Definición del método de Gauss
El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente
de forma que este sea escalonado.
Para facilitar el cálculo vamos a transformar el sistema en una matriz, en la que pondremos
los coeficientes de las variables y los términos independientes (separados por una recta).
Sistemas de ecuaciones equivalentes
Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes si se cumple que:
1 Todos los coeficientes son ceros.
2 Dos filas son iguales.
3 Una fila es proporcional a otra.
4 Una fila es combinación lineal de otras.
Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones
1 Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente.
2 Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente.
3 Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo
sistema, el sistema resultante es equivalente al dado.
4 Si en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos
ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos,
resulta otro sistema equivalente al primero.
5 Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente.
Ejemplo: 
Sumamos 
en ambos lados de la primera ecuación y se obtiene
Por el primer criterio de equivalencia tenemos que el sistema original es equivalente con el sistema
Ejemplo:
Multiplicamos por 
ambos lados de las ecuaciones y por el segundo criterio de equivalencia se tiene que el sistema original es equivalente con el nuevo sistema obtenido
Ejemplo:
A la tercera ecuación le sumamos la segunda ecuacíon, se obtiene un sistema de ecuaciones que por el criterio 3 es equivalente con el sistema original
Ejemplo:
Sustituimos la segunda ecuación por la suma de la primera ecuación con la segunda ecuación multiplicada por tres. Se obtiene un sistema de ecuaciones que por el criterio 4 es equivalente con el sistema original
Ejemplo:
Intercambiamos la segunda y tercera ecuación. Se obtiene un sistema de ecuaciones que por el criterio 5 es equivalente con el sistema original
Para resolver un sistema de ecuaciones, empleamos los criterios anteriores como veremos en los siguientes ejercicios
Ejercicios de sistemas de ecuaciones
1 Escribimos en forma matricial
2 Reemplazamos la fila 
por 
y obtenemos por el criterio 4 la matriz equivalente
3 Reemplazamos la fila 
por 
y obtenemos por el criterio 4 la matriz equivalente
4 Reemplazamos las filas 
por 
respectivamente y obtenemos por el criterio 4 la matriz equivalente
5 Tenemos que el sistema original es compatible determinado y sus soluciones son
1 Escribimos en forma matricial
2 Reemplazamos la fila por 
y obtenemos por el criterio 4 la matriz equivalente
3 Reemplazamos la fila por 
y obtenemos por el criterio 4 la matriz equivalente
4 Reemplazamos las filas por 
respectivamente y obtenemos por el criterio 4 la matriz equivalente
5 Tenemos que el sistema original es compatible determinado y sus soluciones son
1 Escribimos en forma matricial
2 Reemplazamos la fila por 
y obtenemos por el criterio 4 la matriz equivalente
3 Reemplazamos la fila por 
y obtenemos por el criterio 4 la matriz equivalente
4 Reemplazamos las filas por 
respectivamente y obtenemos por el criterio 4 la matriz equivalente
5 Tenemos que el sistema original es compatible determinado y sus soluciones son
1 Escribimos en forma matricial
2 Reemplazamos la fila por 
y obtenemos por el criterio 4 la matriz equivalente
3 Reemplazamos la fila por 
y obtenemos por el criterio 4 la matriz equivalente
4 Reemplazamos las filas por 
respectivamente y obtenemos por el criterio 4 la matriz equivalente
5 Tenemos que el sistema original es compatible determinado y sus soluciones son
1 Escribimos en forma matricial
2 Reemplazamos las filas 
por 
respectivamente y obtenemos por el criterio 4 la matriz equivalente
3 Intercambiamos las filas 
y 
y obtenemos por el criterio 5 la matriz equivalente
4 Reemplazamos las filas 
por 
respectivamente y obtenemos por el criterio 4 la matriz equivalente
5 Reemplazamos la fila por 
respectivamente y obtenemos por el criterio 4 la matriz equivalente
