándar, sustituyendo los valores en la fórmula tenemos

    $$\frac{15-13}{2}=Z_{\alpha/2}\frac{2}{\sqrt{12}}$$

    $$1=Z_{\alpha/2}\frac{2}{\sqrt{12}}$$

despejando

    $$Z_{\alpha/2}=\frac{\sqrt{12}}{2}=1.73$$

Conociendo ya el valor de $Z_{\alpha/2}$ podemos calcular la probabilidad correspondiente. Esto se solía hacer mediante tablas, hoy en día tenemos herramientas más sencillas de utilizar, como lo es Wolfram. Entonces tenemos que la probabilidad es

    $$P(z\leq 1.73)=0.9581$$

Dado que hemos calculado $Z_{\alpha/2}$, es necesario restar la probabilidad del extremo izquierdo de la distribución normal, para esto consideremos

    $$P(z\geq Z)=1-P(z\leq Z)=1-0.9581=0.0419$$

entonces

    $$0.9581-0.0419=0.9162$$

Por lo tanto, el nivel de confianza de que la media de hemoglobina en sangre se encuentre entre 15 y 13 g/dl es del 91.62% para una muestra de 12 extracciones de sangre.

Prueba de hipótesis a dos colas

3Un fabricante de lámparas eléctricas está ensayando un nuevo método de producción que se considerará aceptable si las lámparas obtenidas por este método dan lugar a una población normal de duración media 2400 horas, con una desviación típica igual a 300. Se toma una muestra de 100 lámparas producidas por este método y esta muestra tiene una duración media de 2320 horas. ¿Se puede aceptar la hipótesis de validez del nuevo proceso de fabricación con un riesgo igual o menor al 5%?

1Este es un ejercicio donde tenemos que hacer una prueba de hipótesis, el objetivo es saber si la muestra tomada es evidencia suficiente para afirmar que el nuevo método de producción dará lugar a lámparas con una duración media de 2400 horas y desviación típica de 300 horas con un 5% de probabilidad (o menos) a equivocarse. El primer paso es establecer la hipótesis nula ($H_0$) y la hipótesis alternativa ($H_1$), donde generalmente el resultado nos lleva a rechazar o no rechazar la hipótesis nula.

    $$H_{0}:\mu = 2400$$

    $$H_{1}:\mu \not = 2400$$

Para realizar la prueba de hipótesis necesitaremos calcular nuestro estadístico; dado que estamos suponiendo que el tiempo de duración se distribuye de acuerdo a una distribución normal y el tamaño de muestra es igual a 100, usaremos el estadístico Z (variable aleatoria de una Normal estándar), este es

    $$z_{0}=\frac{\bar{x}-\mu_{0}}{\sigma /\sqrt{n}}$$

donde $\bar{x}$ es la media de la muestra, $\mu_{0}$ es la media de $H_{0}$, $\sigma$ es la desviación típica y $n$ es el tamaño de la muestra. Sustituyendo los valores tenemos

    $$z_{0}=\frac{2320-2400}{300 /\sqrt{100}}=-2.66$$

Ahora, calculemos el p-valor para $z_{0}=-2.66$, dado que la hipótesis alternativa es una negación ($\not =$) este es un análisis de dos colas, para este caso el p-valor se calcula como

    $$\text{p-valor}=2P(Z\geq |z_{0}|)=2P(Z\geq 2.66)$$

    $$\text{p-valor}=2(0.00390703)=0.00781406$$

La probabilidad de error es del 5%, lo que quiere decir que el nivel de significancia que se está considerando es del 0.05 y tenemos que p-valor=0.0078; la hipótesis nula se rechaza si p-valor es menor al valor de significancia, que es justamente lo que tenemos

    $$0.0078 < 0.05$$

Por lo tanto, hay evidencia suficiente para rechazar la hipótesis de que el nuevo método de producción dará lugar a lámparas con una duración media de 2400 horas y desviación típica de 300 con un 5% de probabilidad de equivocarnos.

4El control de calidad una fábrica de pilas y baterías sospecha que hubo defectos en la producción de un modelo de batería para teléfonos móviles, bajando su tiempo de duración. Hasta ahora el tiempo de duración en conversación seguía una distribución normal con media 300 minutos y desviación típica 30 minutos. Sin embargo, en la inspección del último lote producido, antes de enviarlo al mercado, se obtuvo que de una muestra de 60 baterías el tiempo medio de duración en conversación fue de 290 minutos. Suponiendo que ese tiempo sigue siendo Normal con la misma desviación típica: ¿Se puede concluir que las sospechas del control de calidad son ciertas a un nivel de significación del 1%?

