División de enteros

1 Calcula todos los múltiplos de 17 comprendidos entre 800 y 860.

Primero dividimos 800 entre 17, lo que nos da 47 con 1 de residuo. Esto significa 47 \cdot 17 es menor a 800, pero 48 \cdot 17 es mayor a 800. Si realizamos la multiplicación nos da

48 \cdot 17 = 816

Luego, considerando los enteros siguientes al 48, tenemos

 

49 \cdot 17 = 833

50 \cdot 17 = 850

51 \cdot 17 = 867

 

Observemos que 867 ya es mayor a 860. Por lo tanto, el resultado es:

816, 833, 850

 

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Vamos

Números primos y compuestos

 

2  De los siguientes números: 179, 311, 848, 3566, 7287. Indica cuáles son primos y cuáles son compuestos.

Tenemos que:

  • Los números 848 y 3566 son compuestos porque, al acabar en cifra par, son divisibles por dos.
  • El número 7287 también es compuesto porque es divisible entre 3, esto lo sabemos porque la suma de sus digitos es divisible entre 3.
  • El número 179 es primo porque no es divisible entre 2, 3, 5, 7, 11. Vamos a probar dividiendo por 13:

         \[ \frac{179}{13} = 13.76 \dots \quad \Rightarrow \quad 179 = (13)(13) + 10 \]

    Como la división no es exacta y el cociente es igual al divisor, entonces el número es primo.

  • El número 311 es primo porque no es divisible entre 2, 3, 5, 7, 11. Probaremos dividiendo por 13:

         \[ \frac{311}{13} = 23.92 \quad \Rightarrow \quad (13)(23) + 12 \]

    podemos continuar y vemos que la división no es exacta hasta 311, por lo tanto número primo.

 

3 Calcula, mediante una tabla, todos los números primos comprendidos entre 400 y 450.

Debemos construir una tabla como la siguiente. Primero cancelamos todos los números pares, después todos los múltiplos de 3, luego los múltiplos de 5 y así sucesivamente hasta llegar al 19 (el número primo más grande que puede ser factor). Los números que quedan sin tachar son números primo

 

(2)(200) 401 (2)(201) (13)(31) (2)(202) (5)(85) (2)(203) (11)(37) (2)(204) 409
(2)(205) (3)(137) (2)(206) (7)(59) (2)(207) (5)(83) (2)(208) (3)(139) (2)(209) 419
(2)(210) 421 (2)(211) (3)(141) (2)(212) (5)(85) (2)(213) (7)(61) (2)(214) (3)(143)
(2)(215) 431 (2)(216) 433 (2)(217) (5)(87) (2)(218) (19)(23) (2)(219) 439
(2)(220) (3)(147) (2)(221) 443 (2)(222) (5)(89) (2)(223) (3)(149) (2)(224) 449

Números primos:  401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449

 

Factorización

 

4 Haz la descomposición en factores de los siguientes números:

  • 216
  • 360
  • 432

1 216:

Hacemos la descomposición en números primos comenzando con el 2, si no se puede 3, luego 5, y así sucesivamente

    \[ \begin{tabular}{c|c} 216 & 2 \\ 108 & 2 \\ 54 & 2 \\ 27 & 3 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & \end{tabular}\]

entonces

     \[ 216=2^{3} \cdot 3^{3} \]

2 360:

    \[\begin{tabular}{c|c} 360 & 2 \\ 180 & 2 \\ 90 & 2 \\ 45 & 3 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{tabular}\]

entonces

     \[ 360=2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5 \]

3 432:

    \[ \begin{tabular}{r|r} 432 & 2 \\ 216 & 2 \\ 108 & 2 \\ 54 & 2 \\ 27 & 3 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & \end{tabular}\]

entonces

    \[ 432=2^{4} \cdot 3^{3} \]

 

