Ejercicio 1

Dadas las matrices:

Calcular:

A + B;     A − B;     A x B;     B x A;     At.

Ejercicio 2

Sean las matrices:

Efectuar las siguientes operaciones:

(A + B)²;       (A − B)²;       (B)³;        A · Bt · C.

Ejercicio 3

Dadas las matrices:

1Justificar si son posibles los siguientes productos:

1(At · B ) · C

2(B · Ct ) · At

2Determinar la dimensión de M para que pueda efectuarse el producto A · M · C

3Determina la dimensión de M para que Ct · M sea una matriz cuadrada.

Ejercicio 4

Demostrar que: A² − A − 2 I = 0, siendo:

Ejercicio 5

Sea A la matriz  . Hallar An , para n ∈

Ejercicio 6

Por qué matriz hay que premultiplicar la matriz para que resulte la matriz .

Ejercicio 7

Hallar todas las matrices que conmuten con la matriz:

Ejercicio 8

Calcular la matriz inversa de:

Ejercicio 9

Calcular la matriz inversa de:

Ejercicio 10

Calcular el rango de la matriz siguiente:

Ejercicio 11

Hallar el rango de la matriz siguiente:

Ejercicio 12

Calcular el rango de la matriz siguiente:

Ejercicio 13

Siendo:

Calcular el valor de X en las siguientes ecuaciones:

Ejercicio 14

Siendo:

Resolver la ecuación matricial:

A X + 2 B = 3 C

Ejercicio 15

Resolver; en forma matricial, el sistema:

Ejercicio 16

Obtener las matrices A y B que verifiquen el sistema:

Ejercicio 17

Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías: A, B y C. En cada uno de los tamaños, grande y pequeño. Produce diariamente 1000 estanterías grandes y 8000 pequeñas de tipo A, 8000 grandes y 6000 pequeñas de tipo B, y 4000 grandes y 6000 pequeñas de tipo C. Cada estantería grande lleva 16 tornillos y 6 soportes, y cada estantería pequeña lleva 12 tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los tres modelos.

1 Representar esta información en dos matrices.

2 Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios para la producción diaria de cada uno de los seis modelos−tamaño de estantería.

Ejercicio 18

Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminación N, 200 unidades en la terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100 unidades en la terminación L y 30 unidades en la terminación S. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración . La terminación L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de administración . La terminación S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administración .

1 Representar la información en dos matrices.

2 Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas para cada uno de los modelos.

Ejercicio 1 resuelto

Dadas las matrices:

Calcular:

A + B;     A − B;     A x B;     B x A;     At.

 

 

Ejercicio 2 resuelto

Sean las matrices:

Efectuar las siguientes operaciones:

(A + B)²;       (A − B)²;       (B)³;        A · Bt · C.

Ejercicio 3 resuelto

Dadas las matrices:

 1 Justificar si son posibles los siguientes productos:

 1 (At · B) · C

(At3 x 2 · B2 x 2 ) · C3 x 2 = (At · B )3 x 2 · C3 x 2

  No se puede efectuar el producto porque el número de columnas de
(At · B ) no coincide con el nº de filas de C.

 2 (B · Ct ) · At

(B2 x 2 · Ct2 x 3 ) · At3 x 2 = (B · C)2 x 3 · At3 x 2 =

= (B · Ct · At2 x 2

 2 Determinar la dimensión de M para que pueda efectuarse el producto A · M · C

A3 x 2 ·  Mm x n ·  C3 x 2            m = 2 n = 3

 3 Determina la dimensión de M para que Ct · M sea una matriz cuadrada.

  Ct2 x 3  · Mm x n

La matriz C tiene de dimensión 3x2 por tanto su traspuesta  tiene de dimensión 2x3, para poder multiplicarla por M el número de columnas de Ct tiene que coincidir con el número de filas de M, es decir que m = 3.

El producto de Ct · M es una matriz con el mismo número de filas que Ct, es decir  2 y el mismo número de columnas que M. Por ser el producto una matriz cuadrada el número de columnas de M tiene que ser también 2.

La matriz M tiene de dimensión 3x2.

Ejercicio 4 resuelto

Demostrar que: A² − A − 2 I = 0, siendo:

Ejercicio 5 resuelto

Sea A la matriz  . Hallar An , para n ∈

Ejercicio 6 resuelto

Por qué matriz hay que premultiplicar la matriz para que resulte la matriz .

Ejercicio 7 resuelto

Hallar todas las matrices que conmuten con la matriz:

Ejercicio 8 resuelto

Calcular la matriz inversa de:

 1  Construir una matriz del tipo M = (A | I)

 2  Utilizar el método Gauss para transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A−1.

F2 − F1F3 + F2
F2 − F3F1 + F2
(−1) F2La matriz inversa es:

Ejercicio 9 resuelto

Calcular la matriz inversa de:

 1  Construir una matriz del tipo M = (A | I)

 2  Utilizar el método Gauss para transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A−1.

Ejercicio 10 resuelto

Calcular el rango de la matriz siguiente:

F1 − 2 F2

F3 − 3 F2

F3 + 2 F1

Por tanto r(A) =2.

Ejercicio 11 resuelto

Hallar el rango de la matriz siguiente:

F3 = 2F1

F4 es nula

F5 = 2F2 + F1

r(A) = 2.

Ejercicio 12 resuelto

Calcular el rango de la matriz siguiente:

F2 = F2 − 3F1

F3 = F3 − 2F1

Por tanto r(A) = 3 .

Ejercicio 13 resuelto

Siendo:

Calcular el valor de X en las siguientes ecuaciones:

 

 

 

 

Ejercicio 14 resuelto

Siendo:

Resolver la ecuación matricial:

Ejercicio 15 resuelto

Resolver; en forma matricial, el sistema:

Ejercicio 16 resuelto

Obtener las matrices A y B que verifiquen el sistema:

Multiplicamos la segunda ecuación por −2

Sumamos miembro a miembro

Si multiplicamos la primera ecuación por 3 y sumamos miembro a miembro obtenemos:

Ejercicio 17 resuelto

Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías: A, B y C. En cada uno de los tamaños, grande y pequeño. Produce diariamente 1000 estanterías grandes y 8000 pequeñas de tipo A, 8000 grandes y 6000 pequeñas de tipo B, y 4000 grandes y 6000 pequeñas de tipo C. Cada estantería grande lleva 16 tornillos y 6 soportes, y cada estantería pequeña lleva 12 tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los tres modelos.

 1 Representar esta información en dos matrices.

Filas:   Modelos A, B, C                  Columnas:  Tipos G, P

Matriz de los elementos de las estanterías:

Filas:  Tipos G, P                  Columnas:  T, S

 2 Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios para la producción diaria de cada uno de los seis modelos−tamaño de estantería.

Matriz que expresa el número de tornillos y soportes para cada modelo de estantería:

Ejercicio 18 resuelto

Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminación N, 200 unidades en la terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100 unidades en la terminación L y 30 unidades en la terminación S. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración . La terminación L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de administración . La terminación S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administración.

 1 Representar la información en dos matrices.

Matriz de producción:

 Filas:   Modelos A y B          Columnas:  Terminaciones N, L, S

Matriz de coste en horas:

  Filas:  Terminaciones N, L, S   Columnas:  Coste en horas: T, A

 2 Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas para cada uno de los modelos.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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