¿Qué es el muestreo?

 

Supongamos que tenemos una población \Omega de objetos o individuos que queremos estudiar, la cual puede ser finita o infinita. En muchas situaciones, es imposible estudiar a cada uno de los individuos de esta población.

 

Para resolver este problema, se suele extraer una muestra de la población. Una muestra es un subconjunto S de la población, es decir, S \subseteq \Omega. Existen varios métodos para obtener una muestra de la población. Sin embargo, el objetivo de cualquier método es que la muestra sea representativa de la población, es decir, que las propiedades de la muestra sean muy similares a las propiedades de la población.

 

Una vez que tenemos una muestra, se utiliza la inferencia estadística para obtener conclusiones sobre la población. Así, la inferencia estadística es el conjunto de procedimientos que se utilizan para "inferir" propiedades de la población a partir de una muestra dada.

 

Además, la inferencia estadística también nos da herramientas que nos sirven para determinar el grado de fiabilidad o confianza de nuestras conclusiones.

 

En general, las técnicas de muestreo se dividen en dos categorías: muestreo no estadístico y muestreo probabilístico.

 

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Muestreo no estadístico

 

Los métodos de muestreo no estadístico no utilizan la probabilidad (o el azar) para elegir los elementos de la muestra.

 

Debido a que no utilizan la probabilidad, estos métodos no garantizan que la muestra sea representativa. Por tanto, deben utilizarse con cuidado para evitar sesgos en las conclusiones. Asimismo, estos métodos son susceptibles a sub-representación y sobre-representación de sub-grupos en la población.

 

No obstante, estos métodos tienen algunas ventajas. La ventaja más importante es que son más sencillos de utilizar que las técnicas probabilísticas. Además, suele ser más barato obtener una muestra con estas técnicas y, en muchos casos, es la única forma que tenemos para obtener la muestra.

 

Es por estos motivos que estas técnicas de muestreo suelen utilizarse principalmente en las "pruebas piloto" antes de utilizar técnicas estadísticas más sofisticadas.

 

Algunos ejemplos de técnicas de muestreo no estadístico son:

 

1 Muestreo de conveniencia: involucra tomar como muestra a aquellos individuos de la población que tenemos cerca. También se conoce como muestreo de oportunidad.

 

Por ejemplo, podemos estudiar las preferencias electorales de nuestra ciudad entrevistando a las personas que viven en nuestra colonia. En este caso la población son lo habitantes de la ciudad y la muestra son los habitantes de nuestra colonia.

 

2 Muestreo experto: en este caso la muestra se selecciona a partir de la opinión de un experto. También se conoce como muestreo a juicio. Es importante notar que este método se puede combinar con un procedimiento aleatorio; sin embargo, es necesario cuidar que el juicio no introduzca sesgos.

 

Por ejemplo, para estudiar las preferencias electorales de nuestra ciudad, un experto nos sugiere que las colonias X, Y y Z suelen representar mejor la opinión general de la ciudad. Por tanto, sólo entrevistamos a los habitantes de estas colonias.

 

Muestreo probabilístico

 

En el muestreo probalístico se eligen la muestra de forma aleatoria. De esta forma, cada individuo de la población tiene una probabilidad conocida de ser seleccionado. Esto permite que cada individuo tenga la posibilidad de seleccionado y reduce la probabilidad de introducir sesgos en nuestras conclusiones.

 

Cada método tiene sus propias ventajas y desventajas. Las más comunes se listan a continuación.

 

Muestreo aleatorio simple

 

En el muestreo aleatorio simple, cada individuo de la población tiene la misma probabilidad de ser seleccionado para la muestra.

 

Una forma de realizar este muestreo es numerar los elementos de la población y luego seleccionar al azar n elementos. Sin embargo, existen dos formas de realizar este muestreo:

 

1 Muestreo con reemplazo: una vez que seleccionamos un elemento, el mismo elemento puede volver a ser seleccionado cuando se toma el siguiente elemento. Por lo tanto, es posible que algún individuo pertenezca más de una vez en la muestra.

 

Aunque es posible que un elemento se repita más de una vez en la muestra, esto no suele ser un inconveniente en las conclusiones que hagamos. Además, tiene la ventaja de que facilita los cálculos de las inferencias.

 

2 Muestreo sin reemplazo: en este caso, una vez que seleccionamos un elemento, entonces lo descartaremos cuando escojamos el resto de los elementos. Así, cada elemento puede ser seleccionado máximo una vez.

 

Este método tiene la ligera ventaja de que cada elemento sea seleccionado máximo una vez. Sin embargo, esto hace que algunos cálculos y estimaciones sean ligeramente más complicados.

 

Ejemplo: en el mismo ejemplo de las preferencias electorales en una ciudad, seleccionamos al azar n números del registro de vivienda. Entonces se entrevistan a las familias de esas viviendas.

