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Marta

4 febrero 2021

Temas

Intervalos característicos
Teorema central del límite
Estimación de medias y proporciones
Pruebas de hipótesis
Errores

Intervalos característicos

El intervalo característico con nivel de confianza $1 - \alpha$ para una distribución normal $N(\mu, \sigma)$ está dado por

$\displaystyle \left(\mu - z_{\alpha/2} \cdot \sigma, \mu + z_{\alpha/2} \cdot \sigma\right)$

Aquí, el nivel de confianza $1 - \alpha$ es la probabilidad de que un número que siga la distribución normal caiga dentro del intervalo.

El nivel de significación se denota como $\alpha$ . La media de la distribución es $\mu$ y la desviación estándar es $\sigma$ . El valor crítico del intervalo se denota como $z_{\alpha/2}$ .

La siguiente tabla resume algunos de los intervalos característicos más comunes:

$1 - \alpha$	$\alpha/2$	$z_{\alpha/2}$	Intervalos característicos
0.90	0.05	1.645	$\left( \mu - 1.645 \sigma, \mu + 1.645 \sigma \right)$
0.95	0.025	1.96	$\left( \mu - 1.96 \sigma, \mu + 1.96 \sigma \right)$
0.99	0.005	2.575	$\left( \mu - 2.575 \sigma, \mu + 2.575 \sigma \right)$

Teorema central del límite

Consideremos una población $\Omega$ con media $\mu$ , desviación estándar $\sigma$ y tamaño de muestra $n$ . Entonces la media $\overline{X}$ sigue una distribución aproximadamente normal, es decir,

$\displaystyle \overline{X} \sim N\left( \mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$

El tamaño de muestra debe ser $n > 30$ . Si la población original $\Omega$ sigue una distribución normal, entonces $n$ puede tener cualquier valor.

Estimación de medias y proporciones

Estimación de la media de una población

Realizamos la estimación por medio de intervalos de confianza. En el caso de la media, el intervalo de confianza con significación $\alpha$ es

$\displaystyle \left( \overline{X} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{S}{\sqrt{n}}, \overline{X} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{S}{\sqrt{n}} \right)$

donde $\overline{X}$ es la media de la muestra, $\sigma$ es la desviación estándar de la población, $n$ es el tamaño de la muestra y $z_{\alpha/2}$ es el valor crítico de la distribución normal estándar.

En este caso, el error de estimación es

$\displaystyle E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{S}{\sqrt{n}}$

Además, si ya conocemos la significación $\alpha$ , la desviación estándar $\sigma$ y el error deseado $E$ , entonces el tamaño de muestra se calcula utilizando

$\displaystyle n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$

Estimación de una proporción

Para el caso de la proporción, el intervalo de confianza con significación $\alpha$ es

$\displaystyle \left( p' - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{p'(1 - p')}{n}}, p' + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{p'(1 - p')}{n}} \right)$

donde $p'$ es la proporción de la muestra, $z_{\alpha/2}$ es el valor crítico de la distribución normal y $n$ es el tamaño de muestra.

Aquí, el error máximo de estimación es

$\displaystyle E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{p'(1 - p')}{n}}$

Con las proporciones es común escribir $q = 1 - p$ , donde $p$ es la probabilidad de éxito y $q$ es la probabilidad de fracaso (de que un individuo de la población tenga una propiedad dada).

Estimación de la desviación estándar

En el caso de la desviación estándar $\sigma$ , se calcula el intervalo de confianza de la varianza $\sigma^2$ , que está dado por

$\displaystyle \left( \frac{(n - 1)S^2}{\chi_{\alpha/2, n-1}^2}, \frac{(n - 1)S^2}{\chi_{1 - \alpha/2, n-1}^2} \right)$

donde $n$ es el tamaño de muestra, $S^2$ es la varianza de la muestra y se calcula utilizando

$\displaystyle S^2 = \frac{\sum_{i = 1}^{n}{(x_i - \overline{X})^2}}{n-1}$

donde $\overline{X}$ es la media de la muestra. Por último, $\chi_{\alpha/2, n-1}^2$ y $\chi_{1 - \alpha/2, n-1}^2$ son los valores críticos de una distribución $\chi^2$ ; estos valores se calculan un programa de computadora o se obtiene de una tabla chi.

Pruebas de hipótesis

El procedimiento para hacer una prueba de hipótesis para el parámetro $r$ de una población es el siguiente:

1 Se enuncia la hipótesis nula $H_0$ y la hipótesis alternativa $H_1$ . Donde la hipótesis nula hace algún supuesto sobre el valor de $r$ y $H_1$ es el supuesto contrario. La siguiente tabla resume las posibles pruebas de hipótesis:

Bilateral	$H_0: r = r_0$	$H_A: r \neq r_0$
Unilateral	$H_0: r \geq r_0$	$H_A: r < r_0$
Unilateral	$H_0: r \leq r_0$	$H_A: r > r_0$

2 Determinar el nivel de significación $\alpha$ y a partir de ahí obtener los valores críticos $z_{\alpha/2}$ (para el caso bilateral) o $z_{\alpha}$ (para el caso unilateral).

3 Determinar la zona de aceptación del parámetro muestral.

4 Calcular el valor del parámetro muestral $\hat{r}$ .

5 Obtener la conclusión. Si el valor del parámetro muestral está dentro de la zona de aceptación, entonces aceptamos la hipótesis nula con un nivel de significación $\alpha$ . En caso contrario, rechazamos la hipótesis nula.

Contraste bilateral

Cuando tenemos un contraste bilateral, si estamos probando una hipótesis para la media $\mu$ de la población, es decir,

$\displaystyle H_0: \mu = \mu_0, \qquad H_A: \mu \neq \mu_0$