Operaciones con matrices

 

Dadas las matrices:

 

A= \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2\\ -1 & 1 & 1\\ 3 & 0 & 4 \end{pmatrix}; \; \; \; B=\begin{pmatrix} 4 & -1 & 2\\ 3 & 0 & 2\\ 0 & -1 & 4 \end{pmatrix}; \; \; \;  C=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 3\\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}

 

Calcular:

1 (A+B)^2
1 (A-B)^2
3 B^3
4 A\cdot B^t \cdot C

1 (A+B)^2

 

Calculamos A+B, para esto sumamos los elementos que se encuentran en la misma posición de ambas matrices:

 

\begin{array}{rcl} A + B & = & \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2\\ -1 & 1 & 1\\ 3 & 0 & 4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4 & -1 & 2\\ 3 & 0 & 2\\ 0 & -1 & 4 \end{pmatrix} \\\\ & = &  \begin{pmatrix} 4 & -2 & 4\\ 2 & 1 & 3\\ 3 & -1 & 8 \end{pmatrix} \end{array}

 

El resultado anterior lo elevamos al cuadrado

 

\begin{array}{rcl} (A + B)^2 & = & \begin{pmatrix} 4 & -2 & 4\\ 2 & 1 & 3\\ 3 & -1 & 8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & -2 & 4\\ 2 & 1 & 3\\ 3 & -1 & 8 \end{pmatrix} \\\\ & = & \begin{pmatrix} 24 & -14 & 42\\ 19 & -6 & 35 \\ 34 & -15 & 73 \end{pmatrix} \end{array}

 

2 (A-B)^2

 

Calculamos A - B

 

\begin{array}{rcl} A - B & = & \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2\\ -1 & 1 & 1\\ 3 & 0 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 & -1 & 2\\ 3 & 0 & 2\\ 0 & -1 & 4 \end{pmatrix} \\\\ & = & \begin{pmatrix} -4 & 0 & 0\\ -4 & 1 & -1\\ 3 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{array}

 

El resultado anterior lo elevamos al cuadrado

 

\begin{array}{rcl} (A - B)^2 & = & \begin{pmatrix} -4 & 0 & 0\\ -4 & 1 & -1\\ 3 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -4 & 0 & 0\\ -4 & 1 & -1\\ 3 & 1 & 0 \end{pmatrix} \\\\ & = & \begin{pmatrix} 16 & 0 & 0\\ 9 & 0 & -1 \\ -16 & 1 & -1 \end{pmatrix} \end{array}

 

3 B^3

 

Primero se calcula B^2 y luego se multiplica por B

 

\begin{array}{rcl} B^3 & = & \left ( \begin{array}{rrr} 4 & -1 & 2\\ 3 & 0 & 2\\ 0 & -1 & 4 \end{array} \right ) \cdot \left ( \begin{array}{rrr} 4 & -1 & 2\\ 3 & 0 & 2\\ 0 & -1 & 4 \end{array} \right ) \cdot \left ( \begin{array}{rrr} 4 & -1 & 2\\ 3 & 0 & 2\\ 0 & -1 & 4 \end{array} \right ) \\\\ & = & \left ( \begin{array}{rrr} 13 & -6 & 14 \\ 12 & -5 & 14 \\ -3 & -4 & 14 \end{array} \right ) \cdot \left ( \begin{array}{rrr} 4 & -1 & 2\\ 3 & 0 & 2\\ 0 & -1 & 4 \end{array} \right ) \\\\ & = & \left ( \begin{array}{rrr} 34 & -27 & 70 \\ 33 & -26 & 70 \\ -24 & -11 & 42 \end{array} \right ) \end{array}

 

4 A \cdot B^t \cdot C

 

Calculamos B^t

 

B^t=\begin{pmatrix} 4 & 3 & 0\\ -1 & 0 & -1\\ 2 & 2 & 4 \end{pmatrix}

 

\begin{array}{rcl} A \cdot B^t \cdot C & = & \left ( \begin{array}{rrr} 0 & -1 & 2\\ -1 & 1 & 1\\ 3 & 0 & 4 \end{array} \right ) \cdot \left ( \begin{array}{rrr} 4 & 3 & 0\\ -1 & 0 & -1\\ 2 & 2 & 4 \end{array} \right ) \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 3\\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \\\\  & = & \left ( \begin{array}{rrr} 5 & 4 & 9 \\ -3 & -1 & 3 \\ 20 & 17 & 16 \end{array} \right ) \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 3\\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \\\\  & = & \left ( \begin{array}{rrr} 28 & 23 & 16 \\ 14 & 3 & 3 \\ 30 & 52 & 47 \end{array} \right )  \end{array}