 

Observemos que el costo de este tipo de muestreo es ligeramente más alto, ya que tendríamos que visitar hogares de un número grande de colonias.

 

Muestreo aleatorio sistemático

 

Supongamos que tenemos una población N elementos que están numerados del 1 a N y queremos elegir una muestra que sea una k-ésima parte de la población.

 

Entonces seleccionamos un número p al azar entre 1 y k. El resto de los elementos los elegimos a intervalos constantes (de tamaño k) hasta completar la muestra. Por tanto, nuestra muestra consiste en los elementos

 

\displaystyle \{p, p + k, p + 2k, p + 3k, \dots\}

 

Ejemplo: si tenemos una población de 1000 individuos y deseamos extraer una población de 25 elementos, entonces la razón k es

 

\displaystyle k = \frac{1000}{25} = 40

 

Luego, escogemos un número entre 1 y 40 (supongamos que el número aleatorio es 24). Así, la muestra consiste de los elementos

 

\displaystyle \{ 24, 64, 104, 144, 184, 224, 264, 304, \dots, 944, 984 \}

 

Este método tiene la ventaja de que la muestra se distribuye de una forma más "uniforme" sobre toda la población.

 

Muestreo aleatorio estratificado

 

Supongamos que la población se divide naturalmente en L sub-poblaciones, y denotemos el tamaño de cada una mediante N_1, N_2, ..., N_L. Estas sub-poblaciones se conocen como estratos.

 

En el muestreo estratificado es importante que los estratos no se superpongan. Es decir, que no exista ningún elemento que pertenezca a más de un estrado. Además, es importante todos los elementos pertenezcan a un estrado.

 

El muestreo estratificado consiste en realizar un muestreo aleatorio simple dentro de cada estrato. Es decir, consideramos a cada estrato como una población para formar nuestra muestra global. El muestreo estratificado puede permitirnos realizar estimaciones más precisas de la población, aunque esto requiere de cálculos un poco más complicados.

 

El principal problema del muestreo estratificado consiste en determinar el tamaño de muestra dentro de cada estrato. Existen dos estrategias:

 

1 Asignación proporcional: en este caso, si el tamaño de muestra global es de n, entonces el tamaño de muestra de cada estrato es

 

\displaystyle n_i = n \cdot \frac{N_i}{N}

 

Esta estrategia tiene la ventaja de que cada estrato está representado de forma proporcional.

 

2 Asignación óptima: en este caso buscamos minimizar la varianza de las estimaciones dentro de cada estrato. Así, aquellos estratos con menos varianza tienen tamaños muestrales más pequeños.

 

Esta estrategia tiene la ventaja de que podemos hacer estimaciones mucho más precisas.

 

Ejemplo: En una fábrica que consta de 600 trabajadores queremos tomar una muestra de 20. Sabemos que hay 200 trabajadores en la sección A, 150 en la B, 150 en la C y 100 en la D.

 

Si se decide utilizar un muestreo estratificado con asignación proporcional, ¿qué tamaño tendrá cada estrato?

 

Denotemos como N al tamaño de la población y n al tamaño de la muestra general. Similarmente, denotamos como N_h al tamaño del estrato h y n_h al tamaño de muestra que tomamos de h. De este modo, como tenemos asignación proporcional, se cumple

 

\displaystyle \frac{n_h}{N_h} = \frac{n}{N}

 

El problema se trata únicamente de encontrar los valores n_h para cada estrato. Observemos que ya conocemos el tamaño de la población N = 600; los tamaños de cada estrato N_A = 200, N_B = 150, N_C = 150 y N_D = 100.

 

Además, sabemos que n = 20, por lo que ya tenemos todos los datos para calcular el tamaño de muestra para cada estrato. Primero despejamos n_h:

 

\displaystyle n_h = N_h \cdot \frac{n}{N}

 

Así, para la sección A debemos tomar:

 

\displaystyle n_A = 200 \cdot \frac{20}{600} = 6,66 \approx 7.

 

Para la sección B:

 

\displaystyle n_B = 150 \cdot \frac{20}{600} = 5.

 

Para la sección C:

 

\displaystyle n_C = 150 \cdot \frac{20}{600} = 5.

 

Por último, para la sección D:

 

\displaystyle n_D = 100 \cdot \frac{20}{600} = 3,33 \approx 3.

 

Por último, verificamos que

 

\displaystyle n_A + n_B + n_C + n_D = 7 + 5 + 5 + 3 = 20

 

Sin embargo, si deseamos estimar el peso de los trabajadores y en la sección A trabajan solo modelos que sabemos que tienen bajo peso, entonces podríamos elegir sólo 2 individuos de la sección A y el resto de las secciones B, C y D. No obstante, el tamaño muestral se debe escoger con base en alguna información previa que tengamos de la varianza.

