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Producto y dimensión de matrices
Producto de matrices
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Inversa de una matriz
Rango de una matriz
Ecuación matricial
Problema matricial

Operaciones con matrices

Dadas las matrices:

$A= \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2\\ -1 & 1 & 1\\ 3 & 0 & 4 \end{pmatrix}; \; \; \; B=\begin{pmatrix} 4 & -1 & 2\\ 3 & 0 & 2\\ 0 & -1 & 4 \end{pmatrix}; \; \; \; C=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 3\\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

Calcular:

1 $(A+B)^2$
1 $(A-B)^2$
3 $B^3$
4 $A\cdot B^t \cdot C$

1 $(A+B)^2$

Calculamos $A+B$ , para esto sumamos los elementos que se encuentran en la misma posición de ambas matrices:

$\begin{array}{rcl} A + B & = & \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2\\ -1 & 1 & 1\\ 3 & 0 & 4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4 & -1 & 2\\ 3 & 0 & 2\\ 0 & -1 & 4 \end{pmatrix} \\\\ & = & \begin{pmatrix} 4 & -2 & 4\\ 2 & 1 & 3\\ 3 & -1 & 8 \end{pmatrix} \end{array}$

El resultado anterior lo elevamos al cuadrado

$\begin{array}{rcl} (A + B)^2 & = & \begin{pmatrix} 4 & -2 & 4\\ 2 & 1 & 3\\ 3 & -1 & 8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & -2 & 4\\ 2 & 1 & 3\\ 3 & -1 & 8 \end{pmatrix} \\\\ & = & \begin{pmatrix} 24 & -14 & 42\\ 19 & -6 & 35 \\ 34 & -15 & 73 \end{pmatrix} \end{array}$

2 $(A-B)^2$

Calculamos $A - B$

$\begin{array}{rcl} A - B & = & \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2\\ -1 & 1 & 1\\ 3 & 0 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 & -1 & 2\\ 3 & 0 & 2\\ 0 & -1 & 4 \end{pmatrix} \\\\ & = & \begin{pmatrix} -4 & 0 & 0\\ -4 & 1 & -1\\ 3 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{array}$

El resultado anterior lo elevamos al cuadrado

$\begin{array}{rcl} (A - B)^2 & = & \begin{pmatrix} -4 & 0 & 0\\ -4 & 1 & -1\\ 3 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -4 & 0 & 0\\ -4 & 1 & -1\\ 3 & 1 & 0 \end{pmatrix} \\\\ & = & \begin{pmatrix} 16 & 0 & 0\\ 9 & 0 & -1 \\ -16 & 1 & -1 \end{pmatrix} \end{array}$

3 $B^3$

Primero se calcula $B^2$ y luego se multiplica por $B$

$\begin{array}{rcl} B^3 & = & \left ( \begin{array}{rrr} 4 & -1 & 2\\ 3 & 0 & 2\\ 0 & -1 & 4 \end{array} \right ) \cdot \left ( \begin{array}{rrr} 4 & -1 & 2\\ 3 & 0 & 2\\ 0 & -1 & 4 \end{array} \right ) \cdot \left ( \begin{array}{rrr} 4 & -1 & 2\\ 3 & 0 & 2\\ 0 & -1 & 4 \end{array} \right ) \\\\ & = & \left ( \begin{array}{rrr} 13 & -6 & 14 \\ 12 & -5 & 14 \\ -3 & -4 & 14 \end{array} \right ) \cdot \left ( \begin{array}{rrr} 4 & -1 & 2\\ 3 & 0 & 2\\ 0 & -1 & 4 \end{array} \right ) \\\\ & = & \left ( \begin{array}{rrr} 34 & -27 & 70 \\ 33 & -26 & 70 \\ -24 & -11 & 42 \end{array} \right ) \end{array}$