 

 

Producto y dimensión de matrices

 

Dadas las matrices:

 

A= \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0\\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}; \; \; \; B=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 2  \end{pmatrix}; \; \; \; C=\begin{pmatrix}  1 & -2 \\ 0 & 2\\ -2 & 0 \end{pmatrix}

 

1Justificar si son posibles los siguientes productos:

a\left (A^t \cdot B \right ) \cdot C

b \left (B \cdot C^t \right ) \cdot A^t

 

2Determinar la dimensión de M para que pueda efectuarse el producto A \cdot M \cdot C

 

3Determina la dimensión de M para que C^t \cdot M sea una matriz cuadrada.

1aEl resultado de la multiplicación \left (A^t \cdot B \right ) es una matriz de 3 \times 2, ya que  A^t es de 3 \times 2 y  B es de 2 \times 2, mientras que la matriz C es de 3 \times 2. Por tanto no se puede efectuar el producto porque el número de columnas de \left (A^t \cdot B \right ) no coincide con el número de filas de C

 

1bEl resultado de la multiplicación \left (B \cdot C^t \right ) es una matriz de 2 \times 3, ya que  B es de 2 \times 2 y  C^t es de 2 \times 3, mientras que la matriz A^t es de 3 \times 2. Por tanto si se puede efectuar el producto porque el número de columnas de \left (B \cdot C^t \right ) coincide con el número de filas de A^t y el resultdo es una matriz de 2 \times 2

 

2La matriz A es de 2 \times 3; C es de 3 \times 2; así, para que se pueda efectuar la multiplicación se requiere que el número de filas de M coincida con el número de columnas de A y que el número de columnas de M coincida con el número de filas de C. Por lo tanto, M es de 3 \times 3

 

3La matriz C tiene dimensión 3 \times 2, por lo que su transpuesta es de 2 \times 3. Para poder multiplicala por M, el número de columnas de C^t tien que coincidir con el número de filas de M y su número de filas debe coincidir con el número de columnas de M. Así, M es de 3 \times 2

 

 

Producto de matrices

 

Por qué matriz hay que premultiplicar la matriz

 

A= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 2 & 1 \end{pmatrix}

 

para que resulte la matriz

 

B = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 6 & 3 \end{pmatrix}

Denotamos la matriz buscada por

 

X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

 

Resolvemos X \cdot A = B

 

\begin{array}{rcl} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 2 & 1 \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 6 & 3 \end{pmatrix} \\\\ \begin{pmatrix} a + 2b & b \\ c + 2d & d \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 6 & 3 \end{pmatrix} \end{array}

 

Obtenemos el sistema de ecuaciones

 

\left \{ \begin{array}{c} a + 2b = 5 \\ b = 2 \\ c + 2d = 6 \\ d = 3 \end{array} \right.

 

Resolviendo el sistema se obtiene

 

a = 1, \ b = 2, \ c = 0, \ d = 3

 

Así, la matriz buscada es

X = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}

 

 

Conmutatividad de matrices

 

Hallar todas las matrices que conmuten con la matriz:

 

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Denotamos la matriz buscada por

 

X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

 

Resolvemos X \cdot A = A \cdot X

 

\begin{array}{rcl} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \\\\ \begin{pmatrix} a & a + b \\ c & c + d \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} a + c & b + d \\ c & d \end{pmatrix} \end{array}

 

Obtenemos el sistema de ecuaciones

 

\left \{ \begin{array}{c} a = a + c \\ a + b = b + d \\ c = c \\ c + d = d \end{array} \right.

 

Resolviendo el sistema se obtiene

 

a = d,  c = 0,

 

Así, la matriz buscada es

 

X = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}

 

para cualesquiera valores reales de a, b

 

 

Inversa de una matriz

 

Calcular la matriz inversa de:

 

A = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)

1 Construir una matriz del tipo M = (A|I)

 

M = \left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)

 

2 Utilizar el método Gauss para transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa A^{-1}.

 

Hacemos f_2 = f_2 - f_1

 

\begin{array}{rcl}M & = & \left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \\\\ & = & \left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \end{array}

 

Hacemos f_3 = f_3 + f_2

 

\begin{array}{rcl}\left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) & = & \left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right) \end{array}

 

