Fórmulas de matrices

Temas

Matriz inversa
Rango de una matriz

Suma de matrices

Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(a_ij) y B=(b_ij), se define la matriz suma como: A+B=(a_ij+b_ij). Es decir, aquella matriz cuyos elementos se obtienen: sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posición.

Producto de un número real por una matriz

Dada una matriz A=(a_ij) y un número real λ, se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por λ.

Producto de matrices

Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.

M_{m x n} x M_{n x p} = M _{m x p}

El elemento c_ij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

Matriz inversa

A · A⁻¹ = A⁻¹ · A = I

(A · B)⁻¹ = B⁻¹ · A⁻¹

(A⁻¹)⁻¹ = A

(k · A)⁻¹ = k⁻¹ · A⁻¹

(A ^t)⁻¹ = (A ⁻¹)^t

Cálculo por el método de Gauss

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A⁻¹, seguiremos los siguientes pasos:

1º Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.

2º Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A⁻¹.