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El máximo común divisor (m.c.d. o mcd) de dos o más números es el mayor número que divide a todos exactamente.
El 4 es el máximo común divisor de 16 y 20 porque es el mayor número que divide a ambos.
Cálculo del máximo común divisor
1 Se descomponen los números en factores primos.
2 Se toman los factores comunes con menor exponente.
3 Se multiplican dichos factores y el resultado obtenido es el mcd.
Ejemplo de cálculo de máximo común divisor
Hallar el m. c. d. de: 72, 108 y 60:
1 Descomponemos en factores primos los números 72, 108 y 60.
72 = 2³ · 3²
108 = 2² · 3³
60 = 2² · 3 · 5
2El 2 y el 3 son los comunes, por tanto los tomamos elevados al menor exponente: 2² y 3
3 m. c. d. (72, 108, 60) = 2² · 3 = 12
12 es el mayor número que divide a 72, 108 y 60.
Propiedades del máximo común divisor
1 Los divisores comunes de varios números coinciden con los divisores del máximo común divisor.
Calcular los divisores comunes de 54 y 90.
m.c.d (54, 90) = 18
Los divisores comunes de 54 y 90 son los divisores de 18, por tanto serían 1, 2, 3, 6, 9, 18.
2 Dados varios números, si se multiplican o dividen por otro número entonces su m.c.d también queda multiplicado o dividido por el mismo número.
m.c.d. (54, 90) = 18
Si multiplicamos los dos números por 3 queda:
54 · 3 = 162
90 · 3 = 270
m.c.d. (162, 270) = 54 = 18 · 3
3 Esta propiedad es consecuencia de la anterior: Dados varios números, si se dividen por su m.c.d los cocientes resultantes son primos entre sí su m.c.d es 1.
m.c.d. (54, 90) = 18
54 : 18 = 3
90 : 18 = 5
m.c.d. (3, 5) = 1
4 Si un número es divisor de otro, entonces este es el m. c. d de los dos.
El número 12 es divisor de 36.
m.c.d. (12, 36) = 12
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