Hacemos f_2 = f_2 - f_3

 

\begin{array}{rcl}\left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right) & = & \left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right) \end{array}

 

Hacemos f_1 = f_1 + f_2 y f_2 = -f_2

 

\begin{array}{rcl}\left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right) & = & \left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right) \end{array}

 

3La matriz inversa es

 

A^{-1} = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{array}\right)

 

 

Rango de una matriz

 

Calcular el rango de las matrices siguientes:

 

A = \left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 2 & -1 & 3 & -2 \\ 2 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & -2 & 6 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 4 & -1 & 5 & 0 \end{array} \right )

 

B = \left( \begin{array}{rrrr} 1 & -4 & 2 & -1 \\ 3 & -12 & 6 & -3  \\ 2 & -1 & 0 & 1  \\ 0 & 1 & 3 & -1  \end{array} \right )

Matriz ARealizamos operaciones elementales de filas: 

1Hacemos f_3 = f_3 - 2f_1; \ \ f_5 = f_5 -2f_2 - f_1

 

\left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 2 & -1 & 3 & -2 \\ 2 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & -2 & 6 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 4 & -1 & 5 & 0 \end{array} \right ) = \left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 2 & -1 & 3 & -2 \\ 2 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right )

 

2Calculamos el determinante de la submatriz

 

\left | \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} \right | = -3 \neq 0

 

Por tanto r(A) = 2.

 

Matriz B

 

1Notamos que f_2 = 3f_1 por lo que det \, B = 0

 

2Calculamos el determinante de la submatriz de  3 \times 3

 

\left| \begin{array}{rrr} -4 & 2 & -1  \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & -1  \end{array} \right | = 15

 

Por tanto r(B) = 3.

 

 

Ecuación matricial

 

Siendo:

 

A = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0  \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right ); \ \ \ B = \left( \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right ); \ \ \ C = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right ).

 

Calcular el valor de X en la ecuación AX + 2B = 3C

1Despejamos la variable X

 

\begin{array}{rcl} AX + 2B & = & 3C \\\\ AX & = & 3C - 2B \\\\ A^{-1} AX & = & A^{-1} (3C - 2B) \\\\ IX & = & A^{-1}(3C - 2B) \\\\ X & = & A^{-1}(3C - 2B) \end{array}

 

2Calculamos A^{-1}

 

A^{-1} = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{array} \right )

 

3Resolvemos y obtenemos

 

\begin{array}{rcl} X & = & \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{array} \right ) \cdot \left [ 3 \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right ) - 2 \left( \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right ) \right ]  \\\\  & = & \left( \begin{array}{rrr} 3 & -2 & -2 \\ -5 & 5 & 2 \\ 5 & -3 & 1 \end{array} \right ) \end{array}

 

 

Problema matricial

 

Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías: A, B y C. En cada uno de los tamaños, grande y pequeño. Produce diariamente 1000 estanterías grandes y 8000 pequeñas de tipo A, 8000 grandes y 6000 pequeñas de tipo B, y 4000 grandes y 6000 pequeñas de tipo C. Cada estantería grande lleva 16 tornillos y 6 soportes, y cada estantería pequeña lleva 12 tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los tres modelos.

 

1Representar esta información en dos matrices.

 

2Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios para la producción diaria de cada uno de los seis modelos−tamaño de estantería.

1Información en dos matrices.

 

Filas: Modelos A, B, C, Columnas:  Tipos G, P

 

M = \left( \begin{array}{rr} 1000 & 8000  \\ 8000 & 6000  \\ 4000 & 6000  \end{array} \right )

 

Matriz de los elementos de las estanterías:

 

Filas: Tipos G, P,  Columnas: T, S

 

N = \left( \begin{array}{rr} 16 & 6   \\ 12 & 4  \end{array} \right )

 

2Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios para la producción diaria de cada uno de los seis modelos−tamaño de estantería.

 

Matriz que expresa el número de tornillos y soportes para cada modelo de estantería:

Filas:   Modelos A, B, C; Columnas:  Tipos T, S

\begin{array}{rcl} M \cdot N & = & \left( \begin{array}{rr} 1000 & 8000  \\ 8000 & 6000  \\ 4000 & 6000  \end{array} \right )  \cdot \left( \begin{array}{rr} 16 & 6   \\ 12 & 4  \end{array} \right )  \\\\  & = & \left( \begin{array}{rr} 112000 & 38000  \\ 200000 & 72000  \\ 136000 & 48000  \end{array} \right )  \end{array}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