Ejercicios propuestos

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1

Hallar el rango de la matriz siguiente obteniendo las filas linealmente independientes:

 

 A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 & -2 \\ 2 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & -2 & 6 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 4 & -1 & 5 & 0 \\ \end{pmatrix}

 

 

Hallar el rango de la matriz siguiente obteniendo las filas linealmente independientes: 

 A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 & -2 \\ 2 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & -2 & 6 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 4 & -1 & 5 & 0 \\ \end{pmatrix}

 

Recordemos que denotamos la i-ésima fila como Fi. Dicho esto, procedamos a obtener las filas linealmente independientes (no nulas). Para esto, las analizaremos en orden.

 

    • F_1

 

    • F_2. No existe ningún número real a tal que F_2 = aF_1, por lo tanto son linealmente independiente.

 

    • F_3. Notemos que F_3 = 2F_1, por lo tanto no son linealmente independientes.

 

    • F_4. Esta fila es nula (todas sus entradas son 0).

 

  • F_5. Tenemos que F_5 = 2F_2 + F_1, por lo tanto tampoco es linealmente independiente con F_1 y F_2.

 

Dado lo anterior, tenemos que solo tenemos 2 filas linealmente independientes, F_1 y F_2, así, nuestro rango es r(A) = 2.

 

2

Calcular por el método de Gauss-Jordan el rango de la matriz siguiente:

 

 A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 7 \\ 1 & 0 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 7 & 7 \end{pmatrix}

 

 

Calcular por el método de Gauss-Jordan el rango de la matriz siguiente:

 

 A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 7 \\ 1 & 0 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 7 & 7 \end{pmatrix}

 

Recordemos que el rango es igual a la cantidad de filas no nulas obtenidas al finalizar el proceso de Gauss. Así, empecemos con el proceso

 

    • F_2 - \frac{1}{2}F_1

       

       \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 7 \\ 0 & \frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2} \\ 3 & 2 & 7 & 7 \end{pmatrix}

 

    • F_3 - \frac{3}{2}F_1

       

       \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 7 \\ 0 & \frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{7}{2} & 7 & -\frac{7}{2} \end{pmatrix}

 

    • F_2 - \frac{1}{7}F_3

       

       \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{7}{2} & 7 & -\frac{7}{2} \end{pmatrix}

 

  • F_1 + 2F_3

     

     \begin{pmatrix} 2 & 6 & -14 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{7}{2} & 7 & -\frac{7}{2} \end{pmatrix}

 

Así, nuestra matriz final es

 

 \begin{pmatrix} 2 & 6 & -14 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{7}{2} & 7 & -\frac{7}{2} \end{pmatrix}

 

La cual tiene dos filas no nulas, por lo tanto, tenemos que r(A) = 2.

3

Calcular por el método de Gauss-Jordan el rango de la matriz siguiente:

 

 A = \begin{pmatrix} 1 & -4 & 2 & -1 \\ 3 & -12 & 6 & -3 \\ 2 & -1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}

 

 

Calcular por el método de Gauss-Jordan el rango de la matriz siguiente:

 

 A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 7 \\ 1 & 0 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 7 & 7 \end{pmatrix}

 

Recordemos que el rango es igual a la cantidad de filas no nulas obtenidas al finalizar el proceso de Gauss. Así, empecemos con el proceso

 

    • F_2 - 3F_1

       

       \begin{pmatrix} 1 & -4 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}

 

    • F_3 - 2F_1

       

       \begin{pmatrix} 1 & -4 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & -4 & 3\\ 0 & 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}

 

  • F_4 - \frac{1}{7}F_3

     

     \begin{pmatrix} 1 & -4 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & -4 & 3\\ 0 & 0 & \frac{25}{7} & -\frac{10}{7} \end{pmatrix}

 

Podríamos seguir con el método, pero no es necesario ya que no podemos hacer F1 o F_3 nulas restándoles algún multiplo de F_4. Por lo tanto, nuestra matriz final es

 

 \begin{pmatrix} 1 & -4 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & -4 & 3\\ 0 & 0 & \frac{25}{7} & -\frac{10}{7} \end{pmatrix}

 

La cual tiene tres filas no nulas, por lo tanto, tenemos que r(A) = 3.

4

Calcular por medio de determinantes el rango de la matriz:

 

 A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & 6 \\ -1 & -2 & 0 & -3 \\ 3 & 5 & 1 & 9 \end{pmatrix}

 

 

Calcular por medio de determinantes el rango de la matriz:

 

 A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & 6 \\ -1 & -2 & 0 & -3 \\ 3 & 5 & 1 & 9 \end{pmatrix}

 

Recordemos que el rango es el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula, por lo tanto, calculando los rangos obtenemos que:

 

    • Submatrices dimensión 1. Tenemos que como la matriz no es nula, entonces, existe alguna submatriz de dimensión uno con determinante distinto de 0, por ejemplo:

       

       \begin{vmatrix} 2 \end{vmatrix} = 2

 

    • Submatrices dimensión 2. Si encontramos alguna submatriz de dimensión 2 con determinante distinto de cero, entonces tendremos que el rango es mayor o igual a 2. Así, notemos que

       

       \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = -1

       

      Por lo tanto, la dimensión es, por lo menos, 2.

