Muestreo
1En cierta cadena de centros comerciales trabajan 150 personas en el departamento de personal, 450 en el departamento de ventas, 200 en el departamento de contabilidad y 100 en el departamento de atención al cliente. Con objeto de realizar una encuesta laboral, se quiere seleccionar una muestra de 180 trabajadores.
¿Qué tipo de muestreo deberíamos utilizar para la selección de la muestra si queremos que incluya a trabajadores de los cuatro departamentos mencionados?
¿Qué número de trabajadores tendríamos que seleccionar en cada departamento atendiendo a un criterio de proporcionalidad?
Utilizaremos un muestreo aleatorio estratificado, ya que queremos que haya representantes de cada uno de los departamentos, tomaremos una muestra significativa que represente la proporción de empleados que hay en cada departamento.
2¿Qué número de trabajadores tendríamos que seleccionar en cada departamento atendiendo a un criterio de proporcionalidad?
Para poder elegir una cantidad proporcional de cada departamento, primero debemos conocer la proorción que tendrá el tamaño de la muestra respecto a la totalidad de trabajadores, esto es:
donde
Ahora, la cantidad de trabajadores a seleccionar de cada departamento, debe conservar la proporción que hemos calculado, es decir, el número de trabajadores en cada departamento debe cumplir:
Entonces tenemos
Y además podemos corroborar que
que es justamente el tamaño de la muestra.
Nivel de confianza
2La cantidad de hemoglobina en sangre del hombre sigue una ley normal con una desviación típica de 2g/dl. Calcule el nivel de confianza de una muestra de 12 extracciones de sangre que indique que la media poblacional de hemoglobina en sangre está entre 13 y 15 g/dl.
donde es la desviación típica,
es el tamaño de la muestra y
es el valor Z de una distribución Normal estándar tal que
Como queremos conocer la confiabilidad de que la media esté entre 13 y 15 g/dl, tomemos este intervalo como estimador para el error estándar, sustituyendo los valores en la fórmula tenemos
despejando
Conociendo ya el valor de podemos calcular la probabilidad correspondiente. Esto se solía hacer mediante tablas, hoy en día tenemos herramientas más sencillas de utilizar, como lo es Wolfram. Entonces tenemos que la probabilidad es
Dado que hemos calculado , es necesario restar la probabilidad del extremo izquierdo de la distribución normal, para esto consideremos
entonces
Por lo tanto, el nivel de confianza de que la media de hemoglobina en sangre se encuentre entre 15 y 13 g/dl es del 91.62% para una muestra de 12 extracciones de sangre.
Prueba de hipótesis a dos colas
3Un fabricante de lámparas eléctricas está ensayando un nuevo método de producción que se considerará aceptable si las lámparas obtenidas por este método dan lugar a una población normal de duración media 2400 horas, con una desviación típica igual a 300. Se toma una muestra de 100 lámparas producidas por este método y esta muestra tiene una duración media de 2320 horas. ¿Se puede aceptar la hipótesis de validez del nuevo proceso de fabricación con un riesgo igual o menor al 5%?
Para realizar la prueba de hipótesis necesitaremos calcular nuestro estadístico; dado que estamos suponiendo que el tiempo de duración se distribuye de acuerdo a una distribución normal y el tamaño de muestra es igual a 100, usaremos el estadístico Z (variable aleatoria de una Normal estándar), este es
donde es la media de la muestra,
es la media de
,
es la desviación típica y
es el tamaño de la muestra. Sustituyendo los valores tenemos
Ahora, calculemos el p-valor para , dado que la hipótesis alternativa es una negación (
) este es un análisis de dos colas, para este caso el p-valor se calcula como
La probabilidad de error es del 5%, lo que quiere decir que el nivel de significancia que se está considerando es del 0.05 y tenemos que p-valor=0.0078; la hipótesis nula se rechaza si p-valor es menor al valor de significancia, que es justamente lo que tenemos
Por lo tanto, hay evidencia suficiente para rechazar la hipótesis de que el nuevo método de producción dará lugar a lámparas con una duración media de 2400 horas y desviación típica de 300 con un 5% de probabilidad de equivocarnos.
4El control de calidad una fábrica de pilas y baterías sospecha que hubo defectos en la producción de un modelo de batería para teléfonos móviles, bajando su tiempo de duración. Hasta ahora el tiempo de duración en conversación seguía una distribución normal con media 300 minutos y desviación típica 30 minutos. Sin embargo, en la inspección del último lote producido, antes de enviarlo al mercado, se obtuvo que de una muestra de 60 baterías el tiempo medio de duración en conversación fue de 290 minutos. Suponiendo que ese tiempo sigue siendo Normal con la misma desviación típica: ¿Se puede concluir que las sospechas del control de calidad son ciertas a un nivel de significación del 1%?
Para realizar la prueba de hipótesis necesitaremos calcular nuestro estadístico; dado que estamos suponiendo que el tiempo de duración se distribuye de acuerdo a una distribución normal y el tamaño de muestra es igual a 60, usaremos el estadístico Z (variable aleatoria de una Normal estándar), este es
donde es la media de la muestra,
es la media de
,
es la desviación típica y
es el tamaño de la muestra. Sustituyendo los valores tenemos
Ahora, calculemos el p-valor para , dado que la hipótesis alternativa es una negación (
) este es un análisis de dos colas, para este caso el p-valor se calcula como
La probabilidad de error es del 1%, lo que quiere decir que el nivel de significancia que se está considerando es del 0.01 y tenemos que p-valor=0.0098; la hipótesis nula se rechaza si p-valor es menor al valor de significancia, que es justamente lo que tenemos
Por lo tanto, hay evidencia suficiente para rechazar la hipótesis de que la duración media de la batería es de 300 minutos con desviación típica de 30 minutos con un 1% de probabilidad a equivocarse con una muestra de tamaño 60, es decir, podemos concluir que las sospechas del equipo de control de calidad sí son ciertas.
