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Concepto de matriz
Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Este sería un ejemplo de una matriz "
"
Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Así, los elementos de nuestra matriz del ejemplo anterior serían lo números que contiene 
.
El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz.
Una matriz de 
filas y 
columnas podemos denotarla como 
(siempre el número de la izquierda en el subíndice indica las filas, mientras que el de la derecha las columnas) o 
(está entre paréntesis), y un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila 
y en la columna 
, por 
(no lleva paréntesis). Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.
Ejemplo:
Del ejemplo anterior, para nuestra matriz
tendríamos que sus elementos, al distinguirlos por posición, serían 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
y 
. Además, su dimensión es de 
filas y 
columnas, por lo tanto podemos denotar a como 
o 
.
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales. En forma matemática, si tenemos las matrices 
y 
Entonces y son iguales si 
, 
y 
para cualquier 
y 
.
Ejemplo:
Dadas las matrices
Tenemos que y son iguales ya que tienen la misma dimensión y los elementos de las mismas posiciones también son iguales. Sin embargo, y 
no son iguales ya que 
, pero 
, por lo tanto 
.
Operaciones de matrices
Suma de matrices
Dadas dos matrices de la misma dimensión, 
y 
, se define la matriz suma como: 
. Es decir, aquella matriz cuyos elementos se obtienen sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posición (suma elemento a elemento).
Ejemplo:
Dadas las matrices
su suma estaría dada por
Propiedades
-
- Asociativa: Dadas las matrices
, 
y se cumple que 
.
- Asociativa: Dadas las matrices
-
- Elemento neutro: Existe una matriz, denotada por
, tal que, para toda matriz , si hacemos su suma obtenemos 
.Los elementos de la matriz
son puros ceros.
- Elemento neutro: Existe una matriz, denotada por
-
- Inverso aditivo: Para toda matriz , existe una matriz
, llamada inverso aditivo de , la cual cumple que 
.Los elementos de la matriz
son los elementos de A multiplicados por 
.
- Inverso aditivo: Para toda matriz
- Conmutativa: Dadas las matrices
y se cumple que 
.
Producto de un número real por una matriz
Dada una matriz y un número real 
, se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que , en la que cada elemento está multiplicado por 
, en otras palabras 
.
Ejemplo:
Dada la matriz
y el escalar real 
, la multiplicación estaría dada por
Propiedades
-
- Asociativa escalar: Dada la matriz y los escalares
y 
, se cumple que 
.
- Asociativa escalar: Dada la matriz
-
- Distributividad en los escalares: Dada la matriz y los escalares y , se cumple que
.
- Distributividad en los escalares: Dada la matriz
-
- Distributividad en las matrices: Dadas las matrices y y el escalar
, se cumple que
.
- Distributividad en las matrices: Dadas las matrices
- Escalar neutro: Dada la matriz y el escalar
, se cumple que 
.
Producto de matrices
Dos matrices y se dicen multiplicables si el número de columnas de coincide con el número de filas de .
La multiplicación de dos matrices multiplicables 
y 
es una nueva matriz, 
que tiene la misma cantidad de filas que y la misma cantidad de columnas que .
El elemento 
de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila 
de la matriz 
por cada elemento de la columna 
de la matriz y sumándolos 
.
Ejemplo:
Dadas las matrices
su multiplicación estaría dada por
Propiedades
-
- Asociativa: Dadas las matrices ,
y , se cumple que 
.
- Asociativa: Dadas las matrices
-
- Elemento netro: Dada la matriz
existe una matriz 
tal que se cumple que
.En donde la matriz
tiene puros 
en la diagonal y en cualquier otra posición
- Elemento netro: Dada la matriz
-
- No es conmutativa: Dadas las matrices y , para la mayoría de los casos se cumple que
.
- No es conmutativa: Dadas las matrices
- Distributividad del producto respecto a la suma: Dadas las matrices , y se cumple que
.
.
Matriz inversa
Sea 
una matriz con la misma cantidad de filas que de columnas. Si existe una matriz, denotada por 
, que cumple que
,
en donde 
es el neutro multiplicativo, decimos que es invertible o regular. Además, a 
la llamamos matriz inversa de 
.
Ejemplo:
Dada la matriz
.