 

Muestreo aleatorio por conglomerados

 

En el muestreo por conglomerados asumimos que la población también se divide en L estratos. En el muestreo por conglomerados, estos estratos se conocen como grupos, clústers o conglomerados.

 

Si denotamos los grupos como \Omega_i, entonces el muestreo por conglomerados consiste en seleccionar algunos de estos grupos y estos grupos formaran nuestra muestra. En otras palabras, consideramos cada grupo como un elemento y hacemos una muestra aleatoria de grupos.

 

Este tipo de muestreo tiene la ventaja de que puede ser más barato y más sencillo que los otros tipos de muestreo, mientras que conserva la aleatoriedad del muestreo probabilístico.

 

Ejemplo: si deseáramos estudiar las preferencias electorales de una ciudad, en lugar realizar muestreo aleatorio simple podemos elegir de forma aleatoria algunas colonias. Esto nos da la ventaja de que tenemos una muestra más representativa en comparación con un muestreo de conveniencia. Además, el costo es menor comparado con el muestreo aleatorio simple, pues en lugar de visitar todas las colonias, sólo debemos visitar un cantidad pequeña de colonias.

 

Distribución de los parámetros muestrales

 

Dada una población \Omega, existe un gran número de muestras de tamaño n. Supongamos que deseamos saber el valor de un parámetro t de la población, entonces cada una de esas poblaciones dará una estimación \hat{t} de ese parámetro.

 

Si se realiza un muestreo apropiado, entonces la mayoría de esas estimaciones serán cercanas a t. Sin embargo, notemos que \hat{t} dependerá de la muestra que se haya tomado.

 

A la distribución de todos los posibles valores de \hat{t} se le conoce como distribución muestral de t. Si conocemos esta distribución, entonces podemos hacer conclusiones del parámetro poblacional t.

 

Los parámetros poblacionales que se estudian con más frecuencia son la media \mu, la varianza \sigma^2 (o desviación estándar \sigma) y la proporción t.

 

Teorema central del límite

 

El teorema central del límite es uno de los teoremas más importantes de la estadística, pues nos permite utilizar la distribución normal para hacer estimaciones de poblaciones que no siguen la distribución normal. Este teorema es uno de los motivos por el cual la distribución normal es muy importante.

 

Teorema (central del límite). Consideremos la muestra X de tamaño n tomada de la población \Omega utilizan muestreo aleatorio simple. Sea \mu la media y \sigma la desviación estándar de \Omega. Si el tamaño de muestra es suficientemente grande, entonces la media muestral \overline{X} sigue aproximadamente una distribución normal con media \mu y desviación estándar \sigma / \sqrt{n}. Además, entre más grande es el tamaño de la muestra, mejor se aproxima a la distribución normal.

 

Una regla general para que el tamaño de muestra sea "suficientemente grande" es que n \geq 30. Por tanto, si n \geq 30 entonces podemos utilizar el teorema central del límite con seguridad.

 

Las consecuencias más importantes del teorema central del límite son:

 

1 Si ya conocemos la media \mu y desviación estándar \sigma de la población, entonces podemos conocer la probabilidad de que la media muestral esté en cierto intervalo.

 

2 Si asumimos que la media \mu de la población es \mu_0, entonces podemos conocer, a priori, en qué intervalo estará la media muestral. Luego, si la media muestral no está en ese intervalo, tendremos evidencia de que nuestra asunción era incorrecta.

 

3 De manera similar al caso anterior, podemos saber, a priori, en qué intervalo estará la suma de los elementos de una muestra. La suma de los elementos sigue la distribución dada por

 

\displaystyle \sum_{i = 1}^{n}{x_i} \sim N(n\mu, \sigma\sqrt{n})

 

Ejemplo: Las bolsas de sal envasadas por una máquina tienen un peso promedio de \mu = 500 \text{ g} con una desviación estándar de \sigma = 35 \text{ g}. Las bolsas se empaquetaron en cajas de 100 unidades.

 

a Calcular la probabilidad de que la media de los pesos de las bolsas de un paquete sea menor que 495 g.

 

b Calcular la probabilidad de que una caja de 100 bolsas pese más de 51 kg.

 

a Para responder la primera pregunta, debemos recordar que el promedio de una muestra de tamaño n sigue aproximadamente una distribución normal (debido al teorema central del límite), es decir,

 

\displaystyle \overline{X} \sim N \left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)

 

Por tanto, el promedio de las bolsas en cada caja seguirá una distribución

 

\displaystyle \overline{X} \sim N \left(500, \frac{35}{\sqrt{100}} \right) = N \left(500, 3.5 \right)

 

Así, para calcular la probabilidad utilizamos

 

    \begin{align*} P(\overline{X} < 495) & = P\left( Z < \frac{495 - 500}{3.5} \right)\\& = P( Z < -1.4286)\end{align*}

 

donde Z es una variable aleatoria con distribución normal estándar.

