División de enteros

1 Calcula todos los múltiplos de 17 comprendidos entre 800 y 860.

 

Calcula todos los múltiplos de 17 comprendidos entre 800 y 860.

Primero dividimos 800 entre 17, lo que nos da 47 con 1 de residuo. Esto significa 47 \cdot 17 es menor a 800, pero 48 \cdot 17 es mayor a 800. Si realizamos la multiplicación nos da

48 \cdot 17 = 816

Luego, considerando los enteros siguientes al 48, tenemos

 

49 \cdot 17 = 833

50 \cdot 17 = 850

51 \cdot 17 = 867

 

Observemos que 867 ya es mayor a 860. Por lo tanto, el resultado es:

816, 833, 850

 

Superprof

Números primos y compuestos

 

2  De los siguientes números: 179, 311, 848, 3566, 7287. Indica cuáles son primos y cuáles son compuestos.

 

De los siguientes números: 179, 311, 848, 3566, 7287. Indica cuáles son primos y cuáles son compuestos.

 

Los números 848 y 3566 son compuestos porque, al acabar en cifra par, son divisibles por 2.

 

El número 7287 también es compuesto porque es divisible entre 3: 7 + 2 + 8 + 7 = 24 —la suma de sus dígitos es un múltiplo de 3—.

 

El número 179 es primo porque no es divisible entre 2, 3, 5, 7, 11. Vamos a probar dividiendo por 13:

division 179 entre 13

Como la división no es exacta y el cociente es igual al divisor, entonces el número es primo.

 

El número 311 es primo porque no es divisible entre 2, 3, 5, 7, 11. Probaremos dividiendo por 13:

division 311 entre 13

Como la división no es exacta y el cociente es igual al divisor, entonces el número es primo.

 

Primos: 179 y 311.

Compuestos: 848, 3566 y 7287.

 

 

3 Calcula, mediante una tabla, todos los números primos comprendidos entre 400 y 450.

 

Calcula, mediante una tabla, todos los números primos comprendidos entre 400 y 450.

 

Debemos construir una tabla como la siguiente. Primero cancelamos todos los números pares, después todos los múltiplos de 3, luego los múltiplos de 5 y así sucesivamente hasta llegar al 19 (el número primo más grande que puede ser factor). Los números que quedan sin tachar son números primo

 

401409
419
421
431433439
443449
Números primos: 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449

Factorización

 

4 Haz la descomposición en factores de los siguientes números:

  • 216
  • 360
  • 432

 

Haz la descomposición en factores de los siguientes números

  • 216

factorizacion del 216

216 = 2³ · 3³

  • 360

factorizacion del 360

360 = 2³ · 3² · 5

  • 432

factorizacion del 432

432 = 24 · 3³

 

 

5 Factoriza 342 y calcula su número de divisores.

 

Factoriza 342 y calcula su número de divisores.

factorizacion del 342

En primer lugar descomponemos en factores

342 = 2 · 3² · 19

Sumamos la unidad a cada uno de los exponentes de los factores de 342. Luego multiplicamos los resultados obtenidos, es decir,

Número de factores = (1 + 1) · (2 + 1) · (1 + 1) = 12

 

6 Haz la descomposición de factores de:

  • 2250
  • 3500
  • 2520

 

Haz la descomposición de factores de:

  • 2250

descomposicion del 2250

2250 = 2 · 3² · 5³

 

  • 3500

descomposicion del 3500

3500 = 2² · 5³ · 7

 

  • 2520

descomposicion del 2520

2 520 = 2³ · 3² · 5 · 7

 

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

 

7 Calcula el máximo común divisor (m.c.d.) y mínimo común múltiplo (m.c.m.) de:

  • 428 y 376
  • 148 y 156
  • 600 y 1 000

 

Calcula el m.c.d. y m.c.m. de:

 