5 Factoriza 342 y calcula su número de divisores.

En primer lugar descomponemos en factores:

     \[ \begin{tabular}{r|l} 342 & 2 \\ 171 & 3 \\ 57 & 3 \\ 19 & 19 \\ 1 & \end{tabular}\]

es decir,

     \[ 342=2 \cdot 3^{2} \cdot 19 \]

Sumamos la unidad a cada uno de los exponentes de los factores de 342. Luego multiplicamos los resultados obtenidos, entonces,

Número de factores:  (1+1) \cdot(2+1) \cdot(1+1)=12

 

6 Haz la descomposición de factores de:

  • 2250
  • 3500
  • 2520

1 2250:

Similar a uno de los ejercicios anteriores

    \[ \begin{tabular}{c|c} 2250 & 2 \\ 1125 & 3 \\ 375 & 3 \\ 125 & 5 \\ 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{tabular}\]

por tanto

     \[2250=2 \cdot 3^{2} \cdot 5^{3} \]

2 3500:

    \[ \begin{tabular}{c|c} 3500 & 2 \\ 1750 & 2 \\ 875 & 5 \\ 175 & 5 \\ 35 & 5 \\ 7 & 7 \\ 1 & \end{tabular}\]

por lo tanto

     \[ 3500 = 2^2 \cdot 5^3 \cdot 7 \]

3 2520:

     \[ \begin{array}{c|c} 2520 & 2 \\ 1260 & 2 \\ 630 & 2 \\ 315 & 3 \\ 105 & 3 \\ 35 & 5 \\ 7 & 7 \\ 1 & \end{array}\]

por tanto

     \[ 2520 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 \]

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

 

7 Calcula el máximo común divisor (m.c.d.) y mínimo común múltiplo (m.c.m.) de:

  • 428 y 376
  • 148 y 156
  • 600 y 1 000

1 428 y 376 :

En primer lugar descomponemos en factores,

    \[ \begin{array}{r|l} 428 & 2 \\ 214 & 2 \\ 107 & 107 \\ 1 & \end{array}\]

es decir  428 = 2^2 \cdot 107 y

    \[ \begin{array}{r|l} 376 & 2 \\ 188 & 2 \\ 94 & 2 \\ 47 & 47 \\ 1 & \end{array}\]

es decir,  376 = 2^3 \cdot 47 . Para hallar el m.c.d. tomamos los factores comunes de menor exponente

     \[ m.c.d (428,376)=2^{2}=4 \]

Para hallar el m.c.m. tomamos los factores comunes y no comunes de mayor exponente

     \[ m.c.m (428,376)=2^{3} \cdot 107 \cdot 47=40232 \]

2 148 y 156:

Descomponemos en factores

    \[\begin{array}{r|l} 148 & 2 \\ 74 & 2 \\ 37 & 37 \\ 1 & \end{array}\]

y

     \[ \begin{array}{r|l} 156 & 2 \\ 78 & 2 \\ 39 & 3 \\ 13 & 13 \\ 1 & \end{array}\]

entonces

    \[ 148 = 2^2 \cdot 37 \quad \quad y \quad \quad 156 = 2^2 \cdot 3 \cdot 13 \]

Calculamos m.c.m y m.c.d :

    \[ \begin{aligned} m.c.d(148,156)&=2^{2}=4 \\ m.c.m.(148,156)&=2^{2} \cdot 3 \cdot 37 \cdot 13=5772 \end{aligned}\]

3 600 y 1000 : Nuevamente, comenzamos descomponiendo en factores

    \[ \begin{array}{r|r} 600 & 2 \\ 300 & 2 \\ 150 & 2 \\ 75 & 3 \\ 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array}\]

es decir  600 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2 y

    \[\begin{array}{r|l} 1000 & 2 \\ 500 & 2 \\ 250 & 2 \\ 125 & 5 \\ 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array}\]

es decir  1000 = 2^3 \cdot 5^3 . Ya con los factores obtenemos que el m.c.d es

     \[ m . c . d (600,1000)=2^{3} \cdot 5^{2}=200 \]

y el m.c.m

    \[ m.c.m.(600, 1 000) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5^3= 3000 \]

