Definición de números naturales

 

El conjunto de los números naturales está formado por:

{N = \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, \dots \}}

Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto (número cardinal). O bien expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal).

Los números naturales están ordenados, lo que nos permite comparar dos números naturales:

{5 > 3};    5 es mayor que 3.

{3 < 5};    3 es menor que 5.

Los números naturales son ilimitados, si a un número natural le sumamos 1, obtenemos otro número natural.

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Vamos

Suma de números naturales

 

a + b = c

Los términos de la suma, a y b, se llaman sumandos y el resultado, c, suma.

 

Propiedades de la suma

1 Interna:
{a + b \in \mathbb{N}}

La suma pertenece a los números Naturales

2 Asociativa:
{(a + b) + c = a + (b + c)}

La suma de dos primeros números más un tercero es lo mismo a la suma de un primero más la suma de los dos últimos

Ejemplo

{(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)}

{5 + 5 = 2 + 8}

{10 = 10}

3 Conmutativa:
{a + b = b + a}

El orden de la suma no altera el resultado

Ejemplo

{2 + 5 = 5 + 2}

{7 = 7}

4 Elemento neutro:
{a + 0 = a}

El elemento neutro de la suma te regresa el mismo número en este caso es el cero.

Ejemplo

{3 + 0 = 3}

a - b = c

Los términos que intervienen en una resta se llaman: a, minuendo y b, sustraendo. Al resultado, c, lo llamamos diferencia.

 

Propiedades de la resta

1No es una operación interna
{a - b \notin \mathbb{N}}

La resta no pertenece a los números Naturales, ya que el resultado podría ser un número negativo.

Ejemplo

{2 - 5 \notin \mathbb{N}}

2No es Conmutativa
{a-b \neq b-a}

El orden en como realizamos la resta, si altera el resultado

Ejemplo

{5 - 2 \neq 2 - 5}

Multiplicación de números naturales

 

a · b = c

Los términos a y b se llaman factores y el resultado, c, producto.

 

Propiedades de la multiplicación

1 Interna:
{a \cdot b \in \mathbb{N}}

El producto pertenece a los números Naturales

2Asociativa:
{(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)}

Realizar la multiplicación de los dos primero y luego un tercero es igual a realizar la multiplicación de un primero y luego los dos últimos

Ejemplo

{(2 \cdot 3) \cdot 5 = 2 \cdot (3 \cdot 5)}

{6 \cdot 5 = 2 \cdot 15}

{30 = 30}

3Conmutativa:
{a \cdot b = b \cdot a}

El orden en como realizamos la multiplicación no altera el resultado

Ejemplo

{2 \cdot 5 = 5 \cdot 2}

{10 = 10}

4Elemento neutro:
{a \cdot 1 = a}

El elemento neutro de la multiplicación es el 1, ya que es quién nos regresa el valor inicial

Ejemplo

{3 \cdot 1 = 3}

5Distributiva:
{a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c }

La multiplicación de un número por una suma se distribuye, es decir, el número lo multiplicamos por cada elemento de la suma

Ejemplo

{2 \cdot 3 + 2 \cdot 5 = 2 \cdot (3 + 5)}

{2 \cdot (3 + 5) = 2 \cdot 3 + 2 \cdot 5}

{2 \cdot 8 = 6 + 10}

{16 = 16}

6Sacar factor común:
{a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)}

Si en los elementos de la suma hay término en común, éste se puede factorizar.

Ejemplo

{6 + 10 = 2 \cdot 8}

{16 = 16}

División de números naturales

 

D : d = c

Los términos que intervienen en un división se llaman, D, dividendo y d divisor. Al resultado, c, lo llamamos cociente.

 

Propiedades de la división

1División exacta

La división es exacta si al realizar la operación el residuo es cero.

Ejemplo

{\begin{matrix} 15 & \underline{| 5}\\ 0 & 3 \end{matrix} }

{15 = (5)(3)}

2División entera

La división es entera si al realizar la operación hay un residuo

Ejemplo

{\begin{matrix} 17 & \underline{| 5}\\ 2 & 3 \end{matrix} }

{17 = (5)(3) + 2}

3No es una operación interna
{a:b \notin \mathbb{N}}

La división no pertenece a los números Naturales, ya que podríamos obtener números decimales.

Ejemplo

{2 : 6 \notin \mathbb{N}}

4No es Conmutativo:
{a : b \neq b : a}

El orden de la operación sí altera el resultado.

Ejemplo

{6 : 2 \neq 2 : 6}

5Cero dividido entre cualquier número da cero.
{0:a = 0}

Ejemplo

{0 : 5 = 0}

6No se puede dividir por 0.

Propiedades de las potencias

1 {a^0 = 1}

Cualquier número elevado a la cero es uno.

