1 Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada minuto. A las 6:30 de la tarde los tres coinciden. Averigua las veces que volverán a coincidir en los cinco minutos siguientes.

 

Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada minuto. A las 6:30 de la tarde los tres coinciden. Averigua las veces que volverán a coincidir en los cinco minutos siguientes.

Debemos tener todos los tiempos en la misma unidad, por ejemplo en segundos.

 

El primer faro se enciende en el segundo 12, en el 24, en el 36, en el 48, en el 60... Son los múltiplos de 12

El segundo faro se enciende en el segundo 18, en el 36, en el 54, en el 72, en el 90... Son los múltiplos de 18

El tercer faro se enciende en el segundo 60, en el 120, en el 180, en el 240, en el 300... Son los múltiplos de 60

 

El segundo en el que los tres faros se encienden es el menor número que puede ser dividido por 12,18 y 60.

Por tanto tenemos que calcular el \textup{mcm}(12,18,60)

 

En primer lugar descomponemos los números en factores primos

 

\left.\begin{matrix} 12\\ 6\\ 3\\ 1 \end{matrix}\right|\begin{matrix} 2\\ 2\\ 3\\ \: \end{matrix}                         \left.\begin{matrix} 18\\ 9\\ 3\\ 1 \end{matrix}\right|\begin{matrix} 2\\ 3\\ 3\\ \: \end{matrix}                         \left.\begin{matrix} 60\\ 30\\ 15\\ 5\\ 1 \end{matrix}\right|\begin{matrix} 2\\ 2\\ 3\\ 5\\ \: \end{matrix}

 

12=2^{2}\cdot 3

18=2\cdot 3^{2}

60=2^{2}\cdot 3\cdot 5

 

Tomamos los comunes y no comunes de mayor exponente

 

\textup{mcm}(12,18,60)=2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5=180

Coinciden por primera vez a los 180 segundos

180\div 60=3, coinciden cada 3 minutos, por tanto en los 5 minutos siguientes sólo coinciden una vez.

 

Solo coinciden a las 6:33 hrs

2 Un viajero va a Barcelona cada 18 días y otro cada 24 días. Hoy han estado los dos en Barcelona. ¿Dentro de cuantos días volverán a estar los dos a la vez en Barcelona?

 

Un viajero va a Barcelona cada 18 días y otro cada 24 días. Hoy han estado los dos en Barcelona. ¿Dentro de cuantos días volverán a estar los dos a la vez en Barcelona?

El primer viajero viaja el día 18, el día 36, el día 54, el día 48, el día 90... Son los múltiplos de 18

El segundor viajero viaja el día 24, el día 48, el día 72, el día 96, el día 120... Son los múltiplos de 24

Los dos coinciden cuando viajan el mismo día, es decir, cuando viajan un día que es múltiplo de 18 y de 24. El primer día que coinciden es el menor número que puede ser dividido por 12 y 24

Por tanto tenemos que calcular el \textup{mcm}(18,24)

En primer lugar descomponemos los números en factores primos

 

\left.\begin{matrix} 18\\ 9\\ 3\\ 1 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 2\\ 3\\ 3\\ \, \end{matrix}                        \left.\begin{matrix} 24\\ 12\\ 6\\ 3\\ 1 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 2\\ 2\\ 2\\ 3\\ \, \end{matrix}

 

18=2\cdot 3^{2}

24=2^{3}\cdot 3

 

Tomamos los comunes y no comunes de mayor exponente

\textup{mcm}(18,24)=2^{3}\cdot 3^{2}=72

 

Dentro de 72 días

3 ¿Cuál es el menor número que al dividirlo separadamente por 15, 20, 36 y 48, en cada caso, da de resto 9?

 

¿Cuál es el menor número que al dividirlo separadamente por 15, 20, 36 y 48, en cada caso, da resto 9?

