Máximo común divisor

 

El máximo común divisor, {m.c.d}. de dos o más números es el mayor número que divide a todos de manera exacta.

 

Cálculo del máximo común divisor

 

1Se descomponen todos los números en factores primos.

 

2Se toman los factores comunes con menor exponente.

 

3Se multiplican los factores comunes con menor exponente.

 

Ejemplo: Hallar el {m. c. d.} de: {72, 108} y {60}.

 

1Descomponemos los números en factores primos

 

{\begin{array}{ccccccc}\begin{tabular}{c|c}  72 & 2 \\ 36 & 2 \\ 18 & 2 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 &  \end{tabular} & & &  \begin{tabular}{c|c}  108 & 2 \\ 54 & 2 \\ 27 & 3 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 &  \end{tabular} & & &  \begin{tabular}{c|c}  60 & 2 \\ 30 & 2 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \\ &  \end{tabular} \end{array}}

 

Así, los números se escriben de la forma

{\begin{array}{rcl} 72 & = & 2^3 \cdot 3^2 \\\\ 108 & = & 2^2 \cdot 3^3  \\\\  60 & = & 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \end{array}}

 

2Los factores comunes con menor exponente son {2^2, 3}

 

3Para calcular el  {m.c.d.} multiplicamos los factores comunes con menor exponente

 

{m.c.d.(72, 108, 60) = 2^2 \cdot 3 = 12}

 

Hay que notar que si un número es divisor de otro, entonces éste es el {m.c.d.} de ambos

 

Ejemplo: El número {12} es divisor de {36}, por lo que {m.c.d.(12, 36) = 12}

 

Mínimo común múltiplo

 

El mínimo común múltiplo {m.c.m.} es el menor de todos múltiplos comunes a varios números, excluido el cero.

 

Cálculo del mínimo común múltiplo

 

1Se descomponen los números en factores primos.

 

2Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente.

 

3Se multiplican los factores comunes y no comunes con mayor exponente.

 

Ejemplo: Hallar el {m. c. m.} de: {72, 108} y {60}.

 

1Descomponemos los números en factores primos

 

{\begin{array}{ccccccc}\begin{tabular}{c|c}  72 & 2 \\ 36 & 2 \\ 18 & 2 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 &  \end{tabular} & & &  \begin{tabular}{c|c}  108 & 2 \\ 54 & 2 \\ 27 & 3 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 &  \end{tabular} & & &  \begin{tabular}{c|c}  60 & 2 \\ 30 & 2 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \\ &  \end{tabular} \end{array}}

 

Así, los números se escriben de la forma

 

{\begin{array}{rcl} 72 & = & 2^3 \cdot 3^2 \\\\ 108 & = & 2^2 \cdot 3^3  \\\\  60 & = & 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \end{array}}

 

2Los factores comunes y no comunes con mayor exponente son {2^3, 3^3, 5}

 

3Para calcular el  {m.c.m.} multiplicamos los factores comunes y no comunes con mayor exponente

 

{m.c.m.(72, 108, 60) = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5 = 1 080}

 

Así, {1,080} es el menor número que puede ser dividido por {72, 108} y {60}.

 

Hay que notar que si un número es múltiplo de otro, entonces éste es el {m.c.m.} de ambos

 

Ejemplo: El número {36} es múltplo de {12}, por lo que {m.c.m.(12, 36) = 36}

 

Relación entre el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo

 

Dado que el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo están formados por el producto de los factores comunes con menor exponente y el producto de los factores comunes y no comunes con mayor exponente, respectivamente, entonces

 

{\left[ m.c.d.(a, b) \right] \cdot \left[ m.c.m.(a, b) \right] = a \cdot b}

 

Ejercicios propuestos

 

1Calcular el {m.c.d.} y {m.c.m.} de {428} y {376}

1Descomponemos los números en factores primos

 