5Se cree que el nivel medio de protombina en una población normal es de 20 mg/100 ml de plasma con una desviación típica de 4 miligramos/100 ml. Para comprobarlo, se toma una muestra de 40 individuos en los que la media es de 18.5 mg/100 ml. ¿Se puede aceptar la hipótesis, con un nivel de significación del 5%?
Para realizar la prueba de hipótesis necesitaremos calcular nuestro estadístico; dado que estamos suponiendo que la concentración de protombina se distribuye de acuerdo a una distribución normal y el tamaño de muestra es igual a 40, usaremos el estadístico Z (variable aleatoria de una Normal estándar), este es
donde es la media de la muestra,
es la media de
,
es la desviación típica y
es el tamaño de la muestra. Sustituyendo los valores tenemos
Ahora, calculemos el p-valor para , dado que la hipótesis alternativa es una negación (
) este es un análisis de dos colas, para este caso el p-valor se calcula como
La probabilidad de error es del 5%, lo que quiere decir que el nivel de significancia que se está considerando es del 0.05 y tenemos que p-valor=0.0177; la hipótesis nula se rechaza si p-valor es menor al valor de significancia, que es justamente lo que tenemos
Por lo tanto, hay evidencia suficiente para rechazar la hipótesis de que el el nivel medio de protombina es de 20 mg/100 ml de plasma con una desviación típica de 4 mg/100 ml, con un nivel de significancia del 5% con una muestra de tamaño 40.
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La plataforma que conecta profes particulares y estudiantes
Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
La empresa “M&M SOLUTIONS” de la ciudad de Cusco, que comercializa llantas; desea conocer los máximos y mínimos de inventario, para ello se tienen los siguientes datos:
El proveedor realiza la entrega de los productos a la empresa cada 15 días (Tr), se tiene el dato que el día que se vende más el producto es de 140 llantas (Cmx) y el día que se vende menos el producto es de 80 llantas (Cmn); también se sabe que el promedio de venta es de 100 llantas (Cp), al momento de los datos el stock en almacén es de 450 llantas (E).
A. ¿Cuál será el stock mínimo (Emn)?
B. ¿Cuál será el stock máximo (Emx)?
C. ¿Cuál es el punto de pedido (Pp)?
D. ¿Cuál es la cantidad de pedido (CP)?
En este tiempo de pandemia y de recesión económica en nuestro país, muchas empresas del sector industrial han
sufrido pérdidas, y ahora están tratando de recuperándose; y este es el caso de la empresa DOLLY S.A.C.
DOLLY S.A.C es una empresa que produce ropa deportiva para caballeros. Ante la reciente vuelta de las empresas
en el mercado, el dueño de DOLLY S.A.C quiere analizar en que intervalo se encontrarían los ingresos anuales de
sus trabajadores. Para ello, elige una muestra aleatoria de 180 trabajadores, los cuales revelan una media muestral
de 15 580 soles.
Ante el panorama actual, el dueño de DOLLY S.A.C se muestra con positivismo trabaja con un margen de error del
5% y un nivel de confianza del 95%. Ante esto, sea saber lo siguiente:
a) ¿Cuál es el ingreso promedio de sus trabajadores? Analizar la respuesta.
b) ¿Cuál es un conjunto de valores de los ingresos de sus trabajadores?
c) ¿Cómo se deben interpretar estos resultados?
AYUDA XF
De una población de 2400 contadores públicos; que se encargan de gestionar la información financiera y comercial de una organización, se desea obtener una muestra para conocer el promedio de sus ingresos mensuales . La estimación muestral deberá tener un error máximo de $1, respecto al verdadero promedio, con un nivel de confianza del 90%. Un estudio preliminar nos indica que la desviación estándar poblacional es de $11. ¿De qué tamaño deberá ser la muestra?
nivel de confianza zα/2
90% 1,65
95% 1,96
99% 2,58
3. El Departamento de créditos de la cooperativa la “San Martín” sabe por experiencia que la probabilidad de que un acreedor deje de pagar su préstamo es de 0.04. También se encontró que, dado un incumplimiento de pago de préstamo hay una probabilidad de 0.40 de que se pidiera el préstamo para salir de vacaciones. Además, la cooperativa sabe que la probabilidad de incumplimiento es la misma para empleados del sector público que para socios del sector privado
Debo una cantidad no menor de $12 ni mayor
de $40. ¿Cuánto debo como mínimo?¿Y cómo
máximo?
En un colegio se desea aplicar una nueva técnica de enseñanza, motivo por el cual se realizó una encuesta, obteniéndose los siguientes resultados: el 20% indicó que no era necesario, el 60% que sí era necesario y al resto le resultaba indiferente. Según el enunciado colocar verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
( ) La variable en estudio es el porcentaje de preferencia
de una nueva técnica de enseñanza.
( ) La variable en estudio es del tipo cuantitativo
discreto.
( ) La población es finita.
( ) La muestra está formada por 100 alumnos.
. Andrea, Marcela, Javier y Alexander se presentaron a las elecciones de presidente y vicepresidente de una compañía de productos lácteos. Determinar los posibles ganadores de las elecciones, teniendo en cuenta que el que quede de primero será el presidente y el segundo el vicepresidente.
• Determinar entre Javier, Mateo, Natalia y Tatiana, los posibles ganadores de las elecciones a personero en el colegio, teniendo en cuenta que el primero será el presidente y el segundo el vicepresidente.