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Operaciones básicas con matrices
Propiedades de la matriz inversa
Rango de una matriz

Operaciones básicas con matrices

Suma de matrices

Dadas dos matrices de la misma dimensión, ${A=(a_{ij})}$ y ${B=(b_{ij})}$ , se define la matriz suma como: ${A+B=(a_{ij} + b_{ij})}$ . Es decir, aquella matriz cuyos elementos se obtienen sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posición, es decir,

${\left(\begin{matrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{matrix}\right) + \left(\begin{matrix} b_1 & b_2 \\ b_3 & b_4 \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} a_1 + b_1 & a_2 + b_2\\ a_3 + b_3 & a_4 + b_4 \end{matrix}\right)}$

Lo mismo sucedería para la resta de matrices,

${\left(\begin{matrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{matrix}\right) - \left(\begin{matrix} b_1 & b_2 \\ b_3 & b_4 \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} a_1 - b_1 & a_2 - b_2\\ a_3 - b_3 & a_4 - b_4 \end{matrix}\right)}$

Ejemplo:

${\left(\begin{matrix} 5 & 3 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right) + \left(\begin{matrix} 2 & 1 \\ 2 & 4 \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 5 + 2 & 3 + 1\\ 1 + 2 & 0 + 4 \end{matrix}\right)} = \left(\begin{matrix} 7 & 4\\ 3 & 4 \end{matrix}\right)}$

Producto de un número real por una matriz

Dada una matriz ${A=(a_{ij})}$ y un número real ${\lambda}$ , se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que ${A}$ , en la que cada elemento está multiplicado por ${\lambda}$ .

${\lambda \cdot \left(\begin{matrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} \lambda \cdot a_1 & \lambda \cdot a_2\\ \lambda \cdot a_3 & \lambda \cdot a_4 \end{matrix}\right)}$

Ejemplo:

${4 \cdot \left(\begin{matrix} 5 & 4 \\ -1 & 10 \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 4 \cdot 5 & 4 \cdot 4\\ 4 \cdot (-1)& 4 \cdot 10 \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 20 & 16\\ -4 & 40 \end{matrix}\right)}$

Producto de matrices

Dos matrices ${A}$ y ${B}$ se dicen multiplicables si el número de columnas de ${A}$ coincide con el número de filas de ${B}$ .

${A_{m\times n} \times B_{n\times p} = M_{m\times p}}$

El elemento ${c_{ij}}$ de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila ${i}$ de la matriz ${A}$ por cada elemento de la columna ${j}$ de la matriz ${B}$ y sumándolos.

${\left(\begin{matrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix} b_1 & b_2 & b_3\\ b_4 & b_5 & b_6 \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix} a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_4 & a_1 \cdot b_2 + a_2 \cdot b_5 & a_1 \cdot b_3 + a_2 \cdot b_6\\ a_2 \cdot b_1 + a_4 \cdot b_4 & a_2 \cdot b_2 + a_4 \cdot b_5 & a_2 \cdot b_3 + a_4 \cdot b_6 \end{matrix}\right)}$

Ejemplo:

${\left(\begin{matrix} 2 & 4 \\ -1 & 5 \end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix} 3 & 2 \\ 4 & 0 \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 2(3) + 4(4) & 2(2) + 4(0)\\ -1(3) + 5(4) & -1(2) + 5(0) \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 22 & 4\\ 17 & -2 \end{matrix}\right)}$

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