4 $A \cdot B^t \cdot C$

Calculamos $B^t$

$B^t=\begin{pmatrix} 4 & 3 & 0\\ -1 & 0 & -1\\ 2 & 2 & 4 \end{pmatrix}$

$\begin{array}{rcl} A \cdot B^t \cdot C & = & \left ( \begin{array}{rrr} 0 & -1 & 2\\ -1 & 1 & 1\\ 3 & 0 & 4 \end{array} \right ) \cdot \left ( \begin{array}{rrr} 4 & 3 & 0\\ -1 & 0 & -1\\ 2 & 2 & 4 \end{array} \right ) \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 3\\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \\\\ & = & \left ( \begin{array}{rrr} 5 & 4 & 9 \\ -3 & -1 & 3 \\ 20 & 17 & 16 \end{array} \right ) \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 3\\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \\\\ & = & \left ( \begin{array}{rrr} 28 & 23 & 16 \\ 14 & 3 & 3 \\ 30 & 52 & 47 \end{array} \right ) \end{array}$

Producto y dimensión de matrices

Dadas las matrices:

$A= \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0\\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}; \; \; \; B=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}; \; \; \; C=\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 2\\ -2 & 0 \end{pmatrix}$

1Justificar si son posibles los siguientes productos:

a $\left (A^t \cdot B \right ) \cdot C$

b $\left (B \cdot C^t \right ) \cdot A^t$

2Determinar la dimensión de $M$ para que pueda efectuarse el producto $A \cdot M \cdot C$

3Determina la dimensión de $M$ para que $C^t \cdot M$ sea una matriz cuadrada.

1aEl resultado de la multiplicación $\left (A^t \cdot B \right )$ es una matriz de $3 \times 2$ , ya que $A^t$ es de $3 \times 2$ y $B$ es de $2 \times 2$ , mientras que la matriz $C$ es de $3 \times 2$ . Por tanto no se puede efectuar el producto porque el número de columnas de $\left (A^t \cdot B \right )$ no coincide con el número de filas de $C$

1bEl resultado de la multiplicación $\left (B \cdot C^t \right )$ es una matriz de $2 \times 3$ , ya que $B$ es de $2 \times 2$ y $C^t$ es de $2 \times 3$ , mientras que la matriz $A^t$ es de $3 \times 2$ . Por tanto si se puede efectuar el producto porque el número de columnas de $\left (B \cdot C^t \right )$ coincide con el número de filas de $A^t$ y el resultdo es una matriz de $2 \times 2$

2La matriz $A$ es de $2 \times 3$ ; $C$ es de $3 \times 2$ ; así, para que se pueda efectuar la multiplicación se requiere que el número de filas de $M$ coincida con el número de columnas de $A$ y que el número de columnas de $M$ coincida con el número de filas de $C$ . Por lo tanto, $M$ es de $3 \times 3$

3La matriz $C$ tiene dimensión $3 \times 2$ , por lo que su transpuesta es de $2 \times 3$ . Para poder multiplicala por $M$ , el número de columnas de $C^t$ tien que coincidir con el número de filas de $M$ y su número de filas debe coincidir con el número de columnas de $M$ . Así, $M$ es de $3 \times 2$

Producto de matrices

Por qué matriz hay que premultiplicar la matriz

$A= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

para que resulte la matriz

$B = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 6 & 3 \end{pmatrix}$

Denotamos la matriz buscada por

$X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

Resolvemos $X \cdot A = B$

$\begin{array}{rcl} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 2 & 1 \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 6 & 3 \end{pmatrix} \\\\ \begin{pmatrix} a + 2b & b \\ c + 2d & d \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 6 & 3 \end{pmatrix} \end{array}$

Obtenemos el sistema de ecuaciones

$\left \{ \begin{array}{c} a + 2b = 5 \\ b = 2 \\ c + 2d = 6 \\ d = 3 \end{array} \right.$

Resolviendo el sistema se obtiene

$a = 1, \ b = 2, \ c = 0, \ d = 3$

Así, la matriz buscada es

$X = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$

Conmutatividad de matrices

Hallar todas las matrices que conmuten con la matriz:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Denotamos la matriz buscada por

