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Intervalos característicos
El intervalo característico con nivel de confianza para una distribución normal
está dado por
Aquí, el nivel de confianza es la probabilidad de que un número que siga la distribución normal caiga dentro del intervalo.
El nivel de significación se denota como . La media de la distribución es
y la desviación estándar es
. El valor crítico del intervalo se denota como
.
La siguiente tabla resume algunos de los intervalos característicos más comunes:
Intervalos característicos | |||
---|---|---|---|
0.90 | 0.05 | 1.645 | |
0.95 | 0.025 | 1.96 | |
0.99 | 0.005 | 2.575 |
Teorema central del límite
Consideremos una población con media
, desviación estándar
y tamaño de muestra
. Entonces la media
sigue una distribución aproximadamente normal, es decir,
El tamaño de muestra debe ser . Si la población original
sigue una distribución normal, entonces
puede tener cualquier valor.
Estimación de medias y proporciones
Estimación de la media de una población
Realizamos la estimación por medio de intervalos de confianza. En el caso de la media, el intervalo de confianza con significación es
donde es la media de la muestra,
es la desviación estándar de la población,
es el tamaño de la muestra y
es el valor crítico de la distribución normal estándar.
En este caso, el error de estimación es
Además, si ya conocemos la significación , la desviación estándar
y el error deseado
, entonces el tamaño de muestra se calcula utilizando
Estimación de una proporción
Para el caso de la proporción, el intervalo de confianza con significación es
donde es la proporción de la muestra,
es el valor crítico de la distribución normal y
es el tamaño de muestra.
Aquí, el error máximo de estimación es
Con las proporciones es común escribir , donde
es la probabilidad de éxito y
es la probabilidad de fracaso (de que un individuo de la población tenga una propiedad dada).
Estimación de la desviación estándar
En el caso de la desviación estándar , se calcula el intervalo de confianza de la varianza
, que está dado por
donde es el tamaño de muestra,
es la varianza de la muestra y se calcula utilizando
donde es la media de la muestra. Por último,
y
son los valores críticos de una distribución
; estos valores se calculan un programa de computadora o se obtiene de una tabla chi.
Pruebas de hipótesis
El procedimiento para hacer una prueba de hipótesis para el parámetro de una población es el siguiente:
1 Se enuncia la hipótesis nula y la hipótesis alternativa
. Donde la hipótesis nula hace algún supuesto sobre el valor de
y
es el supuesto contrario. La siguiente tabla resume las posibles pruebas de hipótesis:
Bilateral | ||
---|---|---|
Unilateral | ||
2 Determinar el nivel de significación y a partir de ahí obtener los valores críticos
(para el caso bilateral) o
(para el caso unilateral).
3 Determinar la zona de aceptación del parámetro muestral.
4 Calcular el valor del parámetro muestral .
5 Obtener la conclusión. Si el valor del parámetro muestral está dentro de la zona de aceptación, entonces aceptamos la hipótesis nula con un nivel de significación . En caso contrario, rechazamos la hipótesis nula.
Contraste bilateral
Cuando tenemos un contraste bilateral, si estamos probando una hipótesis para la media de la población, es decir,
entonces la región de aceptación es
Por otro lado, si la prueba de hipótesis es para la proporción ,
entonces la región de aceptación es
donde es la desviación estándar de la población,
es el tamaño de la muestra y
es el valor crítico de la distribución.
Contraste unilateral mayor o igual que
Cuando tenemos un contraste unilateral del tipo "mayor o igual que", si estamos probando una hipótesis para la media de la población, es decir,
entonces la región de aceptación es
Por otro lado, si la prueba de hipótesis es para la proporción ,
entonces la región de aceptación es
donde es la desviación estándar de la población,
es el tamaño de la muestra y
es el valor crítico de la distribución.
Contraste unilateral menos o igual que
Cuando tenemos un contraste unilateral del tipo "menor o igual que", si estamos probando una hipótesis para la media de la población, es decir,
entonces la región de aceptación es
Por otro lado, si la prueba de hipótesis es para la proporción ,
entonces la región de aceptación es
donde, de nuevo, es la desviación estándar de la población,
es el tamaño de la muestra y
es el valor crítico de la distribución.
La siguiente tabla resume los valores críticos para distintos valores de
que se utilizan para las pruebas unilaterales:
0.90 | 0.10 | 1.28 |
0.95 | 0.05 | 1.645 |
0.99 | 0.01 | 2.33 |
Errores
Recordemos que existen dos tipos de errores: el error tipo I que ocurre cuando rechazamos la hipótesis nula siendo verdadera, y el error tipo II que ocurre cuando aceptamos la hipótesis nula siendo falsa.
La siguiente tabla resume los tipos de errores:
Verdadera | Falsa | |
---|---|---|
Aceptar | Decisión correcta Probabilidad de | Decisión incorrecta: Error tipo II |
Rechazar | Decisión incorrecta Error tipo I Probabilidad de | Decisión correcta |
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hola buenos dias por favor me ayudan con este problema:
El jefe de producción de Drypers, en una auditoria determinó que 3 de cada 150 pañales
se fabrica en más de 5 min que es el tiempo programado. ¿Si se hacen 1000 pañales en 8
días, cual es la probabilidad que más de ocho pañales retrasen el tiempo de fabricación en
10 minutos?
Gracias!!!
Hola
alguien me puede ayudar con esto por favor
Las calificaciones de una prueba de aptitud para un trabajo, dependiendo del número de
respuestas correctas a 10 preguntas realizadas. Se obtuvo que la calificación media fue de
7,3 y la desviación de 1,5. Hallar :
• el porcentaje de aspirantes que consiguió 7,3 puntos
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Hola necesito ayuda.!
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realizan sus clientes en el banco. ¿Qué tan grande debe tomarse la muestra para tener una
aproximación de ±$250000 del promedio real con un 98% de confianza? Por la base de datos
de los depósitos realizados en los meses anteriores, el banco sabe que la desviación estándar
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EN UN AÑO RECIENTE, EL 73% DE LOS ESTUDIANTES UNIVERSITARIOS DE PRIMER CURSO QUE RESPONDIO A UNA ENCUESTA NACIONAL SELECCIONO «SER RICO» CMO META PERSONAL IMPORTANTE. UNA UNIVERSIDAD PUBLICA AVERIGUO QUE 132 SUJETOS DE UNA MUETSRA ALEATORIA SIMPLE 200 DE LOS ESTUDIANTES DE PRIMER CURSO CONSIDERAN QUE ESTE OBJETIVO ES IMPORTANTE.
a) ¿EXISTE SUFICIENTE EVIDENCIA DE QUE LA PROPORCION DE ESTUDIANTES DE PRIMER CURSO DE ESTA UNIVERSIDAD QUE PIENSA SER RICO ES IMPORTANTE ES DISTINTA DE LA PROPORCION NACIONAL, EL 73%? UTILICE UN NIVEL SE SIGNIFICANCIA DEL 5%.
3. Una muestra aleatoria de 1.556 personas del país A debe responder a la siguiente afirmación: «El aumento del comercio agroindustrial mundial puede aumentar nuestra prosperidad per cápita». El 38.4% de los miembros de esta muestra está de acuerdo con esta afirmación. Cuando se presenta la misma afirmación a una muestra aleatoria de 1.108 personas del país B, el 52% está de acuerdo.
a. Contraste la hipótesis nula de que las proporciones poblacionales que están de acuerdo con esta afirmación son las mismas en los dos países frente a la hipótesis alternativa de que la proporción que está de acuerdo es mayor en el país B.
b. Estime el intervalo de confianza del 99% correspondiente.