Name: Teorema central del limite
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¿Para qué sirve el teorema central del límite?
Ejemplos

Si una población tiene media $\mu$ y desviación típica $\sigma$ , y tomamos muestras de tamaño $n$ con $n>30$ (ó cualquier tamaño si la población es "normal"), la media de estas muestras siguen aproximadamente una distribución normal dada por:

$\displaystyle N\left( \mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

¿Para qué sirve el teorema central del límite?

1 Permite averiguar la probabilidad de que la media de una muestra concreta esté en un cierto intervalo.

2 Permite calcular la probabilidad de que la suma de los elementos de una muestra esté, a priori, en un cierto intervalo.

$\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i \rightarrow N\left( n\mu, \sigma \sqrt{n}\right)$

3 Inferir la media de la población a partir de una muestra.

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Ejemplos

1Las bolsas de sal envasadas por una máquina tienen $\mu =500 \ \text{g}$ y $\sigma=35\ \text{g}$ . Las bolsas se empaquetaron en cajas de $100$ unidades.Calcular la probabilidad de que la media de los pesos de las bolsas de un paquete sea menor que $495\ \text{g}$ .Calcular la probabilidad de que una caja $100$ de bolsas pese más de $51 \ \text{kg}$ .

1 Calcular la distribución de la media de una muestra

Dado que la muestra es grande $(n=100)$ podemos aplicar el teorema del límite central. Por lo tanto, la media de la muestra se aproxima a una distribución normal con los parámetros

$\mu_{\overline{X}}=\mu=500\ \text{g}$

$\displaystyle \sigma_{\overline{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{35}{\sqrt{100}}=3.5\ \text{g}$

Esto es

$\displaystyle N(500, 3.5)$

Calculamos la probabilidad

$\displaystyle p(\overline{X} <495)=p\left( Z<\frac{495-500}{3.5}\right) =p(z<-1.43)=p(z>1.43)$

$p(\overline{X} <495)=1-p(z\leq 1.43)=0.0764\%$

2 Calcular la distribución de la suma de los elementos de una muestra

Necesitamos calcular la probabilidad de que la suma de los elementos de una muestra esté en un cierto intervalo. Sabemos que la suma de la muestra se aproxima a una distribución normal con los parámetros

$\mu_{\sum}=n\mu=500\cdot 100=50 000\ \text{g}$

$\displaystyle \sigma_{\sum}=\sigma \sqrt{n}=35\sqrt{100}=350\ \text{g}$

Esto es

$\displaystyle N(50000, 350)$

Calculamos la probabilidad

$\displaystyle p\left(\sum x_i >51000\right)=p\left( z>\frac{51000-50000}{350}\right) =p(z>2.86)$

$p\left(\sum x_i >51000\right)=1-p(z\leq 2.86)=0.0021\%$

2La población de las temperaturas corporales de adultos sanos tiene media $\mu=36.8 \text{ C}^\circ$ y desviación típica de $\sigma=0.4\text{ C}^\circ$ . Si obtenemos una muestra de $100$ personas. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de la temperatura de la muestra sea menor o igual a $36.7 \text{ C}^\circ$ ?

1 Calcular la distribución normal a la que se aproxima la media

Dado que la muestra es grande podemos aplicar el teorema del límite central. Por lo tanto, la media de la muestra se aproxima a una distribución normal con los parámetros

$\mu_{\overline{X}}=36.8 \text{ C}^\circ$

$\displaystyle \sigma_{\overline{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{0.4}{\sqrt{100}}=0.04 \text{ C}^\circ$

Esto es

$\displaystyle N(36.8, 0.04)$

2 Aproximar la probabilidad usando la distribución normal obtenida

Calculamos la probabilidad de obtener una temperatura menor o igual a $36.7 \text{ C}^\circ$ . Para ello, calculamos el valor equivalente en la variable normal tipificada

$\displaystyle P(X\leq 36.7)=P\left(Z\leq \frac{36.7-36.8}{0.04}\right)=P(Z\leq -2.5)$