Marta

2 junio 2019

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El máximo común divisor (m.c.d. o mcd) de dos o más números es el mayor número que divide a todos exactamente y a la vez.

 

El 4 es el máximo común divisor de 16 y 20 porque es el mayor número que divide a ambos.

 

Cálculo del máximo común divisor

 

1 Se descomponen los números en factores primos.

 

2 Se toman los factores comunes con menor exponente.

 

3 Se multiplican dichos factores y el resultado obtenido es el mcd.

 

Hallar el mcd de {72, 108}  y  {60}

 

1 Descomponemos en factores primos los números {72, 108}  y  {60}

 

{\begin{tabular}{r|l} 72 & 2 \\ 36 & 2 \\ 18 & 2 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & \end{tabular} \ \ \ \ \ \ \ \begin{tabular}{r|l} 108 & 2 \\ 54 & 2 \\ 27 & 3 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & \end{tabular} \ \ \ \ \ \ \ \begin{tabular}{r|l} 60 & 2 \\ 30 & 2 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \\ & \end{tabular}}

 

{72=2^{3}\cdot 3^{2}}

 

{108=2^{2}\cdot 3^{3}}

 

{60=2^{2}\cdot 3 \cdot 5}

 

2El {2} y el {3} son los comunes, por tanto los tomamos elevados al menor exponente: {2^{2}} y {3}

 

3 {mcd(72, 108, 60)=2^{2}\cdot 3=12}

 

{12} es el mayor número que divide a {72, 108} y {60}

 

Propiedades del máximo común divisor

 

1 Los divisores comunes de varios números coinciden con los divisores del máximo común divisor.

 

Ejemplo:

 

Calcular los divisores comunes de {54} y {90}.

 

Calculamos el mcd

 

{mcd(54, 90)=18}

 

Los divisores comunes de {54} y {90} son los divisores de {18}, por tanto serían {1, 2, 3, 6, 9, 18}.

 

2 Dados varios números, si se multiplican o dividen por otro número entonces su mcd también queda multiplicado o dividido por el mismo número.

 

Ejemplo:

 

El {mcd(54, 90)=18}

 

Si multiplicamos los dos números por {3} queda

 

{3\cdot 54=162}

 

{3\cdot 90=270}

 

El mcd de {162} y {270} es

 

El {mcd(162, 270)=54=3\cdot 18}

 

3 Esta propiedad es consecuencia de la anterior: Dados varios números, si se dividen por su mcd los cocientes resultantes son primos entre sí y su mcd es 1.

 

Ejemplo:

 

El {mcd(54, 90)=18}

 

Si dividimos los dos números entre {18} queda

 

{54:18=3}

 

{90:18=5}

 

El mcd de {3} y {5} es {1}

 

4 Si un número es divisor de otro, entonces este es el mcd de los dos.

 

Ejemplo:

 

El número {12} es divisor de {36}

 

Calculamos el mcd de {12} y {36}

 

{mcd(12, 36)=12}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