1Este es un ejercicio donde tenemos que hacer una prueba de hipótesis, el objetivo es saber si la muestra tomada es evidencia suficiente para afirmar, con el 1% de probabilidad a equivocarnos, que la sospecha del equipo de control de calidad es cierta, en referencia a la disminución de la calidad de las baterias. El primer paso es establecer la hipótesis nula ($H_0$) y la hipótesis alternativa ($H_1$), donde generalmente el resultado nos lleva a rechazar o no rechazar la hipótesis nula.

    $$H_{0}:\mu = 300$$

    $$H_{1}:\mu \not = 300$$

Para realizar la prueba de hipótesis necesitaremos calcular nuestro estadístico; dado que estamos suponiendo que el tiempo de duración se distribuye de acuerdo a una distribución normal y el tamaño de muestra es igual a 60, usaremos el estadístico Z (variable aleatoria de una Normal estándar), este es

    $$z_{0}=\frac{\bar{x}-\mu_{0}}{\sigma /\sqrt{n}}$$

donde $\bar{x}$ es la media de la muestra, $\mu_{0}$ es la media de $H_{0}$, $\sigma$ es la desviación típica y $n$ es el tamaño de la muestra. Sustituyendo los valores tenemos

    $$z_{0}=\frac{290-300}{30 /\sqrt{60}}=-2.58$$

Ahora, calculemos el p-valor para $z_{0}=-2.58$, dado que la hipótesis alternativa es una negación ($\not =$) este es un análisis de dos colas, para este caso el p-valor se calcula como

    $$\text{p-valor}=2P(Z\geq |z_{0}|)=2P(Z\geq 2.58)$$

    $$\text{p-valor}=2(0.00494002)=0.00988004$$

La probabilidad de error es del 1%, lo que quiere decir que el nivel de significancia que se está considerando es del 0.01 y tenemos que p-valor=0.0098; la hipótesis nula se rechaza si p-valor es menor al valor de significancia, que es justamente lo que tenemos

    $$0.0098 < 0.01$$

Por lo tanto, hay evidencia suficiente para rechazar la hipótesis de que la duración media de la batería es de 300 minutos con desviación típica de 30 minutos con un 1% de probabilidad a equivocarse con una muestra de tamaño 60, es decir, podemos concluir que las sospechas del equipo de control de calidad sí son ciertas.

5Se cree que el nivel medio de protombina en una población normal es de 20 mg/100 ml de plasma con una desviación típica de 4 miligramos/100 ml. Para comprobarlo, se toma una muestra de 40 individuos en los que la media es de 18.5 mg/100 ml. ¿Se puede aceptar la hipótesis, con un nivel de significación del 5%?

1Este es un ejercicio donde tenemos que hacer una prueba de hipótesis, el objetivo es saber si la muestra tomada es evidencia suficiente para afirmar, con el 5% de probabilidad a equivocarnos, que el nivel medio de protombina es de 20 mg/100 ml de plasma con una desviación típica de 4 mg/100 ml. El primer paso es establecer la hipótesis nula ($H_0$) y la hipótesis alternativa ($H_1$), donde generalmente el resultado nos lleva a rechazar o no rechazar la hipótesis nula.

    $$H_{0}:\mu = 20$$

    $$H_{1}:\mu \not = 20$$

Para realizar la prueba de hipótesis necesitaremos calcular nuestro estadístico; dado que estamos suponiendo que la concentración de protombina se distribuye de acuerdo a una distribución normal y el tamaño de muestra es igual a 40, usaremos el estadístico Z (variable aleatoria de una Normal estándar), este es

    $$z_{0}=\frac{\bar{x}-\mu_{0}}{\sigma /\sqrt{n}}$$

donde $\bar{x}$ es la media de la muestra, $\mu_{0}$ es la media de $H_{0}$, $\sigma$ es la desviación típica y $n$ es el tamaño de la muestra. Sustituyendo los valores tenemos

    $$z_{0}=\frac{18.5-20}{4 /\sqrt{40}}=-2.37$$

Ahora, calculemos el p-valor para $z_{0}=-2.37$, dado que la hipótesis alternativa es una negación ($\not =$) este es un análisis de dos colas, para este caso el p-valor se calcula como

    $$\text{p-valor}=2P(Z\geq |z_{0}|)=2P(Z\geq 2.37)$$

    $$\text{p-valor}=2(0.00889404)=0.01778808$$

La probabilidad de error es del 5%, lo que quiere decir que el nivel de significancia que se está considerando es del 0.05 y tenemos que p-valor=0.0177; la hipótesis nula se rechaza si p-valor es menor al valor de significancia, que es justamente lo que tenemos

    $$0.0177 < 0.05$$

Por lo tanto, hay evidencia suficiente para rechazar la hipótesis de que el el nivel medio de protombina es de 20 mg/100 ml de plasma con una desviación típica de 4 mg/100 ml, con un nivel de significancia del 5% con una muestra de tamaño 40.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