Suma, multiplicación y potencia de matrices

Sean las matrices: A=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 \\ -1& 1& 1\\ 3& 0& 4 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 4 &-1 &2 \\ 3& 0& 2\\ 0& -1& 4 \end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1\\ -2& 0& 3\\ 4& 2& 1 \end{pmatrix}

Efectuar las siguientes operaciones:

1(A + B)^2

2 (A − B)^2

3 (B)^3

4 A \cdot C^t

1 Para resolver, seguimos la jerarquía de operaciones, por lo cual primero sumamos las matrices:

(A+B)^2=\left (\begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 \\ -1& 1& 1\\ 3& 0& 4 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 4 &-1 &2 \\ 3& 0& 2\\ 0& -1& 4 \end{pmatrix}\right)^2\\(A+B)^2= \begin{pmatrix} 4 & -2 & 4 \\ 2& 1& 3\\ 3& -1& 8 \end{pmatrix}^2 =\left(\begin{matrix} 4 & -2 & 4 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & -1 & 8 \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 4 & -2 & 4 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & -1 & 8 \end{matrix}\right)

Después, calculamos el cuadrado de la matriz:

(A+B)^2=\left(\begin{matrix} 4*4+\left(-2\right)*2+4*3 & 4*\left(-2\right)+\left(-2\right)*1+4*\left(-1\right) & 4*4+\left(-2\right)*3+4*8 \\ 2*4+1*2+3*3 & 2*\left(-2\right)+1*1+3*\left(-1\right) & 2*4+1*3+3*8 \\ 3*4+\left(-1\right)*2+8*3 & 3*\left(-2\right)+\left(-1\right)*1+8*\left(-1\right) & 3*4+\left(-1\right)*3+8*8 \end{matrix}\right)

Finalmente, mediante el desarrollando las operaciones obtenemos:

(A+B)^2=\left(\begin{matrix} 24 & -14 & 42 \\ 19 & -6 & 35 \\ 34 & -15 & 73 \end{matrix}\right)

 

2 Para resolver este ejercicio, primero calculamos el producto de las matrices:

A\cdot B=\left(\begin{matrix} 0 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 4 \end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix} 4 & -1 & 2 \\ 3 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 4 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} -3 & -2 & 6 \\ -1 & 0 & 4 \\ 12 & -7 & 22 \end{matrix}\right)

Después, calculamos el cuadrado del producto:

(AB)^2=\left(\begin{matrix} -3 & -2 & 6 \\ -1 & 0 & 4 \\ 12 & -7 & 22 \end{matrix}\right)^2=\left(\begin{matrix} 83 & -36 & 106 \\ 51 & -26 & 82 \\ 235 & -178 & 528 \end{matrix}\right)

3 En este caso, para resolver podemos reescribir la expresión B^3 como B^2\cdot B. Así bien como B=\left(\begin{matrix} 4 & -1 & 2 \\ 3 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 4 \end{matrix}\right)
Entonces B^2=\left(\begin{matrix} 13 & -6 & 14 \\ 12 & -5 & 14 \\ -3 & -4 & 14 \end{matrix}\right)
Así, tenemos que:B^3=B^2\cdot B=\left(\begin{matrix} 13 & -6 & 14 \\ 12 & -5 & 14 \\ -3 & -4 & 14 \end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix} 4 & -1 & 2 \\ 3 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 4 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 34 & -27 & 70 \\ 33 & -26 & 70 \\ -24 & -11 & 42 \end{matrix}\right)
4En este ejercicio primero calculamos la matriz transpuesta y después multiplicamos
A\cdot C^t=\left(\begin{matrix} 0 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 4 \end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix} 0 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 3 \\ 4 & 2 & 1 \end{matrix}\right)^t=\left(\begin{matrix} 0 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 4 \end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix} 0 & -2 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \end{matrix}\right)
Calculando el producto obtenemos 
A\cdot C^t=\left(\begin{matrix} -3 & 6 & 0 \\ 0 & 5 & -1 \\ -4 & 6 & 16 \end{matrix}\right)
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Vamos

Dimensión de matrices

Sean las matrices: A=\begin{pmatrix} 2 & -1& 0\\ 0 & 2& -1 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 2 &1 \\ 2&2 \end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix} 1 &-2 \\ 0&2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}.