Su matriz inversa está dada por
Para comprobarlo, veamos que
Propiedades
Tipos de matrices
1. Matriz fila
Es una matriz constituida por una sola fila.
Ejemplo:
2. Matriz columna
Ejemplo:
3. Matriz rectangular
Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión 
.
Ejemplo:
4. Matriz cuadrada
La que tiene el mismo número de filas que de columnas.
Los elementos de la forma 
constituyen la diagonal principal.
La diagonal secundaria la forman los elementos cuyos subíndices cumplen con 
.
Ejemplo:
5 Matriz nula
Todos los elementos son nulos (cero).
en donde 
para todo y 
.
Ejemplo:
6. Matriz triangular superior
Los elementos situados por debajo de la diagonal principal son 
.
Ejemplo:
Notemos que, como la definición depende de la diagonal principal, entonces la matriz debe de ser cuadrada.
7. Matriz triangular inferior
Los elementos situados por arriba de la diagonal principal son .
Ejemplo:
Notemos que, como la definición depende de la diagonal principal, entonces la matriz debe de ser cuadrada.
8. Matriz diagonal
Todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.
Ejemplo:
Al tratarse de matrices triangulares, son matrices cuadradas.
9. Matriz escalar
Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.
Ejemplo:
Al tratarse de una matriz diagonal, es una matriz cuadrada.
10. Matriz identidad o unidad
Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
Ejemplo:
Al tratarse de una matriz escalar, es una matriz cuadrada.
11. Matriz traspuesta
Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas (la primer fila se convertirá en la primer columna, la segunda fila en la segunda columna y así sucesivamente). Si tenemos la matriz 
su matriz transpuesta, denotada por 
, está dada por
Ejemplo:
Dada la matriz
su matriz traspuesta es
Propiedades:
12. Matriz regular
Es aquella matriz cuadrada que tiene inversa.
13. Matriz singular
Es aquella que no tiene matriz inversa. Por ejemplo, ninguna matriz rectangular (no cuadrada) tiene inversa (se necesita ser cuadrada para tener inversa).
14. Matriz idempotente
Una matriz idempotente es aquella que cumple que
Ejemplo:
Consideremos la matriz
,
Notemos que
15. Matriz involutiva
Una matriz involutiva es aquella que cumple que
Ejemplo:
Consideremos la matriz
,
Notemos que
16. Matriz simétrica
Una matriz simétrica es aquella que cumple que
Ejemplo:
Consideremos la matriz
,
Notemos que
.
17. Matriz antisimétrica o hemisimétrica
Una matriz antisimétrica es aquella que cumple que
Ejemplo:
Consideremos la matriz
,
Notemos que
.
18. Matriz ortogonal
Una matriz ortogonal es aquella que cumple que
Ejemplo:
Consideremos la matriz
,
Notemos que su traspuesta es
,
Multiplicando por su traspuesta 
obtenemos
.
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Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
Muchas gracias , me ayudan mucho con mi examen, solo tenia una duda, en el ejercicio 2 de Sistemas de ecuaciones con matrices, me sale que Y= 8/5, no se en que estoy fallando o creo que se confundieron de símbolo en el elemento de la fila 2 columna 1 de la matriz inversa , debería ser 2/5 y no -2/5.
Hola tienes toda la razón, una disculpa ya se corrigió el error.
Hola, gracias por esto, bien explicado. Por favor, me gustaría también ―pues vengo de las Humanidades― una historia de las matrices. Cómo se inventaron, por quién ; qué necesidad resolvían y no estaba bien cubierta antes. He leído que fueron importantes en aeronáutica. Enhorabuena. ¡Gracias!
Lo tendremos en consideración para nuestro blog 😊 Gracias por tu aporte. Un saludo.
Como resolver 1/2 AB EN MATRICES
2/8x-5y-8z=-10
5/7x-8y+10z=3/9
8x-3y+20z=11
Sean las matrices: M = [[3, – 5, – 2], [5, 2, – 3], [2, 0, 0]] ,N=[n 0 ] 1*2 ^ i cos n ij =[ matrix 2j-3;i= j matrix yR = [[5, 2, 3], [2, – 4, 4], [7, – 7, 3]] .
a) Determina por extensión la matriz N.
b) Calcule N ^ T – 2M*Y_2 – 4R si existe, donde es una matriz identidad de orden 3 * 3 , Calcule MN si existe