El menor numero que divide a 15, 20, 36 y 48 es su m.c.m al que sumaremos 9 para que al dividir el m.c.m. por cualquiera de los cuatro números dé de resto 9

 

En primer lugar descomponemos los números en factores primos

 

\left.\begin{matrix} 15\\ 5\\ 1 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 3\\ 5\\ \, \end{matrix}                    \left.\begin{matrix} 20\\ 10\\ 5\\ 1 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 2\\ 2\\ 5\\ \, \end{matrix}                    \left.\begin{matrix} 36\\ 18\\ 9\\ 3\\ 1 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 2\\ 2\\ 3\\ 3\\ \, \end{matrix}                    \left.\begin{matrix} 48\\ 24\\ 12\\ 6\\ 3\\ 1 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 3\\ \, \end{matrix}

 

15=3\cdot 5

20=2^{2}\cdot 5

36=2^{2}\cdot 3^{2}

48=2^{4}\cdot 3

 

Tomamos los comunes y no comunes de mayor exponente

 

\textup{mcm} (15,20,36,48)=2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5=720

 

720+9= 729

4 En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 250 L, 360 L, y 540 L. Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales. Calcular las capacidades máximas de estas garrafas para que en ellas se pueden envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el número de garrafas que se necesitan.

 

En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 250 L, 360 L, y 540 L. Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales. Calcular las capacidades máximas de estas garrafas para que en ellas se pueda envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el número de garrafas que se necesitan.

Para poder envasar los 250 L en garrafas más pequeñas tenemos que elegir un número que sea divisor de 250

Para poder envasar los 360 L en garrafas más pequeñas tenemos que elegir un número que sea divisor de 360

Para poder envasar los 540 L en garrafas más pequeñas tenemos que elegir un número que sea divisor de 540

Como el contenido de las garrafas ha de ser el máximo posible, debemos hallar el \textup{mcd}(250,360,540)

 

En primer lugar descomponemos los números en factores primos

 

\left.\begin{matrix} 250\\ 125\\ 25\\ 5\\ 1 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 2\\ 5\\ 5\\ 5\\ \, \end{matrix}                        \left.\begin{matrix} 360\\ 180\\ 90\\ 45\\ 15\\ 5\\ 1 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 2\\ 2\\ 2\\ 3\\ 3\\ 5\\ \, \end{matrix}                        \left.\begin{matrix} 540\\ 270\\ 135\\ 45\\ 15\\ 5\\ 1 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 2\\ 2\\ 3\\ 3\\ 3\\ 5\\ \, \end{matrix}

 

250=2\cdot 5^{3}

360=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5

540=2^{2}\cdot 3^{3}\cdot 5^{2}

 

Tomamos los comunes de menor exponente

 

\textup{mcd}(250,360,540)=2\cdot 5=10

 

Capacidad de las garrafas =10 L

Número de garrafas de T_{1}=\frac{250}{10}=25

Número de garrafas de T_{2}=\frac{360}{10}=36

Número de garrafas de T_{3}=\frac{540}{10}=54

 

Número de garrafas =25+36+54= 115 garrafas.

5 El suelo de una habitación, que se quiere embaldosar, tiene 5 m de largo y 3 m de ancho.

Calcula el lado de la baldosa y el número de las baldosas, tal que el número de baldosas que se coloque sea mínimo y que no sea necesario cortar ninguna de ellas.

 

El suelo de una habitación, que se quiere embaldosar, tiene 5 m de largo y 3 m de ancho. Calcula el lado de la baldosa y el número de la baldosas, tal que el número de baldosas que se coloque sea mínimo y que no sea necesario cortar ninguna de ellas.

Para que el número de baldosas sea mínimo, las baldosas tiene que tener la máxima superficie

Por tanto tenemos que hallar el máximo común divisor

Como las baldosas se suelen medir en centímetros, pasamos todo a centímetros.