Para cada una de las siguientes expresiones, explique en que casos es posible calcular el producto y en cuales no.

1 (A^t \cdot B ) \cdot C

2 (B \cdot C^t) \cdot A^t

3 Determina la dimensión de M para que pueda efectuarse el producto A \cdot M \cdot C

4 Determina la dimensión de M para que C^t \cdot M sea una matriz cuadrada.

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Antes de plantear las soluciones es importante destacar que la notación sobre la dimensión de una matriz M constituida por m filas y n columnas se denota de la siguiente manera:  M_{m\times n}.

Además, para poder efectuar la multiplicación de dos matrices, se debe satisfacer que: El número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda matriz (con la particularidad de que la matriz obtenida del producto tendrá el mismo número de filas que la primera matriz y el mismo número de columnas que la segunda matriz).

1 Para determinar si es posible calcular el producto (A^t \cdot B ) \cdot C debemos analizar las dimensiones de cada una de las matrices involucradas:
A es una matriz de dimensión 2\times3 por lo que A^t es 3\times 2.
B es una matriz de dimensión 2\times2 .
C es una matriz de dimensión 3\times2.
Así bien podemos expresar lo anterior de la siguiente manera:

(A_{3\times 2}^t \cdot B_{2\times 2}) \cdot C_{3\times2}=(A^t\cdot B)_{3\times 2}\cdot C_{3\times2}

Notemos que como el numero de columnas de (A^t\cdot B) no coincide con el número de filas de C por lo cual la operación no puede ser efectuada.

 

2 (B\cdot C^t)\cdot A^t

Notemos que:

A^t  es una matriz de dimensión 3\times 2.
B es una matriz de dimensión 2\times2 .
C es una matriz de dimensión 3\times2 por lo que C^t es de dimensión 2\times 2.

Podemos reescribir:

(B_{2\times 2} \cdot C_{2\times 3}^t)\cdot A_{3\times 2}^t=(B\cdot C)_{2\times 3}\cdot A_{3\times 2}=(B\cdot C^t \cdot A^t)_{2\times 2}

Por lo cual la operación si puede efectuarse, especificamente la matriz resultante será de dimensión 2\times 2
3 Determinar la dimensión de M para que pueda efectuarse el producto A \cdot M\cdot C

Recordemos que para poder multiplicar dos matrices es necesario que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda, A  es una matriz de dimensión 2\times 3, es decir dos filas y tres columnas entonces M debe de tener tres filas, es decir m=3

4 Determina la dimensión de M para que C^t\cdot M sea una matriz cuadrada.

La matriz C tiene de dimensión 3\times2 por tanto su traspuesta tiene de dimensión 2\times3, para poder multiplicarla por M el número de columnas de C^t tiene que coincidir con el número de filas de M, es decir que m=3.

El producto de C^t\cdot M  es una matriz con el mismo número de filas que C^t es decir   2 y el mismo número de columnas que  M . Por ser el producto una matriz cuadrada el número de columnas de M tiene que ser también 2.Entonces la matriz  M tiene de dimensión3\times 2.