  • 428 y 376

En primer lugar descomponemos en factores

descomposicion del 428 y 376

428 = 2² · 107

376 = 2³ · 47

Para hallar el m.c.d. tomamos factores los comunes de menor exponente

m.c.d.(428, 376) = 2² = 4

Para hallar el m.c.m. tomamos factores los comunes y no comunes de mayor exponente

m.c.m.(428, 376) = 2³ · 107 · 47 = 40 232

 

  • 148 y 156

Descomponemos en factores

descomposicion del 148 y 156

148 = 2² · 37

156 = 2² · 3 · 13

m.c.d.(148, 156) = 2² = 4

m.c.m.(148, 156) = 2² · 3 · 37 · 13 = 5772

 

  • 600 y 1 000

Descomponemos en factores

descomposicion del 600 y 1000

600 = 2³ · 3 · 5²

1 000 = 2³ · 5³

m.c.d.(600, 1 000) = 2³ · 5² = 200

m.c.m.(600, 1 000) = 2³ · 3 · 5³= 3000

 

8 Calcula el m. c. d. y m.c.m. de:

  • 72, 108 y 60
  • 1048, 786 y 3930
  • 3120, 6200 y 1864

 

Calcula el m. c. d. y m.c.m. de:

  • 72, 108 y 60

Descomponemos en factores

descomposicion del 72, 108 y 60

72 = 2³ · 3²

108 = 2² · 3³

60 = 2² · 3 · 5

Para hallar el m.c.d. tomamos los factores comunes de menor exponente

m.c.d. (72, 108, 60) = 2² · 3 = 12

Para hallar el m.c.m. tomamos los factores comunes y no comunes de mayor exponente

m.c.m.(72, 108, 60) = 2³ · 3³ · 5 = 1080

 

  • 1048, 786 y 3930

Descomponemos en factores

descomposicion del 1048, 786 y 3930

1048 = 2³ · 131

786 = 2 · 3 · 131

3930 = 2 · 3 · 5 · 131

m.c.d.(1048, 786, 3930) = 2 · 131 = 262

m.c.m.(1048, 786, 3930) = 2³ · 3 · 5 · 131 = 15 720

 

  • 3120, 6200 y 1864

Descomponemos en factores

descomposicion del 3120, 6200 y 1864

3210 = 24 · 3 · 5 · 13

6200 = 2³ · 5² · 31

1864 = 2³ · 233

m.c.d.(3210, 6200, 1864) = 2³ = 8

m.c.m.(3210, 6200, 1864) = 24 · 3 · 5² · 13 · 31 · 233 =

= 112 678 800

 

Algoritmo de Euclides

 

9 Calcula, utilizando el algoritmo de Euclides, el m.c.d. de:

  • 72 y 16
  • 656 y 848
  • 1278 y 842

 

Calcula, utilizando el algoritmo de Euclides, el m.c.d. de:

  • 72, 16

Dividimos el mayor (72) entre el menor (16)

divisiones del algoritmo de euclides

Como la división no es exacta dividimos el divisor (16) entre el resto obtenido (8). Como esta división es exacta el m.c.d. es el divisor: 8

m.c.d.(72, 16) = 8

 

  • 656 y 848

divisiones del algoritmo de euclides 2

m.c.d.(656, 848) = 16

La división entre 848 y 656 no es exacta, dividimos el divisor (656) entre el resto obtenido (192).

Como esta división tampoco es exacta tenemos que dividir el divisor (80) entre el resto (32).

Pero esta división tampoco es exacta. Ahora dividimos el divisor (32) entre el resto (16).

Como la división es exacta el m.c.d. es el divisor de esta última división: 16

 

  • 1728 y 842

divisiones del algoritmo de euclides 3

m.c.d. (1278, 842) = 2

La división entre 1728 y 842 no es exacta, dividimos el divisor (842) entre el resto obtenido (44).

Como esta división tampoco es exacta tenemos que dividir el divisor (44) entre el resto (6).

Pero esta división tampoco es exacta. Ahora dividimos el divisor (6) entre el resto (2).

Como la división es exacta el m.c.d. es el divisor de esta última división: 2

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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