17 marzo 2020
Si una población tiene media y desviación típica
, y tomamos muestras de tamaño
con
(ó cualquier tamaño si la población es "normal"), la media de estas muestras siguen aproximadamente una distribución normal dada por:
¿Para qué sirve el teorema central del límite?
1 Permite averiguar la probabilidad de que la media de una muestra concreta esté en un cierto intervalo.
2 Permite calcular la probabilidad de que la suma de los elementos de una muestra esté, a priori, en un cierto intervalo.
3 Inferir la media de la población a partir de una muestra.
Ejemplos
1Las bolsas de sal envasadas por una máquina tienen y
. Las bolsas se empaquetaron en cajas de
unidades.Calcular la probabilidad de que la media de los pesos de las bolsas de un paquete sea menor que
.Calcular la probabilidad de que una caja
de bolsas pese más de
.
1 Calcular la distribución de la media de una muestra
Dado que la muestra es grande podemos aplicar el teorema del límite central. Por lo tanto, la media de la muestra se aproxima a una distribución normal con los parámetros
Esto es
Calculamos la probabilidad
2 Calcular la distribución de la suma de los elementos de una muestra
Necesitamos calcular la probabilidad de que la suma de los elementos de una muestra esté en un cierto intervalo. Sabemos que la suma de la muestra se aproxima a una distribución normal con los parámetros
Esto es
Calculamos la probabilidad
2La población de las temperaturas corporales de adultos sanos tiene media y desviación típica de
. Si obtenemos una muestra de
personas. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de la temperatura de la muestra sea menor o igual a
?
1 Calcular la distribución normal a la que se aproxima la media
Dado que la muestra es grande podemos aplicar el teorema del límite central. Por lo tanto, la media de la muestra se aproxima a una distribución normal con los parámetros
Esto es
2 Aproximar la probabilidad usando la distribución normal obtenida
Calculamos la probabilidad de obtener una temperatura menor o igual a . Para ello, calculamos el valor equivalente en la variable normal tipificada
Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
Las bolsas de azúcar rellenadas por una máquina tienen μ = 500 g y σ = 35 g. Las bolsas se empaquetaron en cajas de 100 unidades.
Calcular la probabilidad de que una caja 100 de bolsas pese más de 51 kg.
Excelente aporte, me sirvió bastante. Gracias, saludos.
¡Gracias! Un saludo 🙂
Hola, siendo la tabla N(0,1) de áreas que están entre 0 y 1 ¿los resultados que das no deberían ser sin porcentaje?
Gracias
Buen día.
Tienes la razón, gracias por tu comentario y ayudarnos a mejorar, se hará la corrección.
Saludos.
como hago cuando no me dan la desviación estándar
En una fábrica de calzado el 20% de las unidades producidas son defectuosas. Sea
X el número de unidades defectuosas halladas en una muestra de 200 unidades
Tomadas al azar. Hallar la probabilidad aproximada de: (a) P (X̅ ≤ 13) (b) P(X̅≥ 8) (c)
P (7 ≤ X̅ ≤ 16).
Buen día.
En este caso puedes utilizar el Teorema de De Moivre-Laplace o bien una distribución Poisson. Procedamos utilizando el Teorema.
Este teorema establece que la distribución binomial del número de éxitos en
pruebas independientes de Bernoulli con probabilidad de éxito
en cada intento es, aproximadamente, una distribución normal de media
y desviación típica
siempre cuando se cumpla que
1)
2)
.
Veamos si se cumplen dichas propiedades.
1)
sí se cumple.
2) Notemos que
(
) y
. Así,
y
, por lo tanto, sí se cumplen las propiedades.
Entonces, podemos tener una probabilidad aproximada utilizando una distribución normal
que en donde
y
.
Entonces, normalizando (haciendo cambio de variable para tener una distribución normal estándar) nuestra distribución normal tomando
nuestras probabilidades tendrían la forma
Así podemos calcular nuestras probabilidades más fácil utilizando la tabla de la distribución normal estándar dada en el artículo "Tabla de Distribución Normal" de Superprof.
Resolvamos los incisos
a)
Analizando la tabla de valores para la Distribución Normal Estándar, tenemos que
Podemos calcular esta probabilidad con la distribución Poisson y notaremos que obtendríamos el mismo resultado.
b)
Igualmente, utilizando la distribución de Poisson podemos ver que la probabilidad es 1.
Te dejo el inciso c) para que practiques, es hacer lo mismo.
Saludos.
buenas tardes como hago si los valores no me dan para búsqueda en la tabla N
Una compañía aseguradora de automóviles tiene 10 000 asegurados. Si el gasto anual que un asegurado ocasiona a la compañía tiene por media 260 dólares con una desviación típica de 800 dólares, calcule la probabilidad de que el pago anual al que debe hacer frente la compañía de seguros esté comprendido entre 2,5 y 2,7 millones de dólares.