Conmutación de matrices

Calcular todas las matrices que conmuten con la matriz: \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0& 1 \end{pmatrix}

Recordemos que para que dos matrices conmuten deben de satisfacer que A\cdot B=B \cdot A. Si consideramos A=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0& 1 \end{pmatrix} y B=\begin{pmatrix} a & b\\ c& d \end{pmatrix}, tenemos la siguiente igualdad:

\begin{pmatrix} a&b \\ c&d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a&b \\ c&d \end{pmatrix}

Desarrollando en ambos lados de la desigualdad obtenemos:

\begin{pmatrix} a & a+b\\ c&c+d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a+c & b+d\\ c&d \end{pmatrix}

De lo anterior se deducen las siguientes igualdades:

a=a+c\Leftrightarrow c=0

a+b=b+d\Leftrightarrow a=d

c=c

c+d=d \Leftrightarrow c=0

Por lo cual la matriz debe de ser de la forma \begin{pmatrix} a & b\\ 0& a \end{pmatrix}

Ecuaciones matriciales

Sea A=\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right) \quad B=\left(\begin{array}{lll} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \quad C=\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right)

Resolver la ecuación matricial

    \begin{equation*} A X+2 B=3 C \end{equation*}

Para calcular el valor de X es necesario aplicar operaciones en ambos lados de la igualdad. Primero restamos en ambos lados 2B y luego multiplicamos por la matriz inversa de A como se muestra a continuación:

    \begin{equation*}\begin{aligned}&A X=3 C-2 B \\&A^{-1} A X=A^{-1}(3 G-2 B) \\&I X=A^{-1}(3 C-2 B) \\&X=A^{-1}(3 C-2 B)\end{aligned}\end{equation*}

Una vez que tenemos expresada la solución, calculamos la matriz inversa de A:

    \begin{equation*} A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{array}\right) \end{equation*}

.

Finalmente, sustituimos y desarrollamos:

    \begin{equation*} \begin{aligned} &X=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{array}\right)\left[\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right)-2\left(\begin{array}{lll} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\right]= \\ &=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 3 & -2 & -2 \\ -2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 3 & -2 & -2 \\ -5 & 5 & 2 \\ 5 & -3 & 1 \end{array}\right) \end{aligned} \end{equation*}

Problema de matrices contextualizado

Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías: A, B y C. En cada uno de los tamaños, grande y pequeño. Produce diariamente 1000 estanterías grandes y 8000 pequeñas de tipo A, 8000 grandes y 6000 pequeñas de tipo B, y 4000 grandes y 6000 pequeñas de tipo C. Cada estantería grande lleva 16 tornillos y 6 soportes, y cada estantería pequeña lleva 12 tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los tres modelos.

1 Representar esta información en dos matrices.

2 Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios para la producción diaria de cada uno de los seis modelos−tamaño de estantería.

 

Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías: A, B y C. En cada uno de los tamaños, grande y pequeño. Produce diariamente 1000 estanterías grandes y 8000 pequeñas de tipo A, 8000 grandes y 6000 pequeñas de tipo B, y 4000 grandes y 6000 pequeñas de tipo C. Cada estantería grande lleva 16 tornillos y 6 soportes, y cada estantería pequeña lleva 12 tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los tres modelos.
1 Representar esta información en dos matrices.

Filas:   Modelos A, B, C                  Columnas:  Tipos G, P

    \begin{equation*} M=\left(\begin{array}{ll} 1000 & 8000 \\ 8000 & 6000 \\ 4000 & 6000 \end{array}\right) \end{equation*}

Matriz de los elementos de las estanterías:

Filas:  Tipos G, P                  Columnas:  T, S

    \begin{equation*} N=\left(\begin{array}{ll} 16 & 6 \\ 12 & 4 \end{array}\right) \end{equation*}

 

2 Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios para la producción diaria de cada uno de los seis modelos−tamaño de estantería.

Matriz que expresa el número de tornillos y soportes para cada modelo de estantería:

Filas:   Modelos A, B, C                  Columnas:  Tipos T, S

    \begin{equation*} M\cdot N=\left(\begin{array}{ll} 1000 & 8000 \\ 8000 & 6000 \\ 4000 & 6000 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{ll} 16 & 6 \\ 12 & 4 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} 112000 & 38000 \\ 200000 & 72000 \\ 136000 & 48000 \end{array}\right) \end{equation*}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