$X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

Resolvemos $X \cdot A = A \cdot X$

$\begin{array}{rcl} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \\\\ \begin{pmatrix} a & a + b \\ c & c + d \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} a + c & b + d \\ c & d \end{pmatrix} \end{array}$

Obtenemos el sistema de ecuaciones

$\left \{ \begin{array}{c} a = a + c \\ a + b = b + d \\ c = c \\ c + d = d \end{array} \right.$

Resolviendo el sistema se obtiene

$a = d, c = 0,$

Así, la matriz buscada es

$X = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}$

para cualesquiera valores reales de $a, b$

Inversa de una matriz

Calcular la matriz inversa de:

$A = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)$

1 Construir una matriz del tipo $M = (A|I)$

$M = \left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$

2 Utilizar el método Gauss para transformar la mitad izquierda, $A$ , en la matriz identidad, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa $A^{-1}$ .

Hacemos $f_2 = f_2 - f_1$

$\begin{array}{rcl}M & = & \left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \\\\ & = & \left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \end{array}$

Hacemos $f_3 = f_3 + f_2$

$\begin{array}{rcl}\left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) & = & \left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right) \end{array}$

Hacemos $f_2 = f_2 - f_3$

$\begin{array}{rcl}\left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right) & = & \left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right) \end{array}$

Hacemos $f_1 = f_1 + f_2$ y $f_2 = -f_2$

$\begin{array}{rcl}\left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right) & = & \left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right) \end{array}$

3La matriz inversa es

$A^{-1} = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{array}\right)$

Rango de una matriz

Calcular el rango de las matrices siguientes:

$A = \left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 2 & -1 & 3 & -2 \\ 2 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & -2 & 6 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 4 & -1 & 5 & 0 \end{array} \right )$

$B = \left( \begin{array}{rrrr} 1 & -4 & 2 & -1 \\ 3 & -12 & 6 & -3 \\ 2 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & -1 \end{array} \right )$

Matriz $A$ Realizamos operaciones elementales de filas:

1Hacemos $f_3 = f_3 - 2f_1; \ \ f_5 = f_5 -2f_2 - f_1$

$\left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 2 & -1 & 3 & -2 \\ 2 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & -2 & 6 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 4 & -1 & 5 & 0 \end{array} \right ) = \left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 2 & -1 & 3 & -2 \\ 2 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right )$

2Calculamos el determinante de la submatriz

$\left | \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} \right | = -3 \neq 0$

Por tanto $r(A) = 2$ .

Matriz $B$

1Notamos que $f_2 = 3f_1$ por lo que $det \, B = 0$

2Calculamos el determinante de la submatriz de $3 \times 3$

$\left| \begin{array}{rrr} -4 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & -1 \end{array} \right | = 15$

Por tanto $r(B) = 3$ .

Ecuación matricial

Siendo:

$A = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right ); \ \ \ B = \left( \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right ); \ \ \ C = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right ).$

Calcular el valor de $X$ en la ecuación $AX + 2B = 3C$

1Despejamos la variable $X$

$\begin{array}{rcl} AX + 2B & = & 3C \\\\ AX & = & 3C - 2B \\\\ A^{-1} AX & = & A^{-1} (3C - 2B) \\\\ IX & = & A^{-1}(3C - 2B) \\\\ X & = & A^{-1}(3C - 2B) \end{array}$

2Calculamos $A^{-1}$

$A^{-1} = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{array} \right )$

3Resolvemos y obtenemos

$\begin{array}{rcl} X & = & \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{array} \right ) \cdot \left [ 3 \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right ) - 2 \left( \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right ) \right ] \\\\ & = & \left( \begin{array}{rrr} 3 & -2 & -2 \\ -5 & 5 & 2 \\ 5 & -3 & 1 \end{array} \right ) \end{array}$

Problema matricial

Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías: $A, B$ y $C$ . En cada uno de los tamaños, grande y pequeño. Produce diariamente $1000$ estanterías grandes y $8000$ pequeñas de tipo $A$ , $8000$ grandes y $6000$ pequeñas de tipo $B$ , y $4000$ grandes y $6000$ pequeñas de tipo $C$ . Cada estantería grande lleva $16$ tornillos y $6$ soportes, y cada estantería pequeña lleva $12$ tornillos y $4$ soportes, en cualquiera de los tres modelos.