2 {a^1 = a}

Cualquier número elevado a la 1 es el mismo número.

3 Producto de potencias con la misma base:
{a^m \cdot a^n = a^{m+n}}

El producto de mismas bases, suma los exponentes.

Ejemplo

{2^5 \cdot 2^2 = 2^{5+2} = 2^7}

4 Cociente de potencias con la misma base:
{a^m : a^n = a^{m-n}}

El cociente de mismas bases, resta los exponentes.

Ejemplo

{2^5 : 2^2 = 2^{5-2} = 2^3}

5 Potencia de una potencia:
{(a^m)^n = a^{m\cdot n}}

Potencia de potencia, multiplica los exponentes.

Ejemplo

{(2^5)^3 = 2^{5(3)} = 2^{15}}

6 Producto de potencias con el mismo exponente:
{a^n \cdot b^n = (a\cdot b)^n}

El producto de diferentes bases pero cada uno con el mismo exponente, es igual al producto de las bases elevado al exponente.

Ejemplo

{2^3 \cdot 4^3 = (2\cdot 4)^3 = 8^3}

7 Cociente de potencias con el mismo exponente:
{a^n : b^n = (a : b)^n}

El cociente de diferentes bases pero cada uno con el mismo exponente, es igual al cociente de las bases elevado al exponente.

Ejemplo

{6^3 : 3^3 = (6 : 3)^3 = 2^3}

Ejercicios de potencias

1 {3^3 \cdot 3^4 \cdot 3 = 3^{3+4+1} = 3^8}

2 {5^7 : 5^3 = 5^{7-3} = 5^4}

3 {(5^3)^4 = 5^{3\cdot 4} = 5^{12}}

4 {(5 \cdot 2 \cdot 3)^4 = 30^4}

5 {(3^4)^4 = 3^{4\cdot 4} = 3^{16}}

6 {[(5^3)^4]^2 = [5^{3\cdot 4}]^2 = [5^{12}]^2 = 5^{12\cdot 2} = 5^{24}}

7 {(8^2)^3 = [(2^3)^2]^3 = [2^{3\cdot 2}]^3 = [2^{6}]^3 = 2^{6\cdot 3} = 2^{18}}

8 {(9^3)^2 = [(3^2)^3]^2 = [3^{2\cdot 3}]^2 = [3^{6}]^2 = 3^{6\cdot 2} = 3^{12}}

9 {2^5 \cdot 2^4 \cdot 2 = 2^{5+4+1} = 2^{10}}

10 {2^7 : 2^6 = 2^{7-6} = 2}

11 {(2^2)^4 = 2^{2\cdot 4} = 2^{8}}

12 {(4 \cdot 2 \cdot 3)^4 = 24^4}

13 {(2^2)^4 = 2^{2\cdot 4} = 2^{8}}

14 {[(2^3)^4]^0 = [2^{3\cdot 4}]^0 = [2^{12}]^0 = 2^{12\cdot 0} = 2^0 = 1}

15 {(27^2)^5 = [(3^3)^2]^5 = [3^{3\cdot 2}]^5 = [3^{6}]^5 = 3^{6\cdot 5} = 3^{30}}

16 {(4^3)^2 = [(2^2)^3]^2 = [2^{2\cdot 3}]^2 = [2^{6}]^2 = 2^{6\cdot 2} = 2^{12}}

Propiedades de las raíces

1 Raíz exacta: Radicando= {\textup{(Raíz)}^2}

La raíz exacta es cuando podemos encontrar un número que al multiplicarlo por si mismo nos regrese el radicando.

Ejemplo

{\sqrt{16} = 4}

{16 = 4^2}

2 Raíz entera: <Radicando= (Raíz)2 + Resto

La raíz entera es cuando podemos encontrar un número que al multiplicarlo por si mismo más un entero nos regrese el radicando.

Ejemplo

{\sqrt{17}}

{17 = 4^2 + 1}

Jerarquía en las operaciones

1 Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.

2 Calcular las potencias y raíces.

3 Efectuar los productos y cocientes.

4 Realizar las sumas y restas.

Operaciones combinadas sin paréntesis

1.1Combinación de sumas y diferencias.

{9 - 7 + 5 + 2 - 6 + 8 - 4 =}

Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones según aparecen.

{= 9 - 7 + 5 + 2 - 6 + 8 - 4 = 7}

1.2 Combinación de sumas, restas y productos.

{3 \cdot 2 - 5 + 4 \cdot 3 - 8 + 5 \cdot 2 =}

Realizamos primero los productos por tener mayor prioridad.

{= 6 - 5 + 12 - 8 + 10 =}

Efectuamos las sumas y restas.