 

3\, \textup{m}= 300\, \textup{cm}

5\, \textup{m}= 500\, \textup{cm}

=300\cdot 500=150.000\, \textup{cm}^{2}

 

Descomponemos los números en factores primos

 

\left.\begin{matrix} 300\\ 150\\ 75\\ 25\\ 5\\ 1 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 2\\ 2\\ 3\\ 5\\ 5\\ \, \end{matrix}                        \left.\begin{matrix} 500\\ 250\\ 125\\ 25\\ 5\\ 1 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 2\\ 2\\ 5\\ 5\\ 5\\ \, \end{matrix}

 

300=2^{2}\cdot 3\cdot 5^{2}

500=2^{2}\cdot 5^{3}

 

Tomamos los comunes de menor exponente

\textup{mcd}(300,500)=2^{2}\cdot 5^{2}=100\, \textup{cm} de lado

 

Calculamos el área de una baldosa

A_{b}=100^{2}=10.000\, \textup{cm}^{2}

 

Calculamos el número de baldosas, dividiendo el área total entre el área de una baldosa

150.000\div 10.000= 15 baldosas

6 Un comerciante desea poner en cajas 12.028 manzanas y 12.772 naranjas, de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas o de naranjas y, además, el mayor número posible. Hallar el número de naranjas de cada caja y el número de cajas necesarias.

 

Un comerciante desea poner en cajas 12.028 manzanas y 12.772 naranjas, de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas o de naranjas y, además, el mayor número posible. Hallar el número de naranjas de cada caja y el número de cajas necesarias.

Para poner 12.028 manzanas en en cajas más pequeñas con el mismo número de manzanas, tenemos que elegir un número que sea divisor de 12.028.

Igualmente debemos tener un divisor de 12.772 para las naranjas

Como cada caja debe contener el mayor número de piezas tenemos que hallar el \textup{mcd}(12.028,12.772)

Descomponemos los números en factores primos

 

\left.\begin{matrix} 12.028\\ \: 6.014\\ \: 3.007\\ \; \; \; \; \; 97\\ \; \; \; \; \; \; \; 1 \end{matrix}\right|\begin{matrix} 2\\ 2\\ 31\\ 97\\ \, \end{matrix}                        \left.\begin{matrix} 12.772\\ \: 6.386\\ \: 3.193\\ \; \; \; \; 103\\ \; \; \; \; \; \; \; 1 \end{matrix}\right|\begin{matrix} 2\\ 2\\ 31\\ 103\\ \, \end{matrix}

 

12.028=2^{2}\cdot 31\cdot 97

12.772=2^{2}\cdot 31\cdot 103

 

Tomamos los comunes de menor exponente

\textup{mcd}(12.028,12.772)=124

124 piezas en cada caja.

 

Cajas de naranjas =12.772\div 124=103

Cajas de manzanas =12.028\div 124=97

Cajas necesarias =103+97= 200

7 ¿Cuánto mide la mayor baldosa cuadrada que cabe en un número exacto de veces en una sala de 8 m de longitud y 6,4 m de anchura? ¿Y cuántas baldosas se necesitan?

 

¿Cuánto mide la mayor baldosa cuadrada que cabe en un número exacto de veces en una sala de 8 m de longitud y 6,4 m m de anchura? ¿Y cuántas baldosas se necesitan?

Para que el número de baldosas sea mínimo, las baldosas tiene que tener la máxima superficie

Por tanto tenemos que hallar el máximo común divisor

Como las baldosas se suelen medir en centímetros, pasamos todo a centímetros.

 

8\, \textup{m}=800\, \textup{cm}

6,4\, \textup{m}=640\, \textup{cm}

Área =800\cdot 640=512.000\, \textup{cm}^{2}

 

Descomponemos los números en factores primos

 

\left.\begin{matrix} 800\\ 400\\ 200\\ 100\\ \; 50\\ \: 25\\ \: \: \: 5\\ \; \; \; 1 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 5\\ 5\\ \, \end{matrix}                        \left.\begin{matrix} 640\\ 320\\ 160\\ \; \; 80\\ \; \; 40\\ \; \; 20\\ \; \; 10\\ \; \; \; \; 5\\ \; \; \; \; 1 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ 2\\ \, \end{matrix}

 

800=2^{5}\cdot 5^{2}

640=2^{7}\cdot 5

\textup{mcd}(800,640)=2^{5}\cdot 5=160\, \textup{cm} de lado

 

Calculamos el área de una baldosa

A_{b}=160^{2}=15.600\, \textup{cm}^{2}

 

Calculamos el número de baldosas, dividiendo el área total entre el área de una baldosa

512.000\div 25.600= 20 baldosas

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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