Ejercicios de cálculo por el método de Gauss

 

1 Calcular por el método de Gauss la matriz inversa de:

 

A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

 

Calcular por el método de Gauss la matriz inversa de:

 

A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

 

 1  Construir una matriz del tipo M=\left ( A\mid I \right )

 

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & \vdots & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & \vdots & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & \vdots & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

 

Utilizar el método Gauss para transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A−1.

 

F_{2}\leftarrow F_{2}-F_{1}

 

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & \vdots & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & \vdots & -1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & \vdots & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

 

F_{3}\leftarrow F_{3}+F_{2}

 

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & \vdots & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & \vdots & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & \vdots & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

 

F_{2}\leftarrow F_{2}-F_{3}

 

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & \vdots & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & \vdots & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & \vdots & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

 

F_{1}\leftarrow F_{1}+F_{2}

 

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \vdots & 1 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0 & \vdots & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & \vdots & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

 

F_{2}\leftarrow (-1)\cdot F_{2}

 

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \vdots & 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 & \vdots & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & \vdots & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

 

La matriz inversa es:

 

A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

 

2 Calcular por el método de Gauss la matriz inversa de:

 

A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}

 

Calcular por el método de Gauss la matriz inversa de:

 

A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}

 

Construir una matriz del tipo M=\left ( A\mid I \right )

 

\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & \vdots & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & \vdots & 0 & 1 & 0\\ 2 & 0 & 1 & \vdots & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

 

Utilizar el método Gauss para transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A−1.

 

F_{3}\leftarrow F_{3}-2F_{1}

 

\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & \vdots & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & \vdots & 0 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 1 & \vdots & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}

 

F_{3}\leftarrow F_{3}-2F_{2}

 

\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & \vdots & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & \vdots & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & \vdots & -2 & -2 & 1 \end{pmatrix}

 

F_{1}\leftarrow F_{1}+F_{2}

 

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \vdots & 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & \vdots & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & \vdots & -2 & -2 & 1 \end{pmatrix}

 

A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ -2 & -2 & 1 \end{pmatrix}

 

Cálculo de matriz inversa por determinantes

 

1 Hallar por determinantes la matriz inversa de:

 

A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\ 1 & 1 & -4\\ 3 & 7 & -3 \end{pmatrix}

 

Hallar por determinantes la matriz inversa de:

 

A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\ 1 & 1 & -4\\ 3 & 7 & -3 \end{pmatrix}

 

Obtenemos la determinante

 

A=\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1\\ 1 & 1 & -4\\ 3 & 7 & -3 \end{vmatrix}=54

 

Obtenemos la matriz adjunta

 

A^{\ast }=\begin{pmatrix} 25 & -9 & 4\\ 7 & -9 & -14\\ -1 & 9 & 2 \end{pmatrix}

 

Obtenemos la matriz traspuesta de A^{\ast }

 

\left (A^{\ast } \right )^{t}=\begin{pmatrix} 25 & 7 & -1\\ -9 & -9 & 9\\ 4 & -14 & 2 \end{pmatrix}

 

Dividimos la traspuesta de la adjunta entre la determinante:

 

A^{-1}=\cfrac{\left ( A^{\ast } \right )^{t}}{\left | A \right |}

 

A^{-1}=\begin{pmatrix} \cfrac{25}{54} & \cfrac{7}{54} & -\cfrac{1}{54}\\ -\cfrac{9}{54} & -\cfrac{9}{54} & \cfrac{9}{54}\\ \cfrac{4}{54} & -\cfrac{14}{54} & \cfrac{2}{54} \end{pmatrix}

 

A^{-1}=\begin{pmatrix} \cfrac{25}{54} & \cfrac{7}{54} & -\cfrac{1}{54}\\ -\cfrac{1}{6} & -\cfrac{1}{6} & \cfrac{1}{6}\\ \cfrac{2}{27} & -\cfrac{7}{27} & \cfrac{1}{27} \end{pmatrix}

 

Determinar valores donde no hay matriz inversa

 

1 ¿Para qué valores de m la matriz  A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & m\\ m & 0 & -1\\ 6 & -1 & 0 \end{pmatrix} no admite matriz inversa?

 

¿Para qué valores de x la matriz A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & m\\ m & 0 & -1\\ 6 & -1 & 0 \end{pmatrix} no admite matriz inversa?

 

Calculamos la determinante de la matriz

 

\left |A \right |=\begin{vmatrix} 1 & 1 & m\\ m & 0 & -1\\ 6 & -1 & 0 \end{vmatrix}

 

=0-m^{2}-6-0-1-0=-m^{2}-7

 

Igualamos la determinante a cero y resolvemos la ecuación

 

-m^{2}-7=0

m=\pm \sqrt{-7} \not{ \epsilon} \mathbb{R}

 

Por lo que la matriz A tiene inversa para cualquier valor real de m

2 Para qué valores de x la matriz A=\begin{pmatrix} 3 & x & x\\ 1 & -1 & 0\\ 3 & -2 & 0 \end{pmatrix} no admite matriz inversa?

 

Para qué valores de x la matriz A=\begin{pmatrix} 3 & x & x\\ 1 & -1 & 0\\ 3 & -2 & 0 \end{pmatrix} no admite matriz inversa?

 

\left |A \right |=\begin{vmatrix} 3 & x & x\\ 1 & -1 & 0\\ 3 & -2 & 0 \end{vmatrix}=x\begin{vmatrix} 1 & -1\\ 3 & -2 \end{vmatrix}=x

 

Para x=0 la matriz A no tiene inversa.

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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