{\begin{array}{cccc}\begin{tabular}{c|c} 428 & 2 \\ 214 & 2 \\ 107 & 107 \\ 1 &  \\ & \end{tabular} & & & \begin{tabular}{c|c} 376 & 2 \\ 188 & 2 \\ 94 & 2 \\ 47 & 47 \\  1 & \end{tabular} \end{array}}

 

Así, los números se escriben de la forma

 

{\begin{array}{rcl} 428 & = & 2^2 \cdot 107 \\\\ 376 & = & 2^3 \cdot 47 \end{array}}

 

2Los factores comunes con menor exponente son {2^2}

 

3Para calcular el {m.c.d.} multiplicamos los factores comunes con menor exponente

 

{m.c.d.(428, 376) = 2^2  = 4}

 

4Los factores comunes y no comunes con mayor exponente son {2^3, 107, 47}

 

5Para calcular el {m.c.m.} multiplicamos los factores comunes y no comunes con mayor exponente

 

{m.c.m.(428, 376) = 2^3 \cdot 107 \cdot 47 = 40 232}

2Calcular el {m.c.d.} y {m.c.m.} de {148} y {156}

1Descomponemos los números en factores primos

 

{\begin{array}{cccc}\begin{tabular}{c|c} 148 & 2 \\ 74 & 2 \\ 37 & 37 \\ 1 & \\ & \end{tabular} & & & \begin{tabular}{c|c} 156 & 2 \\ 78 & 2 \\ 39 & 3 \\ 13 & 13 \\ 1 & \end{tabular} \end{array}}

 

Así, los números se escriben de la forma

 

{\begin{array}{rcl} 148 & = & 2^2 \cdot 37 \\\\ 156 & = & 2^2 \cdot 3 \cdot 13 \end{array}}

 

2Los factores comunes con menor exponente son {2^2}

 

3Para calcular el {m.c.d.} multiplicamos los factores comunes con menor exponente

 

{m.c.d.(148, 156) = 2^2 = 4}

 

4Los factores comunes y no comunes con mayor exponente son {2^2, 3, 13, 37}

 

5Para calcular el {m.c.m.} multiplicamos los factores comunes y no comunes con mayor exponente

 

{m.c.m.(148, 156) = 2^2 \cdot 3 \cdot 13 \cdot 37 = 5772}

3Calcular el {m.c.d.} y {m.c.m.} de {600} y {1000}

1Descomponemos los números en factores primos

 

{\begin{array}{cccc}\begin{tabular}{c|c} 600 & 2 \\ 300 & 2 \\ 150 & 2 \\ 75 & 3 \\ 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{tabular} & & & \begin{tabular}{c|c} 1000 & 2 \\ 500 & 2 \\ 250 & 2 \\ 125 & 5 \\ 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{tabular} \end{array}}

 

Así, los números se escriben de la forma

 

{\begin{array}{rcl} 600 & = & 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2 \\\\ 1 000 & = & 2^3 \cdot 5^3 \end{array}}

 

2Los factores comunes con menor exponente son {2^3, 5^2}

 

3Para calcular el {m.c.d.} multiplicamos los factores comunes con menor exponente

 

{m.c.d.(600, 1 000) = 2^3 \cdot 5^2 = 200}

 

4Los factores comunes y no comunes con mayor exponente son {2^3, 5^, 3}

 

5Para calcular el {m.c.m.} multiplicamos los factores comunes y no comunes con mayor exponente

 

{m.c.m.(600, 1 000) = 2^3 \cdot 5^3 \cdot 3 = 3 000}

4Calcular el {m.c.d.} y {m.c.m.} de {1048, 786} y {3 930}

1Descomponemos los números en factores primos

 

{\begin{array}{ccccccc}\begin{tabular}{c|c} 1 048 & 2 \\ 524 & 2 \\ 262 & 2 \\ 131 & 131 \\ 1 & \end{tabular} & & & \begin{tabular}{c|c} 786 & 2 \\ 393 & 3 \\ 131 & 131 \\ 1 & \\ & \end{tabular} & & & \begin{tabular}{c|c} 3 930 & 2 \\ 1 965 & 3 \\ 655 & 5 \\ 131 & 131 \\ 1 &  \end{tabular} \end{array}}

