¿Que es el algoritmo de Euclides?

 

El algoritmo de Euclides es un procedimiento para calcular el máximo común divisor (m.c.d.) de dos números. 

 

Euclides fue un matemático griego que recopiló varios datos en una obra llamada Elementos. Esta obra es considerada como uno de los pillares de las matemáticas, y Euclides el "padre de la geometría". 

 

En Elementos, Euclides explica que el máximo común divisor de dos números se puede encontrar dividiendo el número mayor por el número menor. Si la división es exacta, el m.c.d. es el número menor. Si la división no es exacta, entonces se toma el residuo, y se divide tantas veces como haga falta para llegar a una división sin residuo. El m.c.d. es el último número por cuál se puede dividir. 

 

Aunque la palabra algoritmo nos hace pensar en cálculos complejos resueltos por ordenadores, en nuestro caso el cálculo es mucho más sencillo. Solo hace falta seguir los siguientes pasos.

 

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Pasos del algoritmo de Euclides

 

1 Se divide el número mayor entre el menor.

 

2 Si la división es exacta, el divisor es el m.c.d.
 

3Si la división no es exacta, dividimos el divisor entre el resto obtenido y continuamos de esta forma hasta obtener una división exacta. El m.c.d. es el último divisor.
 

Ejemplos de aplicación del algoritmo de Euclides

 

1Encontrar el m.c.d de 72 y 16

Encontrar el m.c.d de 72 y 16

 

El primer paso es dividir 72 por 16:

72 \div 16 = 4.5

 

Multiplicamos el número 16 por la parte entera del resultado 4.5, es decir por 4:

 16 \cdot 4 = 64
 

Sustrayemos el número  64 del  72 y obtenemos:

 72 - 64 = 8
 

Repetimos los pasos, tomando el divisor, el número  16 y dividiéndolo por el resto obtenido  8 :

 16 \div 8 = 2
 

El m.c.d. de  72 y  16 es el último divisor cual nos da un resultado exacto, el  8.
 


 

2Encontrar el m.c.d de 656 y 848

Encontrar el m.c.d de 656 y 848
 

Aplicamos los mismos pasos que en el ejemplo anterior.
 

848 \div 656 = 1.2926...

 
 656 \cdot 1 = 656
 

 848 - 656 = 192
 

656 \div 192 = 3.516....
 

192 \cdot 3 = 576
 

656 - 576 = 80
 

192 \div 80 = 2.4
 

80 \cdot  2 = 160
 

192 - 160 = 32
 

80 \div 32 = 2.5
 

32 \cdot 2 = 64
 

80 - 64 = 16
 

32 \div 16 = 2
 

El m.c.d. siendo el último divisor, este es 16

 


 

3Encontrar el m.c.d. de 1728 y 842

Encontrar el m.c.d. de 1728 y 842

 

Siguiendo los mismos pasos empezamos los cálculos:
 

1728 \div 842 = 2.0522...
 

842 \cdot 2 = 1648
 

1728 - 1648 = 44
 

842 \div 44 = 19.136..
 

44 \cdot 19 = 836
 

842 - 836 = 6
 

44 \div 6 = 7.33333
 

6 \cdot 7 = 42
 

44 - 42 = 2
 

6 \div 2 = 3
 

El m.c.d. de 1728 y 842 es 2

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