¿Qué es el rango de una matriz?

 

Hay varias definiciones equivalentes de lo que es el rango de una matriz. Al rango de una matriz \; A_{m\times n} \; de dimensión \; m \times n \; lo denotamos como \;r(A), \;rang(A) \; o, en inglés, rank(A).

 

 A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\ \end{pmatrix}

 

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Dimensión del espacio columna o espacio fila

 

Quizá lo más común en ingeniería es definir el rango como el número de filas (o columnas) linealmente independientes, esto debido a que es fácil obtener las filas linealmente independientes de una matriz utilizando el método de Gauss o el método de Gauss-Jordan.

 

Ejemplo:

 

Consideremos la matriz A dada por

 

 A = \begin{pmatrix} 1 & 7 & 9 & 11\\ 4 & 0 & 10 & -2\\ -3 & -21 & -27 & -33\\ \end{pmatrix}

 

Notemos que la primer fila, \; F_1, y la segunda, \; F_2, son linealmente independientes, ya que

 

 \frac{4}{1} = 4 \neq 0 = \frac{0}{7}

 

sin embargo, la primer fila y la tercer fila, \; F_2, son linealmente independientes, esto ta que F_3 = -3F_1. Por lo tanto, tenemos dos filas linealmenteindependiente de las tres que constituyen la matriz. Dicho lo anterior, el rango de \; A \; es \; rang(A) = 2.

 

Nota. Puedes visitar este artículo para aprender el método de Gauss.

 

Ejemplo:

 

Ahora aplicaremos el método de Gauss para obtener el rango de la matriz del ejemplo anterior.

 

 A = \begin{pmatrix} 1 & 7 & 9 & 11\\ 4 & 0 & 10 & -2\\ -3 & -21 & -27 & -33\\ \end{pmatrix}

 

Aplicando el método de Gauss tenemos que

 

    • F_2 - 4F_1

       

       \begin{pmatrix} 1 & 7 & 9 & 11\\ 0 & -28 & -26 & -46\\ -3 & -21 & -27 & -33\\ \end{pmatrix}

 

  • F_3 - (-3)F_1

     

     \begin{pmatrix} 1 & 7 & 9 & 11\\ 0 & -28 & -26 & -46\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}

 

Al finalizar nuestro proceso tenemos que nuestra matriz resultante es

 

 \begin{pmatrix} 1 & 7 & 9 & 11\\ 0 & -28 & -26 & -46\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}

 

Como terminamos con dos filas no nulas, tenemos que el rango es \; rang(A) = 2.

 

Rango por determinantes

 

Podemos definir el rango de una matriz como el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula de nuestra matriz A. Utilizando esta definición se puede calcular el rango usando determinantes, sin embargo, no es un método muy recomendable dado que puede llegar a ser demasiado tardado y, dependiendo la dimensión de la matriz, incluso complicado el cálculo de algunos determinantes.

 

Nota. Puedes visitar este artículo para aprender el método por determinantes.

 

Ejemplo:

 

Consideremos la siguiente matriz

 

B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 2\\ 3 & 2 & 5 & 1\\ -1 & 1 & 0 & -7\\ 3 & -2 & 1 & 17\\ 0 & 1 & 1 & -4 \end{pmatrix}

 

Procedamos con los pasos:

 

 1  Suprimimos la tercera columna porque es combinación lineal de las dos primeras, C_3 = C_1 + C_2

 

 { \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 2\\ 3 & 2 & 5 & 1\\ -1 & 1 & 0 & -7\\ 3 & -2 & 1 & 17\\ 0 & 1 & 1 & -4 \end{pmatrix} \quad \rightarrow \quad \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2\\ 3 & 2 & 1\\ -1 & 1 & -7\\ 3 & -2 & 17\\ 0 & 1 & -4 \end{pmatrix} }

 

 2  Comprobamos si tiene rango mayor o igual que uno, para ello se tiene que cumplir que al menos un elemento de la matriz no sea cero y por tanto su determinante no será nulo. Notemos que, al ser la matriz no nula, tenemos que

 

\displaystyle \left| 2\right| = 2 \neq 0.

 

Por lo tanto su rango es igual o mayor que uno.

 

 3  Tendrá rango mayor o igual que dos si existe alguna submatriz cuadrada de orden 2, tal que su determinante no sea nulo. Notemos que

 

 { \begin{vmatrix} 2 & 1\\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 1 \neq 0 }

 

 4  Tendrá rango mayor o igual que tres si existe alguna submatriz cuadrada de orden 3, tal que su determinante no sea nulo. En este caso, calculando los determinantes de todas las submatrices de dimensión 3, tenemos que

 

 {\begin{vmatrix} 2 & 1 & 2\\ 3 & 2 & 1\\ -1 & 1 & -7 \end{vmatrix} = 0, \qquad \begin{vmatrix} 2 & 1 & 2\\ 3 & 2 & 1\\ 3 & -2 & 17 \end{vmatrix} = 0, \qquad \begin{vmatrix} 2 & 1 & 2\\ 3 & 2 & 1\\ 0 & 1 & -4 \end{vmatrix} = 0. }

 

Como todos los determinantes de las submatrices son nulos, tienen rango menor que tres, por tanto \; rang(B) = 2.

 

Dimensión del espacio imagen

 

Esta definición de rango de una matriz es un poco más matemática y complicada de comprender, sin embargo, no está mal tenerla como dato. Aquí necesitamos tener noción del concepto de aplicaciones lineales. Esto ya que, por teoría de álgebra lineal, dada una matriz A_{m \times n}, existe una única aplicación lineal asociada,

 

\displaystyle f: F^n \to F^m,

 

definida como

 

\displaystyle f(x) = Ax,

 

entonces, el rango de \; A \; es la dimensión de la imagen de \; f\;
(como espacio vectorial).

 

No es necesario dominar esta definición ya que solo suele utilizarse en matemáticas puras o física, sin embargo, podemos tenerla como dato general.

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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