Operaciones básicas con matrices

Suma de matrices

Dadas dos matrices de la misma dimensión, {A=(a_{ij})} y {B=(b_{ij})}, se define la matriz suma como: {A+B=(a_{ij} + b_{ij})}. Es decir, aquella matriz cuyos elementos se obtienen sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posición, es decir,

{\left(\begin{matrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{matrix}\right) + \left(\begin{matrix} b_1 & b_2 \\ b_3 & b_4 \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} a_1 + b_1 & a_2 + b_2\\ a_3 + b_3 & a_4 + b_4 \end{matrix}\right)}

Lo mismo sucedería para la resta de matrices,

{\left(\begin{matrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{matrix}\right) - \left(\begin{matrix} b_1 & b_2 \\ b_3 & b_4 \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} a_1 - b_1 & a_2 - b_2\\ a_3 - b_3 & a_4 - b_4 \end{matrix}\right)}

Ejemplo:

{\left(\begin{matrix} 5 & 3 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right) + \left(\begin{matrix} 2 & 1 \\ 2 & 4 \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 5 + 2 & 3 + 1\\ 1 + 2 & 0 + 4 \end{matrix}\right)} = \left(\begin{matrix} 7 & 4\\ 3 & 4 \end{matrix}\right)}

Producto de un número real por una matriz

Dada una matriz {A=(a_{ij})} y un número real {\lambda}, se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que {A}, en la que cada elemento está multiplicado por {\lambda}.

{\lambda \cdot \left(\begin{matrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} \lambda \cdot a_1 & \lambda \cdot a_2\\ \lambda \cdot a_3 & \lambda \cdot a_4 \end{matrix}\right)}

Ejemplo:

{4 \cdot \left(\begin{matrix} 5 & 4 \\ -1 & 10 \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 4 \cdot 5 & 4 \cdot 4\\ 4 \cdot (-1)& 4 \cdot 10 \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 20 & 16\\ -4 & 40 \end{matrix}\right)}

Producto de matrices

Dos matrices {A} y {B} se dicen multiplicables si el número de columnas de {A} coincide con el número de filas de {B}.

{A_{m\times n} \times B_{n\times p} = M_{m\times p}}

El elemento {c_{ij}} de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila {i} de la matriz {A} por cada elemento de la columna {j} de la matriz {B} y sumándolos.

{\left(\begin{matrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix} b_1 & b_2 & b_3\\ b_4 & b_5 & b_6 \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix} a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_4 & a_1 \cdot b_2 + a_2 \cdot b_5 & a_1 \cdot b_3 + a_2 \cdot b_6\\ a_2 \cdot b_1 + a_4 \cdot b_4 & a_2 \cdot b_2 + a_4 \cdot b_5 & a_2 \cdot b_3 + a_4 \cdot b_6 \end{matrix}\right)}

Ejemplo:

{\left(\begin{matrix} 2 & 4 \\ -1 & 5 \end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix} 3 & 2 \\ 4 & 0 \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 2(3) + 4(4) & 2(2) + 4(0)\\ -1(3) + 5(4) & -1(2) + 5(0) \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 22 & 4\\ 17 & -2 \end{matrix}\right)}

Los/las mejores profesores/as de Matemáticas que están disponibles
José arturo
4,9
4,9 (44 opiniones)
José arturo
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Francisco javier
5
5 (28 opiniones)
Francisco javier
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Alex
4,9
4,9 (68 opiniones)
Alex
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
José angel
4,9
4,9 (79 opiniones)
José angel
5€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Fátima
5
5 (11 opiniones)
Fátima
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Santiago
5
5 (25 opiniones)
Santiago
9€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Julio
5
5 (102 opiniones)
Julio
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Amin
5
5 (53 opiniones)
Amin
10€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
José arturo
4,9
4,9 (44 opiniones)
José arturo
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Francisco javier
5
5 (28 opiniones)
Francisco javier
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Alex
4,9
4,9 (68 opiniones)
Alex
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
José angel
4,9
4,9 (79 opiniones)
José angel
5€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Fátima
5
5 (11 opiniones)
Fátima
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Santiago
5
5 (25 opiniones)
Santiago
9€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Julio
5
5 (102 opiniones)
Julio
12€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Amin
5
5 (53 opiniones)
Amin
10€
/h
Gift icon
¡1a clase gratis!
Vamos

Propiedades de la matriz inversa

Definimos a la matriz inversa, {A^{-1}}, como el producto por la matriz original y es igual a la matriz identidad, es decir,

{A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I.}

Además se cumplen las siguientes propiedades:

{(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}}

{(A^{-1})^{-1} = A}

{(k \cdot A)^{-1} = k^{-1} \cdot A^{-1}}

{(A^{t})^{-1} = (A^{-1})^{t}}

Cálculo por el método de Gauss

 

Sea {A} una matriz cuadrada de orden {n}. Para calcular la matriz inversa de {A}, que denotaremos como {A^{-1}}, seguiremos los siguientes pasos:

1 Construir una matriz del tipo {M = (A | I)}, es decir, {A} está en la mitad izquierda de {M} y la matriz identidad {I} en la derecha.

2 Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, {A}, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: {A^{-1}.

Cálculo por determinantes

{A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot (A^*)^t}
Donde,
{A^{-1}}, es la matriz inversa
{|A|}, es el determinante de la matriz
{A^*}, es la matriz adjunta
{(A^*)^t}, es la matriz transpuesta de la adjunta.

Rango de una matriz

Rango de una matriz: es el número de líneas de esa matriz (filas o columnas) que son linealmente independientes.

Podemos descartar una línea si:

Todos sus coeficientes son ceros.

Hay dos líneas iguales.

Una línea es proporcional a otra.

Una línea es combinación lineal de otras.

Cálculo por el método de Gauss

En general consiste en hacer nulas el máximo número de líneas posible, y el rango será el número de filas no nulas.

>

La plataforma que conecta profes particulares y estudiantes

¿Te ha gustado este artículo? ¡Califícalo!

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) 4,13 (8 nota(s))
Cargando...

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