Una matriz C es la inversa de una matriz A si cumple que

 

A \cdot C = C \cdot A = I.

 

Para denotar la inversa de A escribimos C = A^{-1}.

 

Propiedades de la matriz inversa

1 A \cdot A^{-1}  = A^{-1}\cdot A = I

2 (A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}

3 (A^{-1})^{-1} = A

4 (k \cdot A)^{-1} = k^{-1} \cdot A^{-1}

5 (A^t)^{-1} = (A^{-1})^t

 

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Vamos

Cálculo de la matriz inversa por determinantes

Se realiza aplicando la siguiente fórmula

 

A^{-1} = \cfrac{1}{|A|} \cdot (A^*)^t

 

donde:

|A| es el determinante de la matriz

A^* es la matriz adjunta

(A^*)^t es la matriz traspuesta de la adjunta

 

Ejemplo: Hallar por determinantes la matriz inversa de:

 

A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\ 1 & 1 & -4\\ 3 & 7 & -3 \end{pmatrix}

1 Obtenemos la determinante

 

A=\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1\\ 1 & 1 & -4\\ 3 & 7 & -3 \end{vmatrix}=54

 

2 Obtenemos la matriz adjunta

 

A^{\ast }=\begin{pmatrix} 25 & -9 & 4\\ 7 & -9 & -14\\ -1 & 9 & 2 \end{pmatrix}

 

3 Obtenemos la matriz traspuesta de A^{\ast }

 

\left (A^{\ast } \right )^{t}=\begin{pmatrix} 25 & 7 & -1\\ -9 & -9 & 9\\ 4 & -14 & 2 \end{pmatrix}

 

4 Aplicamos la fórmula para hallar la inversa con determinantes y obtenemos

 

A^{-1}=\begin{pmatrix} \cfrac{25}{54} & \cfrac{7}{54} & -\cfrac{1}{54}\\ -\cfrac{1}{6} & -\cfrac{1}{6} & \cfrac{1}{6}\\ \cfrac{2}{27} & -\cfrac{7}{27} & \cfrac{1}{27} \end{pmatrix}

 

Cálculo por el método de Gauss

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A^{-1}, seguiremos los siguientes pasos:

 

1 Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.

2 Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa A^{-1}.

 

Ejemplo: Hallar por el método de Gauss la matriz inversa de:

 

A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}

 

1 Construir una matriz del tipo M=\left ( A\mid I \right )

 

\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & \vdots & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & \vdots & 0 & 1 & 0\\ 2 & 0 & 1 & \vdots & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

 

2 Utilizamos el método Gauss

 

\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & \vdots & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & \vdots & 0 & 1 & 0\\ 2 & 0 & 1 & \vdots & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \ \ \ F_{3}\leftarrow F_{3}-2F_{1} \ \ \ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & \vdots & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & \vdots & 0 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 1 & \vdots & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}

 

\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & \vdots & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & \vdots & 0 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 1 & \vdots & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \ \ \ F_{3}\leftarrow F_{3}-2F_{2} \ \ \ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & \vdots & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & \vdots & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & \vdots & -2 & -2 & 1 \end{pmatrix}

 

\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & \vdots & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & \vdots & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & \vdots & -2 & -2 & 1 \end{pmatrix} \ \ \ F_{1}\leftarrow F_{1}+F_{2} \ \ \ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \vdots & 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & \vdots & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & \vdots & -2 & -2 & 1 \end{pmatrix}

 

3 La matriz inversa es

 

A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ -2 & -2 & 1 \end{pmatrix}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