Name: Teorema central del limite
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¿Para qué sirve el teorema central del límite?
Ejemplos

Si una población tiene media $\mu$ y desviación típica $\sigma$ , y tomamos muestras de tamaño $n$ con $n>30$ (ó cualquier tamaño si la población es "normal"), la media de estas muestras siguen aproximadamente una distribución normal dada por:

$\displaystyle N\left( \mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

¿Para qué sirve el teorema central del límite?

1 Permite averiguar la probabilidad de que la media de una muestra concreta esté en un cierto intervalo.

2 Permite calcular la probabilidad de que la suma de los elementos de una muestra esté, a priori, en un cierto intervalo.

$\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i \rightarrow N\left( n\mu, \sigma \sqrt{n}\right)$

3 Inferir la media de la población a partir de una muestra.

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Ejemplos

1Las bolsas de sal envasadas por una máquina tienen $\mu =500 \ \text{g}$ y $\sigma=35\ \text{g}$ . Las bolsas se empaquetaron en cajas de $100$ unidades.Calcular la probabilidad de que la media de los pesos de las bolsas de un paquete sea menor que $495\ \text{g}$ .Calcular la probabilidad de que una caja $100$ de bolsas pese más de $51 \ \text{kg}$ .

1 Calcular la distribución de la media de una muestra

Dado que la muestra es grande $(n=100)$ podemos aplicar el teorema del límite central. Por lo tanto, la media de la muestra se aproxima a una distribución normal con los parámetros

$\mu_{\overline{X}}=\mu=500\ \text{g}$

$\displaystyle \sigma_{\overline{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{35}{\sqrt{100}}=3.5\ \text{g}$

Esto es

$\displaystyle N(500, 3.5)$

Calculamos la probabilidad

$\displaystyle p(\overline{X} <495)=p\left( Z<\frac{495-500}{3.5}\right) =p(z<-1.43)=p(z>1.43)$

$p(\overline{X} <495)=1-p(z\leq 1.43)=0.0764$

2 Calcular la distribución de la suma de los elementos de una muestra

Necesitamos calcular la probabilidad de que la suma de los elementos de una muestra esté en un cierto intervalo. Sabemos que la suma de la muestra se aproxima a una distribución normal con los parámetros

$\mu_{\sum}=n\mu=500\cdot 100=50 000\ \text{g}$

$\displaystyle \sigma_{\sum}=\sigma \sqrt{n}=35\sqrt{100}=350\ \text{g}$

Esto es

$\displaystyle N(50000, 350)$

Calculamos la probabilidad

$\displaystyle p\left(\sum x_i >51000\right)=p\left( z>\frac{51000-50000}{350}\right) =p(z>2.86)$

$p\left(\sum x_i >51000\right)=1-p(z\leq 2.86)=0.0021$

2La población de las temperaturas corporales de adultos sanos tiene media $\mu=36.8 \text{ C}^\circ$ y desviación típica de $\sigma=0.4\text{ C}^\circ$ . Si obtenemos una muestra de $100$ personas. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de la temperatura de la muestra sea menor o igual a $36.7 \text{ C}^\circ$ ?

1 Calcular la distribución normal a la que se aproxima la media

Dado que la muestra es grande podemos aplicar el teorema del límite central. Por lo tanto, la media de la muestra se aproxima a una distribución normal con los parámetros

$\mu_{\overline{X}}=36.8 \text{ C}^\circ$

$\displaystyle \sigma_{\overline{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{0.4}{\sqrt{100}}=0.04 \text{ C}^\circ$

Esto es

$\displaystyle N(36.8, 0.04)$

2 Aproximar la probabilidad usando la distribución normal obtenida

Calculamos la probabilidad de obtener una temperatura menor o igual a $36.7 \text{ C}^\circ$ . Para ello, calculamos el valor equivalente en la variable normal tipificada

$\displaystyle P(X\leq 36.7)=P\left(Z\leq \frac{36.7-36.8}{0.04}\right)=P(Z\leq -2.5)$

$\displaystyle P(X\leq 36)=P(Z> 2.5)=1-P(Z \leq 2.5)=0.0062$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Ana

Julio 2021

Excelente artículo, fácil de comprender y sin tantos rodeos o conceptos demasiado dificultosos como ponen otras páginas, el verdadero arte de enseñar es hacer que lo difícil parezca fácil y así lo sentí. Muchas gracias por compartir

cesar eduardo pedroza gomez

Mayo 2021

en qué consiste el teorema del límite central.

Leonardo Barrea

Mayo 2021

El enunciado del teorema central del límite que se da aquí es erróneo. El teorema dice otra cosa

Antonio Tapia

Febrero 2022

No es erróneo, lo que pasa es que no se define la distribución normal N(μ ,σ/√n) como la integral de la exponencial, por que se usa la tabla de valores directamente de la distribución normal.