 

Así, los números se escriben de la forma

 

{\begin{array}{rcl} 1 048 & = & 2^3 \cdot 131  \\\\ 786 & = & 2 \cdot 3 \cdot 131 \\\\ 3 930 & = & 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 131 \end{array}}

 

2Los factores comunes con menor exponente son {2, 131}

 

3Para calcular el {m.c.d.} multiplicamos los factores comunes con menor exponente

 

{m.c.d.(1 048, 786, 3 930) = 2 \cdot 131 = 262}

 

4Los factores comunes y no comunes con mayor exponente son {2^3, 3, 5, 131}

 

5Para calcular el {m.c.m.} multiplicamos los factores comunes y no comunes con mayor exponente

 

{m.c.m.(1 048, 786, 3 930) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 131 = 15 720}

5Calcular el {m.c.d.} y {m.c.m.} de {3 120, 6 200} y {1 864}

1Descomponemos los números en factores primos

 

{\begin{array}{ccccccc}\begin{tabular}{c|c} 3 120 & 2 \\ 1 560 & 2 \\ 780 & 2 \\ 390 & 2 \\ 195 & 3 \\ 65 & 5 \\ 13 & 13 \\ 1 & \end{tabular} & & & \begin{tabular}{c|c} 6 200 & 2 \\ 3 100 & 2 \\ 1 550 & 2 \\ 755 & 5 \\ 155 & 5 \\ 31 & 31 \\ 1 & \\  &  \end{tabular} & & & \begin{tabular}{c|c} 1 864 & 2 \\  932 & 2 \\ 466 & 2 \\ 233 & 233 \\ 1 & \\  &  \\  &  \\  &  \end{tabular} \end{array}}

 

Así, los números se escriben de la forma

 

{\begin{array}{rcl} 3 120 & = & 2^4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13 \\\\ 6 200 & = & 2^3 \cdot 5^2 \cdot 31 \\\\ 1 864 & = & 2^3 \cdot 233 \end{array}}

 

2Los factores comunes con menor exponente son {2^3}

 

3Para calcular el {m.c.d.} multiplicamos los factores comunes con menor exponente

 

{m.c.d.(3 120, 6 200, 1 864) = 2^3 = 8}

 

4Los factores comunes y no comunes con mayor exponente son {2^4, 3, 5^2, 13, 31, 233}

 

5Para calcular el {m.c.m.} multiplicamos los factores comunes y no comunes con mayor exponente

 

{m.c.m.(3 120, 6 200, 1 864) = 2^4 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 13 \cdot 31 \cdot 233 = 112 678 800}

6Un faro se enciende cada {12} segundos, otro cada {18} segundos y un tercero cada minuto. A las {6:30} de la tarde los tres coinciden. ¿A qué hora volveran a coincidir nuevamente?

1Descomponemos los números en factores primos

 

{\begin{array}{rcl} 12 & = & 2^2 \cdot 3  \\\\  18 & = & 2 \cdot 3^2  \\\\ 60 & = & 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \end{array}}

 

2Calculamos el {m.c.m.} de los tres números

 

{m.c.m.(12, 18, 60) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 180}

 

3Los faron coinciden cada {180} segundos que es lo mismo que {3} minutos; por lo tanto vuelven a coincidir a las {6:33} de la tarde

7Un viajero va a Barcelona cada {18} días y otro cada {24} días. Hoy han estado los dos en Barcelona. ¿Dentro de cuantos días volverán a estar los dos a la vez en Barcelona?