 

  • Submatrices dimensión 3. Si encontramos alguna submatriz de dimensión 2 con determinante distinto de cero, entonces tendremos que el rango es mayor o igual a 3. Notemos que

     

     \begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ -1 & -2 & 0 \\ 3 & 5 & 1 \end{vmatrix} = 0

     

     \begin{vmatrix} 2 & 3 & 6\\ -1 & -2 & -3 \\ 3 & 5 & 9 \end{vmatrix} = 0

     

     \begin{vmatrix} 2 & 1 & 6 \\ -1 & 0 & -3 \\ 3 & 1 & 9 \end{vmatrix} = 0

     

     \begin{vmatrix} 3 & 1 & 6 \\ -2 & 0 & -3 \\ 5 & 1 & 9 \end{vmatrix} = 0

     

    Como todas las submatrices de dimensión tres tienen determinante nulo, entonces el rango de la matriz es 2.

 

Dado lo anterior, tenemos que r(A) = 2.

5

Calcular por medio de determinantes el rango de la matriz:

 

 A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 1 & 3 \\ -1 & 2 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}

 

 

Calcular por medio de determinantes el rango de la matriz:

 

 A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 1 & 3 \\ -1 & 2 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}

 

Recordemos que el rango es el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula. Ahora bien, notemos que dado que la dimensión de 5 \times 4, por lo tanto el rango es cuando mucho 4. Ahora bien, si encontramos un submatriz de dimensión 4 con determinante distinto no cero, entonces el rango sería 4. Dicho lo anterior, notemos que:

 

 \begin{vmatrix} 3 & 2 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 1 & 3 \\ -1 & 2 & 4 & 2 \\ \end{vmatrix} = -99

 

Por lo tanto, tenemos que r(A) = 4.

 

6

Calcular por medio de determinantes el rango de la matriz:

 

 A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 3 & -1 \\ 1 & 2 & 0 & 3 & 0\\ 1 & 3 & 0 & 3 & 1\\ 1 & 4 & 0 & 3 & 2\\ 1 & 5 & 0 & 3 & 3\\ 1 & 6 & 0 & 3 & 4 \end{pmatrix}

 

Calcular por medio de determinantes el rango de la matriz:

 

 A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 3 & -1 \\ 1 & 2 & 0 & 3 & 0\\ 1 & 3 & 0 & 3 & 1\\ 1 & 4 & 0 & 3 & 2\\ 1 & 5 & 0 & 3 & 3\\ 1 & 6 & 0 & 3 & 4 \end{pmatrix}

 

Recordemos que el rango es el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula. Además, podemos eliminar las columnas, o filas, nulas o que sean linealmente dependientes a otras. Notemos que la tercer columna es nula, la cuarta columna es un múltiplo de la primera (c_3 = 3c_1), por último, tenemos que la quinta columna es una combinación lineal de la primera y la segunda (c_5 = -2c_1 + c_2). Dicho lo anterior, solo nos quedamos con las primeras dos columnas:

 

 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2\\ 1 & 3 \\ 1 & 4 \\ 1 & 5\\ 1 & 6 \end{pmatrix}

 

Notemos que de esta matriz cuando mucho podemos obtener submatrices de dimensión 2. Así,calculando el determinante de una submatriz de dimensión 2 tenemos

 

 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 1 = 1

 

Por lo tanto, el rango es r(A) = 2.

 

7

Calcular por medio de determinantes el rango de la matriz:

 

 A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 5 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & -7 \\ 3 & -2 & 1 & 17 \\ 0 & 1 & 1 & -4 \end{pmatrix}

 

Calcular por medio de determinantes el rango de la matriz:

 

 A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 5 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & -7 \\ 3 & -2 & 1 & 17 \\ 0 & 1 & 1 & -4 \end{pmatrix}

 

Recordemos que el rango es el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula. Además, podemos eliminar las columnas, o filas, nulas o que sean linealmente dependientes a otras. Notemos que la tercer columna es la suma de las primeras dos columnas (c_3 = c_1 + c_2). Dicho lo anterior, nos queda la siguiente matriz con la cual haremos el procedimiento.

 

 \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & -7 \\ 3 & -2 & 17 \\ 0 & 1 & -4 \end{pmatrix}

 

    • Submatrices dimensión 1. Tenemos que como la matriz no es nula, entonces, existe alguna submatriz de dimensión uno con determinante distinto de 0, por ejemplo:

       

       \begin{vmatrix} 17 \end{vmatrix} = 17

 

    • Submatrices dimensión 2. Si encontramos alguna submatriz de dimensión 2 con determinante distinto de cero, entonces tendremos que el rango es mayor o igual a 2. Así, notemos que

       

       \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 1

       

      Por lo tanto, la dimensión es, por lo menos, 2.

 

  • Submatrices dimensión 3. Si encontramos alguna submatriz de dimensión 2 con determinante distinto de cero, entonces tendremos que el rango es mayor o igual a 3. Notemos que

     

     \begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & -7 \end{vmatrix} = 0

     

     \begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ 3 & -2 & 17 \end{vmatrix} = 0

     

     \begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -4 \end{vmatrix} = 0

     

     \begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 \\ -1 & 1 & -7 \\ 3 & -2 & 17 \end{vmatrix} = 0

     

     \begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 \\ -1 & 1 & -7 \\ 0 & 1 & -4 \end{vmatrix} = 0

     

     \begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 3 & -2 & 17 \\ 0 & 1 & -4 \end{vmatrix} = 0

     

    Como todas las submatrices de dimensión tres tienen determinante nulo, entonces el rango de la matriz es 2.

 

Dado lo anterior, tenemos que r(A) = 2.

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Marta

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García
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15 Oct.

¡¡Super útil, gracias!!