 

8 Calcula el m. c. d. y m.c.m. de:

  • 72, 108 y 60
  • 1048, 786 y 3930

1 72, 108 y 60:

Descomponemos en factores y obtenemos que

    \[ \begin{aligned} 72&=2^{3} \cdot 3^{2} \\ 108&=2^{2} \cdot 3^{3} \\ 60&=2^{2} \cdot 3 \cdot 5 \end{aligned}\]

Para hallar el m.c.d. tomamos los factores comunes de menor exponente

     \[ m.c.d (72,108,60)=2^{2} \cdot 3=12 \]

Para hallar el m.c.m. tomamos los factores comunes y no comunes de mayor exponente

     \[ m. c. m(72,108,60)=2^{3} \cdot 3^{3} \cdot 5=1080 \]

2 1048, 786 y 3930:

Nuevamente descomponemos en factores y obtenemos que

    \[ \begin{aligned} 1048 &= 2^{3} \cdot 131 \\ 786 &=2 \cdot 3 \cdot 131 \\ 3930 &=2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 131 \end{aligned} \]

entonces

    \[ m.c.d(1048, 786, 3930) = 2 \cdot 131 = 262 \]

     \[ m.c.m.(1048, 786, 3930) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 131 = 15 720 \]

 

Algoritmo de Euclides

 

9 Calcula, utilizando el algoritmo de Euclides, el m.c.d. de:

  • 72 y 16
  • 656 y 848
  • 1278 y 842

1 72 y 16:

Primero dividimos el mayor (72) entre el menor (16), si no hay residuo 16 es la maxima medida comun, en este caso obtenemos que

     \[ 72 = 16(4) + 8 \]

es decir obtenemos un resto de 8, por lo tanto repetimos el proceso y dividimos el divisor(16) entre el residuo(8), y si es exacto, entonces 8 es la maxima medida comun. Notemos que

     \[ \frac{16}{8} = 2 \]

por lo tanto, 8 es el m.c.d.

2 656 y 848:

Repitiendo el proceso anterior, tendremos que la división entre 848 y 656 no es exacta, dividimos el divisor (656) entre el resto obtenido (192).

Puesto que esta división tampoco es exacta tenemos que dividir el divisor (80) entre el resto (32). Pero esta división tampoco es exacta. Ahora dividimos el divisor (32) entre el resto (16)

     \[ \frac{32}{16} =2 \]

Como la división es exacta el m.c.d. es el divisor de esta última división: 16.

3 1278 y 842:

Primero dividimos el mayor (1278) entre el menor (842), si no hay residuo 842 es la maxima medida comun, en este caso obtenemos que

     \[ 1278 = 842(1) + 436 \]

es decir obtenemos un resto de 436, por lo tanto repetimos el proceso y dividimos el divisor(842) entre el residuo(436), obteniendo

     \[ 842 = 436(1) + 406 \]

es decir obtenemos un resto de 406, por lo tanto repetimos el proceso y dividimos el divisor(436) entre el residuo(406), donde obtenemos un residuo de 30 por lo que es necesario repetir el proceso, esta vez 406 entre el residuo 30 y nuevamente no es exacto, en este caso tenemos que

     \[ 406 = 30(13) + 16 \]

es decir, el residuo es de 16 y hacemos otro vez el proceso con 30 y 16, el cual no es exacto y se obtiene un residuo de 14. Utilizando el divisor 16 y residuo 14 checamos si la division es exacta y comprobamos que obtenemos un residuo de 2, es decir 14 no es el m.c.d, procedemos con el 14 y el 2 de donde

    \[ \frac{14}{2} = 7 \]

al obtener un resultado exacto se concluye que m.c.d(1278,842) = 2 .

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