1Descomponemos los números en factores primos

 

{\begin{array}{rcl} 18 & = & 2 \cdot 3^2 \\\\ 24 & = & 2^3 \cdot 3 \end{array}}

 

2Calculamos el {m.c.m.} de los dos números

 

{m.c.m.(18, 24) = 2^3 \cdot 3^2 = 72}

 

3Los dos viajeros volverán a coincidir dentro de {72} días.

8¿Cuál es el menor número que al dividirlo separadamente por {15, 20, 36} y {48} en cada caso da de resto {9}?

1Descomponemos los números en factores primos

 

{\begin{array}{rcl} 15 & = & 3 \cdot 5 \\\\ 20 & = & 2^2 \cdot 5 \\\\ 36 & = & 2^2 \cdot 3^2 \\\\ 48 & = & 2^4 \cdot 3 \end{array}}

 

2Calculamos el {m.c.m.} de los cuatro números

 

{m.c.m.(15, 20, 36, 48) = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 = 720}

 

3{720} es el menor número que divisible por los cuatro números, así que si deseamos que al dividir por los cuatro números se tenga resto {9}, entonces el número debe ser {720 + 9 = 729}.

9En una bodega hay {3} toneles de vino, cuyas capacidades son {250, 360, 540} litros respectivamente. Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales. Calcular las capacidades máximas de estas garrafas para que en ellas se pueden envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el número de garrafas que se necesitan.

1Descomponemos los números en factores primos

 

{\begin{array}{rcl} 250 & = & 2 \cdot 5^3 \\\\ 360 & = & 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \\\\ 540 & = & 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5 \end{array}}

 

2Calculamos el {m.c.d.} de los tres números

 

{m.c.d.(250, 360, 540) = 2 \cdot 5 = 10}

 

3La capacidad de cada garrafa es de {10} litros y el número de garrafas es de {\displaystyle \frac{250 + 360 + 540}{10} = 115}.

10El suelo de una habitación, que se quiere embaldosar, tiene {5 \ m} de largo y {3 \ m} de ancho. Calcula el lado en decímetros y el número de baldosas, tal que el número de baldosas que se coloque sea mínimo y que no sea necesario cortar ninguna de ellas.

1El suelo de la habitación a embaldosar tiene medidas {5 \cdot 10 = 50 \ dm} de largo y {3 \cdot 10 = 30 \ dm} de ancho

 

2Calculamos el {m.c.d.} de los dos números

 

{m.c.d.(50, 30) = 2 \cdot 5 = 10 }

 

3El lado de cada baldosa es de {10 \ dm} y se requieren {5} baldosas de largo y {3} de ancho, por lo que en total se requieren {\displaystyle 5 \cdot 3 =15} baldosas.

11Un comerciante desea poner en cajas {12 028} manzanas y {12 772} naranjas, de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas o de naranjas y, además, el mayor número posible. Hallar el número de naranjas de cada caja y el número de cajas necesarias.

1Calculamos el {m.c.d.}

 

{m.c.d.(12 028, 12 772) = 124 }

 

2Calculamos el número de cajas requeridas

 

{\begin{array}{rrccl} naranjas & & \displaystyle \frac{12 772}{124} & = & 103 \\\\ manzanas & & \displaystyle \frac{12 028}{124} & = & 97 \end{array}}

 

Así, el número de cajas requeridas es {103 + 97 = 200}

12¿Cuánto mide la mayor baldosa cuadrada que cabe en un número exacto de veces en una sala de {8 \ m} de longitud y {6.4 \ m} de anchura? ¿Y cuántas baldosas se necesitan?

1El suelo de la habitación a embaldosar tiene medidas {8 \cdot 10 = 80 \ dm} de longitud y {6.4 \cdot 10 = 64 \ dm} de ancho

 

2Calculamos el {m.c.d.} de los dos números

 

{m.c.d.(80, 64) = 16 }

 

3El lado de cada baldosa es de {16 \ dm} y se requieren {80/16 = 5} baldosas de largo y {64/16 = 4} de ancho, por lo que en total se requieren {\displaystyle 5 \cdot 4 = 20} baldosas.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