El rango de una matriz es una propiedad fundamental en álgebra lineal que indica el número máximo de columnas (o filas) linealmente independientes dentro de una matriz. Esta medida es esencial para entender la estructura de la matriz y se utiliza en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, en la determinación de la invertibilidad de una matriz, y en diversas aplicaciones de la teoría de matrices.
A continuación te presentamos una serie de ejercicios resueltos que te guiarán a través del proceso de cálculo del rango de una matriz. Los problemas van desde matrices pequeñas hasta matrices más complejas, cubriendo diferentes métodos para determinar el rango, como la reducción de filas (método de eliminación de Gauss) y el uso de determinantes.
Calcular por medio de determinantes el rango de la matriz:
Recordemos que el rango es el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula. Ahora bien, notemos que dado que la dimensión de 
, por lo tanto el rango es cuando mucho 3. Ahora bien, si el determinante es distinto de cero, entonces el rango sería 
. Dicho lo anterior, notemos que:
Por lo tanto, tenemos que 
.
Calcular por medio de determinantes el rango de la matriz:
Recordemos que el rango es el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula, por lo tanto, calculando los rangos obtenemos que:
Submatrices dimensión 1. Tenemos que como la matriz no es nula, entonces, existe alguna submatriz de dimensión uno con determinante distinto de 0, por ejemplo:
Submatrices dimensión 2. Si encontramos alguna submatriz de dimensión 2 con determinante distinto de cero, entonces tendremos que el rango es mayor o igual a 2. Así, notemos que
Por lo tanto, la dimensión es, por lo menos, 2.
Submatrices dimensión 3. Si encontramos alguna submatriz de dimensión 2 con determinante distinto de cero, entonces tendremos que el rango es mayor o igual a 3. Notemos que
Como todas las submatrices de dimensión tres tienen determinante nulo, entonces el rango de la matriz es 
.
Dado lo anterior, tenemos que 
.
Calcular por medio de determinantes el rango de la matriz:
Recordemos que el rango es el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula, por lo tanto, calculando los rangos obtenemos que:
Submatrices dimensión 1. Tenemos que como la matriz no es nula, entonces, existe alguna submatriz de dimensión uno con determinante distinto de 0, por ejemplo:
Submatrices dimensión 2. Si encontramos alguna submatriz de dimensión 2 con determinante distinto de cero, entonces tendremos que el rango es mayor o igual a 2. Así, notemos que
Por lo tanto, la dimensión es, por lo menos, 2.
Submatrices dimensión 3. Si encontramos alguna submatriz de dimensión 2 con determinante distinto de cero, entonces tendremos que el rango es mayor o igual a 3. Notemos que
Como hay una submatriz de dimensión tres con determinante no nulo, entonces el rango de la matriz es .
Dado lo anterior, tenemos que .
Hallar el rango de la matriz siguiente obteniendo las filas linealmente independientes:
Recordemos que denotamos la i-ésima fila como Fi. Dicho esto, procedamos a obtener las filas linealmente independientes (no nulas). Para esto, las analizaremos en orden.
. No existe ningún número real 
tal que 
, por lo tanto son linealmente independiente.
. Notemos que 
, por lo tanto no son linealmente independientes.
. Esta fila es nula (todas sus entradas son 
).
. Tenemos que 
, por lo tanto tampoco es linealmente independiente con y .
Dado lo anterior, tenemos que solo tenemos filas linealmente independientes, y , así, nuestro rango es .
Calcular por el método de Gauss-Jordan el rango de la matriz siguiente:
Recordemos que el rango es igual a la cantidad de filas no nulas obtenidas al finalizar el proceso de Gauss. Así, empecemos con el proceso
Así, nuestra matriz final es
La cual tiene dos filas no nulas, por lo tanto, tenemos que .
Calcular por el método de Gauss-Jordan el rango de la matriz siguiente:
Recordemos que el rango es igual a la cantidad de filas no nulas obtenidas al finalizar el proceso de Gauss. Así, empecemos con el proceso
Podríamos seguir con el método, pero no es necesario ya que no podemos hacer 
o nulas restándoles algún multiplo de . Por lo tanto, nuestra matriz final es
La cual tiene tres filas no nulas, por lo tanto, tenemos que .
