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En algunas ocasiones debemos calcular el valor de una operación combinada de números. Es decir, nos interesa realizar varias operaciones con algunos números. Estas operaciones pueden ser sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias o raíces.
Para realizar estas operaciones combinadas se sigue un orden, el cual se define mediante la jerarquía de operaciones. Describiremos primero la jerarquía de las operaciones aritméticas y luego daremos varios ejemplos para que quede bastante claro el orden a seguir.
Jerarquía (o prioridad) de las operaciones
Para realizar las operaciones combinadas, se debemos el siguiente orden:
1 Realizamos las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.
2 Calculamos las potencias y raíces.
3 Efectuamos los productos y cocientes.
4 Realizamos las sumas y restas.
Existe una regla mnemotécnica que nos ayuda a recordar esta jerarquía: PEMDAS. Para recordar la jerarquía solo hay que recordar esta palabra de PEMDAS. El significado es:
- Paréntesis
- Exponentes (las raíces son un exponente fraccionario)
- Multiplicaciones y Divisiones
- Adiciones (sumas) y Sustracciones (restas)
Nota: Cuando tenemos dos operaciones con la misma jerarquía, entonces se realizan de izquierda a derecha como vayan apareciendo.
Ejemplos de ejercicios
1 Consideremos la operación combinada
Observemos que implica únicamente operaciones con la misma jerarquía: sumas y restas. Por lo tanto, se realizan de izquierda a derecha, es decir,
Notemos que realizamos primero la operación 
.
2 Similar al ejemplo anterior, consideremos
Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones según aparecen. Empezamos con 
. Luego al 
resultante le sumamos 
y así sucesivamente.
3 Consideremos ahora la operación
Al igual que en lo ejemplos anteriores, se tienen operaciones con la misma jerarquía: multiplicaciones y divisiones. De este modo, las vamos efectuando de izquierda a derecha,
4 En este ejemplo, realizaremos la operación
Veamos que esta operación involucra multiplicaciones, sumas y restas. Además, la multiplicación tiene prioridad sobre la suma. Por lo tanto, se realizan primero las multiplicaciones:
5 Tomemos en cuenta la siguiente operación:
Observemos que tenemos sumas/restas y multiplicaciones/divisiones. Las multiplicaciones/divisiones tienen mayor prioridad, por lo que las realizamos primero
6 Ahora consideremos la operación combinada
Esta operación incluye todas las operaciones básicas aritméticas, pero no utiliza paréntesis. Así, realizamos primero las potencias, luego las multiplicaciones/divisiones y por último las sumas/restas:
7 Ahora, veamos las siguientes operaciones que incluyen paréntesis.
Primero realizamos las operaciones dentro de los paréntesis (respetando siempre la jerarquía en las operaciones que se encuentran dentro). Después realizamos las operaciones utilizando la jerarquía usual:
8 Consideremos las siguientes operaciones
Notemos que tenemos corchetes y paréntesis, los cuales tienen la misma jerarquía. Primero se realizan las operaciones de los paréntesis que se encuentran dentro de otros paréntesis/corchetes. Luego se realizan las operaciones dentro de los corchetes.
Es decir, las operaciones se realizan de adentro hacia afuera:
9 Veremos ahora unas operaciones que utilizan paréntesis, corchetes y llaves
Al igual que en el ejemplo anterior, las llaves tienen la misma jerarquía que los corchetes y los paréntesis. Por lo tanto, las operaciones se realizan de adentro hacia afuera.
10 Veremos otro ejemplo que utiliza todas las operaciones, así como paréntesis, llaves y corchetes.
De nuevo, las operaciones dentro de los corchetes, llaves y paréntesis se realizan de adentro hacia afuera.
11 Nuestro último ejemplo es
Este ejemplo lo describiremos paso a paso, resumiendo todos los ejemplos anteriores. Primero operamos con las potencias de los paréntesis:
Después, operamos con los productos y cocientes de los paréntesis,
Realizamos las sumas y restas del paréntesis al interior del corchete,
Efectuamos las sumas y diferencias de los corchetes/paréntesis —convertimos los corchetes en paréntesis—,
Eliminamos los paréntesis,
Por último, realizamos las sumas y sustracciones restantes:
Eliminación de paréntesis
En los ejemplos anteriores se pudo apreciar que hay situaciones en las que tenemos paréntesis con solo un número dentro de ellos. En estos casos es necesario eliminar los paréntesis. La supresión de paréntesis la realizamos siguiendo las siguientes consideraciones:
1 Si el paréntesis va precedido del signo 
, lo eliminaremos manteniendo su signo los términos que estén contenidos dentro del paréntesis. Por ejemplo,
2 Si el paréntesis va precedido del signo 
, al suprimir el paréntesis debemos cambiar de signo a todos los términos que estén dentro del paréntesis. Por ejemplo,
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Hola, revisé mi respuesta y veo que aunque la forma en que escribí la expresión es diferente, el resultado es exactamente el mismo: -138. Ambas expresiones son matemáticamente equivalentes:
Mi respuesta: 19 * -6 + 7 * 6 + 3 * 6 – 14 * 6
Respuesta marcada como correcta: -6 * 19 + 6 * 7 + 6 * 3 – 6 * 14
Ambas siguen las reglas de los signos y la propiedad conmutativa de la multiplicación. Me gustaría saber si hubo algún error en la evaluación automática, ya que el resultado es correcto. Gracias.
Hola el ejercicio que me muestras es correcto y si, tu sigues las reglas entonces el resultado es el mismo, no te equivocaste. ¿Este ejercicio esta en un artículo o es por tu cuenta? Para que si hay un error podamos corregirlo.
He dado a las opciones que habían pero cuando les doy, se quita la opción que he dado anteriormente de forma automática creo que es un fallo o tienen un número límite de respuestas
Es verdad, tiene que ser un fallo por que a mi también me pasa.
se me quitó el resultado en la antepenúltimo ejercicio, pero al momento de corregirlo se me ha puesto como bien.
Hola, podrías decirnos si te pasa con todos los ejercicios o con uno en especifico, para hacer una revisión del artículo y rectificar los errores, te lo agradeceríamos mucho.
Estoy mirando los pasos a resolver una raíz cuadrada y en el paso número 7 está el número 589 que no sé de dónde sale, me podéis decir?
Hola revise los ejercicios y no encontré el ejercicio que mencionas, podrías por favor indicarme el número de ejercicio y con gusto resuelvo tu duda.