Carlos Oña

Abril 2021

Buenas tardes me podrían ayudar con este ejercicio, lo intenté de varias formas pero no lo entiendo
Sea {Xk} una sucesión de variables aleatorias mutuamente independientes con distribución definida por:
Pr(Xk=+- k)=1/(2 * raiz(k)) Pr(Xk=0)=1-1/(raiz(k))
evaluar Pr(X1+X2+X3+X4+…+X15)<=10

ISAIAS VALENCIA

Abril 2021

ME AYUDAN EN ESTE

La renta media de los habitantes de un país se distribuye uniformemente. Entre $400 y $1000, está el
ingreso del 95% de los habitantes. Calcular la probabilidad de que al seleccionar al azar a 100 personas
la suma de sus rentas supere los $72,500

maria

Septiembre 2020

buenas tardes como hago si los valores no me dan para búsqueda en la tabla N

Una compañía aseguradora de automóviles tiene 10 000 asegurados. Si el gasto anual que un asegurado ocasiona a la compañía tiene por media 260 dólares con una desviación típica de 800 dólares, calcule la probabilidad de que el pago anual al que debe hacer frente la compañía de seguros esté comprendido entre 2,5 y 2,7 millones de dólares.

mendoza

Junio 2020

como hago cuando no me dan la desviación estándar
En una fábrica de calzado el 20% de las unidades producidas son defectuosas. Sea
X el número de unidades defectuosas halladas en una muestra de 200 unidades
Tomadas al azar. Hallar la probabilidad aproximada de: (a) P (X̅ ≤ 13) (b) P(X̅≥ 8) (c)
P (7 ≤ X̅ ≤ 16).

Luis Ernesto Sanchez Perez

Julio 2020

Buen día.

En este caso puedes utilizar el Teorema de De Moivre-Laplace o bien una distribución Poisson. Procedamos utilizando el Teorema.

Este teorema establece que la distribución binomial del número de éxitos en $n$ pruebas independientes de Bernoulli con probabilidad de éxito $p$ en cada intento es, aproximadamente, una distribución normal de media $np$ y desviación típica ${\sqrt {npq}}$ siempre cuando se cumpla que

1) $n \geq 30$

2) $np, nq \geq 5$ .

Veamos si se cumplen dichas propiedades.

1) $n = 200 \geq 30$ sí se cumple.

2) Notemos que $p = 0.2$ ( $20 \%$ ) y $q = 1 - p = 0.8$ . Así, $np = 200*0.2 = 40 \geq 5$ y $nq = 200*0.8 = 160 \geq 5$ , por lo tanto, sí se cumplen las propiedades.

Entonces, podemos tener una probabilidad aproximada utilizando una distribución normal $X \sim N(np, \sqrt{npq})$ que en donde $np = 40$ y $\sqrt{npq} = \sqrt{32} \approx 5.66$ .

Entonces, normalizando (haciendo cambio de variable para tener una distribución normal estándar) nuestra distribución normal tomando $Z \sim \frac{x - 40}{5.66}$ nuestras probabilidades tendrían la forma

$P(x < X) = P(\frac{x - 40}{5.66} < \frac{X - 40}{5.66}) = P(z < Z)$ .

Así podemos calcular nuestras probabilidades más fácil utilizando la tabla de la distribución normal estándar dada en el artículo "Tabla de Distribución Normal" de Superprof.

Resolvamos los incisos

$\begin{align*} P(x < 13) &= P(z < \frac{13 - 40}{5.66})\\ & = P(z < -4.77)\\ &= P(4.77 < z)\\ &= 1 - P(z < 4.77) \end{align*}$

Analizando la tabla de valores para la Distribución Normal Estándar, tenemos que

$\begin{align*} P(x < 13) &= P(z < \frac{13 - 40}{5.66})\\ &= 1 - P(z < 4.77)\\ &= 1 - 1\\ &= 0 \end{align*}$

Podemos calcular esta probabilidad con la distribución Poisson y notaremos que obtendríamos el mismo resultado.

$\begin{align*} P(x \geq 8) &= P(z \geq \frac{8 - 40}{5.66})\\ & = P(z \geq -5.65)\\ &= 1 - P(z \geq 5.65)\\ &= 1 - ( 1 - P(z < 5.65))\\ &= 1 - (1 - 1)\\ &= 1 - 0 \\ &= 1 \end{align*}$

Igualmente, utilizando la distribución de Poisson podemos ver que la probabilidad es 1.

Te dejo el inciso c) para que practiques, es hacer lo mismo.

Saludos.

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