Calcular por medio de determinantes el rango de la matriz:
Recordemos que el rango es el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula, por lo tanto, calculando los rangos obtenemos que:
Submatrices dimensión 1. Tenemos que como la matriz no es nula, entonces, existe alguna submatriz de dimensión uno con determinante distinto de 0, por ejemplo:
Submatrices dimensión 2. Si encontramos alguna submatriz de dimensión 2 con determinante distinto de cero, entonces tendremos que el rango es mayor o igual a 2. Así, notemos que
Por lo tanto, la dimensión es, por lo menos, 2.
Submatrices dimensión 3. Si encontramos alguna submatriz de dimensión 2 con determinante distinto de cero, entonces tendremos que el rango es mayor o igual a 3. Notemos que
Como todas las submatrices de dimensión tres tienen determinante nulo, entonces el rango de la matriz es .
Dado lo anterior, tenemos que .
Calcular por medio de determinantes el rango de la matriz:
Recordemos que el rango es el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula. Ahora bien, notemos que dado que la dimensión de 
, por lo tanto el rango es cuando mucho 4. Ahora bien, si encontramos un submatriz de dimensión 
con determinante distinto no cero, entonces el rango sería . Dicho lo anterior, notemos que:
Por lo tanto, tenemos que 
.
Calcular por medio de determinantes el rango de la matriz:
Recordemos que el rango es el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula. Además, podemos eliminar las columnas, o filas, nulas o que sean linealmente dependientes a otras. Notemos que la tercer columna es nula, la cuarta columna es un múltiplo de la primera (
), por último, tenemos que la quinta columna es una combinación lineal de la primera y la segunda (
). Dicho lo anterior, solo nos quedamos con las primeras dos columnas:
Notemos que de esta matriz cuando mucho podemos obtener submatrices de dimensión . Así,calculando el determinante de una submatriz de dimensión tenemos
Por lo tanto, el rango es 
Calcular por medio de determinantes el rango de la matriz:
Recordemos que el rango es el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula. Además, podemos eliminar las columnas, o filas, nulas o que sean linealmente dependientes a otras. Notemos que la tercer columna es la suma de las primeras dos columnas (
). Dicho lo anterior, nos queda la siguiente matriz con la cual haremos el procedimiento.
Submatrices dimensión 1. Tenemos que como la matriz no es nula, entonces, existe alguna submatriz de dimensión uno con determinante distinto de 0, por ejemplo:
Submatrices dimensión 2. Si encontramos alguna submatriz de dimensión 2 con determinante distinto de cero, entonces tendremos que el rango es mayor o igual a 2. Así, notemos que
Por lo tanto, la dimensión es, por lo menos, 2.
Submatrices dimensión 3. Si encontramos alguna submatriz de dimensión 2 con determinante distinto de cero, entonces tendremos que el rango es mayor o igual a 3. Notemos que
Como todas las submatrices de dimensión tres tienen determinante nulo, entonces el rango de la matriz es .
Dado lo anterior, tenemos que .
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Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
En el ejercicio 4 de ecuaciones matriciales se confunden y ponen la matriz C en el lugar de la B y viceversa, pensaba que era error mio de calculo pero creo que esta mal la solucion de ustedes, por el resto me ayudo mucho
Hola, una disculpa por el error, ya se corrigió.
Un número real por una matriz creo que no es el número real por cada elemento de una matriz, sino por los elementos de una sola fila o columna, esto en lo cierto?
Hola el algebra matricial es muy amplia en conceptos, pero lo principal es que una matriz representa arreglos que superan a un solo número real, es como un universo mas amplio que la idea de un solo número real, si no fui claro por favor indícamelo para mejorar.
Muchas gracias , me ayudan mucho con mi examen, solo tenia una duda, en el ejercicio 2 de Sistemas de ecuaciones con matrices, me sale que Y= 8/5, no se en que estoy fallando o creo que se confundieron de símbolo en el elemento de la fila 2 columna 1 de la matriz inversa , debería ser 2/5 y no -2/5.
Hola tienes toda la razón, una disculpa ya se corrigió el error.
Hola, gracias por esto, bien explicado. Por favor, me gustaría también ―pues vengo de las Humanidades― una historia de las matrices. Cómo se inventaron, por quién ; qué necesidad resolvían y no estaba bien cubierta antes. He leído que fueron importantes en aeronáutica. Enhorabuena. ¡Gracias!
Lo tendremos en consideración para nuestro blog 😊 Gracias por tu aporte. Un saludo.
Como resolver 1/2 AB EN MATRICES
2/8x-5y-8z=-10
5/7x-8y+10z=3/9
8x-3y+20z=11