Concepto de matriz

Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.

El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz.

El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por Amxn o (aij), y un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, por aij.

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.

Tipos de matrices

Matriz fila:

Es una matriz constituida por una sola fila.

Matriz columna:

Es una matriz con una sola columna.

Matriz rectangular:

Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

Matriz cuadrada:

La que tiene el mismo número de filas que de columnas.

Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.

La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j=n+1.

Matriz nula:

Todos los elementos son nulos.

Matriz triangular superior:

Los elementos situados por debajo de la diagonal principal son 0.

Matriz triangular inferior:

Los elementos situados por encima de la diagonal principal son 0.

Matriz diagonal:

Todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar:

Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidad:

Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Matriz traspuesta:

Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

(At)t = A

(A + B)t = At + Bt

(α · A)t = α ·At

(A ·  B)t = Bt · At

Matriz regular:

Es aquella matriz cuadrada que tiene inversa.

Matriz singular:

Es aquella que no tiene matriz inversa.

Matriz idempotente:

Si A² = A.

Matriz involutiva:

Si A² = I.

Matriz simétrica:

Es aquella matriz cuadrada que verifica: A = At.

Matriz antisimétrica o hemisimétrica:

Es aquella matriz cuadrada que verifica: A = −At.

Matriz ortogonal:

Si verifica: A · At = I

Suma de matrices

Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(aij) y B=(bij), se define la matriz suma como: A+B=(aij+bij). Es decir, aquella matriz cuyos elementos se obtienen: sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posición.

Propiedades

  • Interna:
  • Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C
  • Elemento neutro: A + 0 = A
  • Elemento opuesto:A + (−A) = O
  • Conmutativa: A + B = B + A

Producto de un número real por una matriz

Dada una matriz A=(aij) y un número real kR, se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k.

kA=(k aij)

Propiedades

  • a ·  (b · A) = (a · b) · A AMmxn, a, b ∈
  • a  ·  (A+B) = a · A + a · B A,BMmxn , a ∈
  • (a+b) · A = a · A+b · A AMmxn , a, b ∈
  • 1 · A = A AMmxn

Producto de matrices

Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.

Mm x n x Mn x p = M m x p

El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

Propiedades

  • Asociativa:
    A · (B · C) = (A · B) · C
  • Elemento neutro:
    A · I = A
  • No es Conmutativa:
    A · B ≠ B · A
  • Distributiva del producto respecto de la suma:
    A · (B + C) = A · B + A · C

Matriz inversa

A · A−1  = A−1 · A = I

Propiedades

(A · B)−1  = B−1 · A−1

(A−1 ) −1  = A

(k · A)−1  = k−1 · A−1

(A t) −1  = (A −1) t

Cálculo por el método de Gauss

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A−1, seguiremos los siguientes pasos:

Construir una matriz del tipo M = (A | I) esto es, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.

Utilizando el método Gauss se transforma la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A−1

Rango de una matriz

Rango de una matriz: es el número de líneas de esa matriz (filas o columnas) que son linealmente independientes.

Una línea es linealmente dependiente de otra u otras cuando se puede establecer una combinación lineal entre ellas.

Una línea es linealmente independiente de otra u otras cuando no se puede establecer una combinación lineal entre ellas.

El rango de una matriz A se simboliza: rang(A) o r(A).

Cálculo por el método de Gauss

Podemos descartar una línea si:

  • Todos los coeficientes son ceros.
  • Hay dos líneas iguales.
  • Una línea es proporcional a otra.
  • Una línea es combinación lineal de otras.

¿Te ha gustado el artículo?

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) (1 votes, average: 5,00 out of 5)
Cargando…

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

¿Te ha gustado
este material?

¡Bravo!

¡Descárgatelo en formato PDF poniendo tu correo electrónico!

{{ downloadEmailSaved }}

Tu correo electrónico no es válido