Los números naturales se utilizan para contar los elementos de un conjunto (número cardinal). O para expresar la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal).

Recordemos cuales son las propiedades de los números naturales.

Propiedades de la suma

Si  a, b, c \in \mathbb{N} entonces se cumplen las siguientes propiedades de la suma

1 Es interna: la suma de dos naturales también es un natural

    \[ a + b \in \mathbb{N}\]

2Es asociativa: es decir:

    \[ (a + b) + c = a + (b + c) \]

3Es conmutativa: el orden de los sumandos no altera el resultado, es decir

     \[a + b = b + a \]

4Existencia de elemento neutro: existe un elemento llamado elemento neutro denotado con 0 tal que todo número natural sumado con este elemento da como resultado el numero natural, es decir

    \[a + 0 = a \]

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Vamos

Propiedades de la resta

1No es una operación interna: la resta de dos números naturales no es necesariamente un número natural, por ejemplo

     \[ 2 − 5 = -3 \notin \mathbb{N} \]

2No es Conmutativa: el orden de la resta, sí altera el resultado, por ejemplo

    \[ 5- 2 = 3 \neq -3 = 2-5\]

Propiedades de la multiplicación

1Interna: la multiplicación de dos naturales, sigue siendo un natural

     \[ a \cdot b \in \mathbb{N} \]

2 Asociativa: es decir:

     \[ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\]

3Conmutativa: el orden al multiplicar no altera el resultado,

     \[ a \cdot b = b \codot a \]

4Elemento neutro: existe un elemento llamado elemento neutro denotado con 1 tal que todo número natural multiplicado por este elemento da como resultado el mismo número natural,

     \[ a \cdot 1 = a \]

5Distributiva con respecto a la suma: es decir:

     \[a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \]

6 Sacar factor común:

     \[ a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c) \]

Propiedades de la división

Aquí puede ver las propiedades de la división con más profundidad.

1 División exacta: una división es exacta si su resto es igual a cero, es decir

     \[ D = d \cdot c \]

donde D es el dividendo, d es el divisor y x el cociente.

2División entera: una división es entera cuando el resto es distinto de cero,

     \[ D = d \cdot c + r \]

donde r representa el resto.

3No es una operación interna: la división de dos números naturales, no es necesariamente un número natural, por ejemplo

     \[ 2 : 6 \notin \mathbb{N} \]

4No es Conmutativo: al dividir, sí importa el orden, no es lo mismo  \frac{a}{b} que  \frac{b}{a}, por ejemplo

     \[ 6 : 2 \neq 2 : 6 \]

5Cero dividido entre cualquier número da cero:

     \[ \frac{0}{a} = 0 \quad \textrm{para todo} \quad a \in \mathbb{N} \]

6No se puede dividir por 0.

Propiedades de las potencias

Sea  a \in \mathbb{N}, tenemos que
1 Todo número natural elevado a la cero es uno,

     \[ a^0 = 1 \]

2 Todo natural a la potencia de 1, es el mismo natural

     \[ a^1 = a \]

3Producto de potencias con la misma base:

     \[ a^m \cdot a^n = a^{m+n}\]

4Cociente de potencias con la misma base:

     \[ a^m : a^n = a^{m - n}\]

5Potencia de una potencia:

     \[ (a^m)^n = a^{m \cdot n} \]

6Producto de potencias con el mismo exponente:

     \[ a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n\]

7Cociente de potencias con el mismo exponente:

     \[ a^n : b^n = (a : b)^n\]

Propiedades de las raíces

1 Raíz exacta: la raíz cuadrada exacta tiene resto 0, es decir

    \[ Radicando= (Raíz)^2 \]

Por ejemplo:

    \[ \sqrt{25} = 5 \quad \Rightarrow \quad 25 = 5^2 \]

2Raíz entera: la raíz cuadrada es entera, siempre que el radicando no sea un cuadrado perfecto. Si un número no es cuadrado perfecto su raíz es entera. En este caso

     \[ Radicando= (Raíz)^{2} + Resto \]

Por ejemplo:

    \[ 17 = 4^2 + 1 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{17} \approx 4\]

Prioridades en las operaciones

Ahora presentamos el orden de prioridad en las operaciones con números naturales:

 Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.

Calcular las potencias y raíces.

Efectuar los productos y cocientes.

Realizar las sumas y restas.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