{= 6 - 5 + 12 - 8 + 10 = 15}

1.3 Combinación de sumas, restas , productos y divisiones.

{10 : 2 + 5 \cdot 3 + 4 - 5 \cdot 2 - 8 + 4 \cdot 2 - 16 : 4 =}

Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos porque las dos operaciones tienen la misma prioridad.

{= 5 + 15 + 4 - 10 - 8 + 8 - 4 =}

Efectuamos las sumas y restas.

{= 5 + 15 + 4 - 10 - 8 + 8 - 4 = 10}

1.4 Combinación de sumas, restas , productos , divisiones y potencias.

{2^3 + 10 : 2 + 5 \cdot 3 + 4 - 5 \cdot 2 - 8 + 4 \cdot 2^2 - 16 : 4 =}

Realizamos en primer lugar las potencias por tener mayor prioridad.

{= 8 + 10 : 2 + 5 \cdot 3 + 4 - 5 \cdot 2 - 8 + 4 \cdot 4 - 16 : 4 =}

Seguimos con los productos y cocientes.

{= 8 + 5 + 15 + 4 - 10 - 8 + 16 - 4 =}

Efectuamos las sumas y restas.

{= 26}

 

Operaciones combinadas con paréntesis

{(15 - 4) + 3 - (12 - 5 \cdot 2) + (5 + 16 : 4) - 5 + (10 - 2^3)=}

Realizamos en primer lugar las operaciones contenidas en los paréntesis.

{= (15 - 4) + 3 - (12 - 10) + (5 + 4) - 5 + (10 - 8 )=}

Quitamos paréntesis realizando las operaciones correspondientes.

{= 11 + 3 - 2 + 9 - 5 + 2 = 18}

Operaciones combinadas con paréntesis y corchetes

{[15 - (2^3 - 10 : 2 )] \cdot [5 + (3 \cdot 2 - 4 )] - 3 + (8 - 2 \cdot 3 ) =}

Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis.

{= [15 - (8 - 5 )] \cdot [5 + (6 - 4 )] - 3 + (8 - 6 ) =}

Realizamos las sumas y restas de los paréntesis.

{= [15 - 3] \cdot [5 + 2 ] - 3 + 2=}

En vez de poner corchetes pondremos paréntesis directamente:

{= (15 - 3) \cdot (5 + 2) - 3 + 2= }

Operamos en los corchetes.

{= 12 \cdot 7 - 3 + 2 = }

Multiplicamos.

{= 84 - 3 + 2 =}

Restamos y sumamos.

= 83

Ejercicios y problemas resueltos de números naturales

1 {27 + 3 \cdot 5 - 16=}

{= 27 + 3 \cdot 5 - 16 = 27 + 15 - 16=} 26

2{27 + 3 - 45 : 5 + 16=}

{= 27 + 3 - 45 : 5 + 16 = }37

3 {(2 \cdot 4 + 12) (6 - 4)=}

{= (2 \cdot 4 + 12) (6 - 4) = (8 + 12) (2) = 20 \cdot 2 = } 40

4 {3 \cdot 9 + (6 + 5 - 3) - 12 : 4 =}

{= 3 \cdot 9 + (6 + 5 - 3) - 12 : 4 = 27 + 8 - 3 = } 32

5 {2 + 5 \cdot (2 \cdot 3)^3 =}

{= 2 + 5 \cdot (2 \cdot 3)^3 = 2 + 5 \cdot (6)^3 = 2 + 5 \cdot 216 = 2 + 1080 = } 1082

6 { 440 - [30 + 6 (19 - 12)]=}

{= 440 - [30 + 6 (19 - 12)] = 440 - (30 + 6 \cdot 7)] = 440 - (30 + 42)}

 

{= 440 - (72) = }368

7 { 2{4[7 + 4 (5 \cdot 3 - 9)] - 3 (40 - 8)}=}

{= 2{4[7 + 4 (15 - 9)] - 3 (40 - 8)}}

 

{= 2[4 (7 + 4 \cdot 6) - 3 (32)] = 2[4 (7 + 24) - 3 (32)]}

 

{= 2[4 (31) - 3 (32)]= 2 (124 - 96)= 2 (28)= }56

8 { 7 \cdot 3 + [ 6 + 2 \cdot (2^3 : 4 + 3 \cdot 2) - 7 \cdot \sqrt{4}] + 9 : 3= }

{ = 7 \cdot 3 + [ 6 + 2 \cdot (8 : 4 + 3 \cdot 2) - 7 \cdot 2 ] + 9 : 3 }

 

{= 21 + [ 6 + 2 \cdot (2+ 6) - 14] +3}

 

{= 21 + ( 6 + 2 \cdot 8 - 14) + 3}

 

{= 21 + ( 6 + 16 - 14) + 3}

 

{= 21 + 8 + 3 = }32

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