 

Esta probabilidad se puede calcular de varias maneras, por ejemplo, utilizar Excel o un lenguaje de programación como R.

 

Otra forma de calcular esta probabilidad, es utilizando una tabla de probabilidades de la distribución normal, para ello necesitamos escribir la probabilidad de la siguiente manera:

 

\displaystyle P( Z < -1.4286) = P( Z > 1.4286 ) = 1 - P( Z \leq 1.4286 )

 

y ya podemos buscar P( Z \leq 1.4286 ) en una tabla distribución normal, donde tenemos que P( Z \leq 1.43) = 0.9236 (es el valor más cercano, pues sólo tiene precisión de 2 cifras). Así,

 

\displaystyle P(\overline{X} < 495) = 1 - 0.9236 = 0.0764

 

Si utilizamos un lenguaje de programación, el resultado es

 

\displaystyle P(\overline{X} < 495) = 0.07656

 

que es bastante similar.

 

b Este inciso es similar al anterior. La única diferencia es que ahora la variable aleatoria es la suma de los 100 elementos de la muestra. En este caso, por el teorema central del límite, tenemos

 

\displaystyle Y = \sum_{i = 1}^{100}{X_i} \sim N(500 \cdot 100, 35\sqrt{100}) = N(50\; 000, 350)

 

donde Y es el peso de la caja en gramos. De este modo, la probabilidad que buscamos es P(Y < 51\;000), pues 51 kg es igual a 51 000 g.

 

    \begin{align*} P(Y > 51\;000) & = P\left( Z > \frac{51\; 000 - 50\; 000}{350} \right)\\& = P( Z > 2.8571)\\& = 1 - P(Z \leq 2.8571).\end{align*}

 

Así, si utilizamos una tabla de distribución normal, el resultado es

 

\displaystyle P(Y > 51\;000) = 0.0021

 

mientras que si utilizamos una Excel o un lenguaje de programación, el resultado da

 

\displaystyle P(Y > 51\;000) = 0.00213

 

Recordemos que el resultado obtenido con computadora es más preciso.

 

Intervalos característicos

 

Dada una variable aleatoria x, el intervalo característico [\mu - k, \mu + k] se calcula como aquel intervalo tal que

 

\displaystyle P[\mu - k \leq x \leq \mu + k] = 1 - \alpha

 

Estos intervalos son importantes para realizar estimaciones e intervalos de confianza. En este contexto, se suelen utilizar los siguientes términos:

 

1 Nivel de confianza: 1 - \alpha

 

2 Significancia o nivel de significación: \alpha

 

3 Valor crítico: \mu + k o Z_{\alpha/2}.

 

Notemos que se denotó Z_{\alpha/2} a \mu + k. Esto ocurre cuando calculamos un intervalo característico de una distribución normal estándar N(0, 1).

 

Ejemplo: Encuentra el intervalo característico de una distribución normal N(0, 1) correspondiente a una confianza de 0.9.

 

Observa la siguiente imagen:

 

distribución normal

 

Notemos que \mu = 0, de modo que el intervalo tendrá la forma [-k, k] o [-Z_{\alpha/2}, Z_{\alpha/2}]. Por tanto, las colas del lado izquierdo y derecho tienen una probabilidad de 0.05 (es decir, \alpha/2). Así, basta con encontrar el valor Z_{\alpha/2} tal que

 

\displaystyle P[x \leq Z_{\alpha/2}] = 0.95

 

Esto se puede hacer de varias maneras: se puede utilizar una tabla normal o se puede utilizar el comando \text{\tt qnorm(0.95)} del lenguaje de programación R.

 

Sin importar el método que utilicemos, obtendríamos que Z_{\alpha/2} = 1.6449. Así, el intervalo característico a una confianza del 90% es

 

\displaystyle [-1.6449, 1.6449]

 

Tabla de valores críticos

 

En la tabla de abajo de encuentran valores críticos para la distribución normal estándar N(0, 1) para unos niveles comunes de confianza:

 

1 - \alpha \alpha/2 Z_{\alpha/2}
0.90 0.05 1.6448
0.95 0.025 1.9600
0.99 0.005 2.5758

 

Si trabajamos con una distribución normal N(\mu, \sigma), entonces los intervalos críticos se pueden calcular a partir de los valores críticos de la distribución N(0, 1) como se muestra a continuación:

 

1 - \alpha \alpha/2 Z_{\alpha/2} Intervalos característicos
0.90 0.05 1.6449 (\mu - 1.6449\sigma, \mu + 1.6449\sigma)
0.95 0.025 1.9600 (\mu - 1.96\sigma, \mu + 1.96\sigma)
0.99 0.005 2.5758 (\mu - 2.5758\sigma, \mu + 2.5758\sigma)

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