Máximo común divisor
El máximo común divisor, 
. de dos o más números es el mayor número que divide a todos de manera exacta.
Cálculo del máximo común divisor
1Se descomponen todos los números en factores primos.
2Se toman los factores comunes con menor exponente.
3Se multiplican los factores comunes con menor exponente.
Ejemplo: Hallar el 
de: 
y 
.
1Descomponemos los números en factores primos
Así, los números se escriben de la forma
2Los factores comunes con menor exponente son 
3Para calcular el 
multiplicamos los factores comunes con menor exponente
Hay que notar que si un número es divisor de otro, entonces éste es el de ambos
Ejemplo: El número 
es divisor de 
, por lo que 
Mínimo común múltiplo
El mínimo común múltiplo 
es el menor de todos múltiplos comunes a varios números, excluido el cero.
Cálculo del mínimo común múltiplo
1Se descomponen los números en factores primos.
2Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente.
3Se multiplican los factores comunes y no comunes con mayor exponente.
Ejemplo: Hallar el 
de: y .
1Descomponemos los números en factores primos
Así, los números se escriben de la forma
2Los factores comunes y no comunes con mayor exponente son 
3Para calcular el multiplicamos los factores comunes y no comunes con mayor exponente
Así, 
es el menor número que puede ser dividido por y .
Hay que notar que si un número es múltiplo de otro, entonces éste es el de ambos
Ejemplo: El número es múltplo de , por lo que 
Relación entre el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo
Dado que el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo están formados por el producto de los factores comunes con menor exponente y el producto de los factores comunes y no comunes con mayor exponente, respectivamente, entonces
Ejercicios propuestos
Calcular el y de 
y 
1Descomponemos los números en factores primos
Así, los números se escriben de la forma
2Los factores comunes con menor exponente son 
3Para calcular el multiplicamos los factores comunes con menor exponente
4Los factores comunes y no comunes con mayor exponente son 
5Para calcular el multiplicamos los factores comunes y no comunes con mayor exponente
Calcular el y de 
y 
1Descomponemos los números en factores primos
Así, los números se escriben de la forma
2Los factores comunes con menor exponente son
3Para calcular el multiplicamos los factores comunes con menor exponente
4Los factores comunes y no comunes con mayor exponente son 
5Para calcular el multiplicamos los factores comunes y no comunes con mayor exponente
Calcular el y de 
y 
1Descomponemos los números en factores primos
Así, los números se escriben de la forma
2Los factores comunes con menor exponente son 
3Para calcular el multiplicamos los factores comunes con menor exponente
4Los factores comunes y no comunes con mayor exponente son 
5Para calcular el multiplicamos los factores comunes y no comunes con mayor exponente
Calcular el y de 
y 
1Descomponemos los números en factores primos
Así, los números se escriben de la forma
2Los factores comunes con menor exponente son 
3Para calcular el multiplicamos los factores comunes con menor exponente
4Los factores comunes y no comunes con mayor exponente son 
5Para calcular el multiplicamos los factores comunes y no comunes con mayor exponente
Calcular el y de 
y 
1Descomponemos los números en factores primos
Así, los números se escriben de la forma
2Los factores comunes con menor exponente son 
3Para calcular el multiplicamos los factores comunes con menor exponente
4Los factores comunes y no comunes con mayor exponente son 
5Para calcular el multiplicamos los factores comunes y no comunes con mayor exponente
Un faro se enciende cada segundos, otro cada 
segundos y un tercero cada minuto. A las 
de la tarde los tres coinciden. ¿A qué hora volveran a coincidir nuevamente?
1Descomponemos los números en factores primos
2Calculamos el de los tres números
3Los faron coinciden cada 
segundos que es lo mismo que 
minutos; por lo tanto vuelven a coincidir a las 
de la tarde
Un viajero va a Barcelona cada días y otro cada 
días. Hoy han estado los dos en Barcelona. ¿Dentro de cuantos días volverán a estar los dos a la vez en Barcelona?
1Descomponemos los números en factores primos
2Calculamos el de los dos números
3Los dos viajeros volverán a coincidir dentro de 
días.
¿Cuál es el menor número que al dividirlo separadamente por 
y 
en cada caso da de resto 
?
1Descomponemos los números en factores primos
2Calculamos el de los cuatro números
3
es el menor número que divisible por los cuatro números, así que si deseamos que al dividir por los cuatro números se tenga resto , entonces el número debe ser 
.
En una bodega hay toneles de vino, cuyas capacidades son 
litros respectivamente. Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales. Calcular las capacidades máximas de estas garrafas para que en ellas se pueden envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el número de garrafas que se necesitan.
1Descomponemos los números en factores primos
2Calculamos el de los tres números
3La capacidad de cada garrafa es de 
litros y el número de garrafas es de 
.
El suelo de una habitación, que se quiere embaldosar, tiene 
de largo y 
de ancho. Calcula el lado en decímetros y el número de baldosas, tal que el número de baldosas que se coloque sea mínimo y que no sea necesario cortar ninguna de ellas.
1El suelo de la habitación a embaldosar tiene medidas 
de largo y 
de ancho
2Calculamos el de los dos números
3El lado de cada baldosa es de 
y se requieren 
baldosas de largo y de ancho, por lo que en total se requieren 
baldosas.
Un comerciante desea poner en cajas 
manzanas y 
naranjas, de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas o de naranjas y, además, el mayor número posible. Hallar el número de naranjas de cada caja y el número de cajas necesarias.
1Calculamos el
2Calculamos el número de cajas requeridas
Así, el número de cajas requeridas es 
¿Cuánto mide la mayor baldosa cuadrada que cabe en un número exacto de veces en una sala de 
de longitud y 
de anchura? ¿Y cuántas baldosas se necesitan?
1El suelo de la habitación a embaldosar tiene medidas 
de longitud y 
de ancho
2Calculamos el de los dos números
3El lado de cada baldosa es de 
y se requieren 
baldosas de largo y 
de ancho, por lo que en total se requieren 
baldosas.
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Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
buen dia, creo la respuesta del ejercicio 3 esta mal planteada: María no tiene 18 alumnos, 18 es la cantidad máxima de dulces repartidos a cada uno, en si, ella tiene solo 5 alumnos (5*18=90dulces en total)
Hola tu razonamiento es bueno, pero si pueden ser 18 alumnos, pues se pueden repartir de 2 paletas (2*18=36) y 3 caramelos (3*18=54).
EJERCICIOS INTERACTIVOS DE MULTIPLOS
Hola podrías hacernos el favor de mencionarnos en que ejercicio esta el error para poder corregirlo.
cual es 15 -18
Hola el ejercicio que aparece es el de encontrar el MCD y MCM de 72, 108 y 72, también con los números 1048, 786 y 3930, lo revise y no encontré el error, si me equivoco de artículo menciónalo por favor.
A mi también el de la cantidad de divisor es de un número(en el ejercicio 8)