1Representar esta información en dos matrices.

2Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios para la producción diaria de cada uno de los seis modelos−tamaño de estantería.

1Información en dos matrices.

Filas: Modelos $A, B, C$ , Columnas: Tipos $G, P$

$M = \left( \begin{array}{rr} 1000 & 8000 \\ 8000 & 6000 \\ 4000 & 6000 \end{array} \right )$

Matriz de los elementos de las estanterías:

Filas: Tipos $G, P$ , Columnas: $T, S$

$N = \left( \begin{array}{rr} 16 & 6 \\ 12 & 4 \end{array} \right )$

2Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios para la producción diaria de cada uno de los seis modelos−tamaño de estantería.

Matriz que expresa el número de tornillos y soportes para cada modelo de estantería:

Filas: Modelos $A, B, C$ ; Columnas: Tipos $T, S$

$\begin{array}{rcl} M \cdot N & = & \left( \begin{array}{rr} 1000 & 8000 \\ 8000 & 6000 \\ 4000 & 6000 \end{array} \right ) \cdot \left( \begin{array}{rr} 16 & 6 \\ 12 & 4 \end{array} \right ) \\\\ & = & \left( \begin{array}{rr} 112000 & 38000 \\ 200000 & 72000 \\ 136000 & 48000 \end{array} \right ) \end{array}$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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RENE

Mayo 2022

B= [ 5 10 −6 0 −4 8 −3 5 −9] ALGUIEN ME PUEDE AYUDAR

Daniela

Mayo 2022

|X² 7| |5 1|=-10 Cómo resuelvo está matriz Alguien me ayuda

jenner valentin

Abril 2022

Formule 3 Casos de una matriz 4x4 y calcule: Suma de matrices Producto de matrices Cociente de matrices Inversa Determinante Calcule: 5/2 A+2/5 B b) AT ( A*B)T Calcule: 2A^T-5B^T me pueden ayudar no entiendo

Rene valle

Noviembre 2022

A= (2. -1) B=(4 5) C = (1. 0) (1 3) (0 -4) (-5 -2)

Carlos

Abril 2022

hola, tengo un problema con la notación de las matrices cuando se dice que una matriz es de dimensión n x m hablas de n filas y m columnas pero en el ejercicio 1a del segundo punto, no entiendo la relación de esos aspectos At= 3x2 dices pero la matriz A tiene 2 filas y 3 columnas si usamos la descripción que te di anteriormente seria de 2x3 y B=2x2 por lo tanto el numero de columnas de A no es igual al numero de filas de B, entonces en un principio la operación es incalculable, porfavor te agradeceria que me aclares esa duda, no se si trabajas con alguna descripción diferente o si estoy equivocado, gracias.

Carlos

Abril 2022

menciono esto porque dices que la multiplicación At x B da como resultado una matriz de 3x 2 lo que si me apego a mi idea de que el primer numero indica filas y el segundo columnas, seria imposible de realizar

jose

Abril 2022

CALCULAR A2-3A-l siendo A=(2 1 3 1) l= (1 0 0 1)

Eglis Marcano

Abril 2022

Buenas necesito ayuda con lo siguiente: 1) resolver los siguientes signos de agrupación: 8c--(3a+c)+[-(a+c)-2a-a-c]+2c

Nicolas

Marzo 2022

Buenas, por favor necesito resolver esta pregunta pero no se como, se los agradecería si me colaboran Resolver la ecuación matricial en X si: a) PXQ =R b) XP = S. Sabiendo que: P = 1 0 2 −1 0 3 Q = 1 1 −1 2 0 3 R = −1 1 −4 −4 0 −6 6 6 −6 S = 1 6 3 1

Shirley

Marzo 2022

A= 01000 00100 00010 00001 00000

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