Ejercicios de matrices

Ejercicio 1 resuelto

Dadas las matrices:

Calcular:

A + B;     A − B;     A x B;     B x A;     A^t.

Ejercicio 2 resuelto

Sean las matrices:

Efectuar las siguientes operaciones:

(A + B)²;       (A − B)²;       (B)³;        A · B^t · C.

Ejercicio 3 resuelto

Dadas las matrices:

 1 Justificar si son posibles los siguientes productos:

 1 (A^t · B) · C

(A^t_{3 x 2} · B_{2 x 2} ) · C_{3 x 2} = (A^t · B )_{3 x 2} · C_{3 x 2}

  No se puede efectuar el producto porque el número de columnas de
(A^t · B ) no coincide con el nº de filas de C.

 2 (B · C^t ) · A^t

(B_{2 x 2} · C^t_{2 x 3} ) · A^t_{3 x 2} = (B · C)_{2 x 3} · A^t_{3 x 2} =

= (B · C^t · A^t ) _{2 x 2}

 2 Determinar la dimensión de M para que pueda efectuarse el producto A · M · C

A_{3 x 2} ·  M_{m x n} ·  C_{3 x 2}            m = 2 n = 3

 3 Determina la dimensión de M para que C^t · M sea una matriz cuadrada.

  C^t_{2 x 3}  · M_{m x n}

La matriz C tiene de dimensión 3x2 por tanto su traspuesta  tiene de dimensión 2x3, para poder multiplicarla por M el número de columnas de C^t tiene que coincidir con el número de filas de M, es decir que m = 3.

El producto de C^t · M es una matriz con el mismo número de filas que C^t, es decir  2 y el mismo número de columnas que M. Por ser el producto una matriz cuadrada el número de columnas de M tiene que ser también 2.

La matriz M tiene de dimensión 3x2.

Ejercicio 4 resuelto

Demostrar que: A² − A − 2 I = 0, siendo:

Ejercicio 5 resuelto

Sea A la matriz  . Hallar Aⁿ , para n ∈

Ejercicio 6 resuelto

Por qué matriz hay que premultiplicar la matriz para que resulte la matriz .

Ejercicio 7 resuelto

Hallar todas las matrices que conmuten con la matriz:

Ejercicio 8 resuelto

Calcular la matriz inversa de:

 1  Construir una matriz del tipo M = (A | I)

 2  Utilizar el método Gauss para transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A⁻¹.

F2 − F1	F3 + F2
F2 − F3	F1 + F2
(−1) F2	La matriz inversa es:

Ejercicio 9 resuelto

Calcular la matriz inversa de:

 1  Construir una matriz del tipo M = (A | I)

 2  Utilizar el método Gauss para transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A⁻¹.

Ejercicio 10 resuelto

Calcular el rango de la matriz siguiente:

F₁ − 2 F₂

F₃ − 3 F₂

F₃ + 2 F₁

Por tanto r(A) =2.

Ejercicio 11 resuelto

Hallar el rango de la matriz siguiente:

F₃ = 2F₁

F₄ es nula

F₅ = 2F₂ + F₁

r(A) = 2.

Ejercicio 12 resuelto

Calcular el rango de la matriz siguiente:

F₂ = F₂ − 3F₁

F₃ = F₃ − 2F₁

Por tanto r(A) = 3 .

Ejercicio 13 resuelto

Siendo:

Calcular el valor de X en las siguientes ecuaciones:

Ejercicio 14 resuelto

Siendo:

Resolver la ecuación matricial:

Ejercicio 15 resuelto

Resolver; en forma matricial, el sistema:

Ejercicio 16 resuelto

Obtener las matrices A y B que verifiquen el sistema:

Multiplicamos la segunda ecuación por −2

Sumamos miembro a miembro

Si multiplicamos la primera ecuación por 3 y sumamos miembro a miembro obtenemos:

Ejercicio 17 resuelto

Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías: A, B y C. En cada uno de los tamaños, grande y pequeño. Produce diariamente 1000 estanterías grandes y 8000 pequeñas de tipo A, 8000 grandes y 6000 pequeñas de tipo B, y 4000 grandes y 6000 pequeñas de tipo C. Cada estantería grande lleva 16 tornillos y 6 soportes, y cada estantería pequeña lleva 12 tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los tres modelos.

 1 Representar esta información en dos matrices.

Filas:   Modelos A, B, C                  Columnas:  Tipos G, P

Matriz de los elementos de las estanterías:

Filas:  Tipos G, P                  Columnas:  T, S

 2 Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios para la producción diaria de cada uno de los seis modelos−tamaño de estantería.

Matriz que expresa el número de tornillos y soportes para cada modelo de estantería:

Ejercicio 18 resuelto

Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminación N, 200 unidades en la terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100 unidades en la terminación L y 30 unidades en la terminación S. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración . La terminación L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de administración . La terminación S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administración.

 1 Representar la información en dos matrices.

Matriz de producción:

 Filas:   Modelos A y B          Columnas:  Terminaciones N, L, S

Matriz de coste en horas:

  Filas:  Terminaciones N, L, S   Columnas:  Coste en horas: T, A

 2 Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas para cada uno de los modelos.