6 Reemplazamos las filas 
por 
respectivamente y obtenemos por el criterio 2 la matriz equivalente
7 Tenemos que el sistema original es compatible determinado y sus soluciones son
1 Escribimos en forma matricial
2 Reemplazamos las filas por 
respectivamente y obtenemos por el criterio 4 la matriz equivalente
3 Reemplazamos las filas por 
respectivamente y obtenemos por el criterio 4 la matriz equivalente
4 Reemplazamos las filas por 
respectivamente y obtenemos por el criterio 4 la matriz equivalente
5 Reemplazamos las filas por 
respectivamente y obtenemos por el criterio 2 la matriz equivalente
6 Tenemos que el sistema original es compatible determinado y sus soluciones son
1 Escribimos en forma matricial
2 Intercambiamos las filas 
y y obtenemos por el criterio 5 la matriz equivalente
3 Reemplazamos las filas por 
respectivamente y obtenemos por el criterio 4 la matriz equivalente
4 Reemplazamos las filas por 
respectivamente y obtenemos por el criterio 4 la matriz equivalente
5 Reemplazamos las filas por 
respectivamente y obtenemos por el criterio 4 la matriz equivalente
6 Reemplazamos las filas por 
respectivamente y obtenemos por el criterio 2 la matriz equivalente
7 Tenemos que el sistema original es compatible determinado y sus soluciones son
1 Escribimos en forma matricial
2 Intercambiamos las filas y y obtenemos por el criterio 5 la matriz equivalente
3 Reemplazamos las filas por 
respectivamente y obtenemos por el criterio 4 la matriz equivalente
4 Reemplazamos las filas por 
respectivamente y obtenemos por el criterio 4 la matriz equivalente
5 Reemplazamos las filas por 
respectivamente y obtenemos por el criterio 4 la matriz equivalente
6 Reemplazamos las filas por 
respectivamente y obtenemos por el criterio 2 la matriz equivalente
7 Tenemos que el sistema original es compatible determinado y sus soluciones son
1 Escribimos en forma matricial
2 Intercambiamos las filas y y obtenemos por el criterio 5 la matriz equivalente
3 Reemplazamos las filas por respectivamente y obtenemos por el criterio 4 la matriz equivalente
4 Reemplazamos las filas por 
respectivamente y obtenemos por el criterio 4 la matriz equivalente
5 Reemplazamos las filas por 
respectivamente y obtenemos por el criterio 4 la matriz equivalente
6 Obtenemos el sistema compatible indeterminado que es equivalente al sistema original
7 Multiplicamos la segunda ecuación por 
y por el criterio 2 se obtiene el sistema equivalente
8 Haciendo 
y 
se obtiene
1 Escribimos en forma matricial
3 Reemplazamos las filas 
por 
respectivamente y obtenemos por el criterio 4 la matriz equivalente
4 Reemplazamos las filas 
por 
respectivamente y obtenemos por el criterio 4 la matriz equivalente
5 Reemplazamos las filas 
por 
respectivamente y obtenemos por el criterio 4 la matriz equivalente
6 Como en la última fila los coeficientes son cero y el coeficiente libre es distinto de cero, se tiene que el sistema es incompatible
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no entiendo esto debe d e explicarlo mucho mejor no entiendo el método de gramer esta enredado debe mejorar para que sea entendible
Hola lamentamos el que no puedas entender, tratamos de adaptarnos a la mayoría de personas posible, pero hay casos como el tuyo en que no lo logramos, pero nos ponemos en disposición para cualquier duda, si hay un ejercicio en particular que no entiendas por este medio podemos ayudarte a explicarlo mejor, en el caso de la regla de Cramer menciona un ejemplo que no entendiste y te lo explicamos.
es posible que en el ejercicio de discutir un sistema con parámetros, usando la forma de roche este mal copiada o haya un error en la matriz de los coeficientes, en la columna 2 fila 3 hay un 1 y creo que debería haber un 2?
Hola revise los ejercicios y no encontré el error que mencionas, podrías decirme que numero de ejercicio es para poder rectificarlo, nos seria de mucha ayuda.
Resultado de este ejercicios de sistemas de Gauss con matrices:x+y+z=3
2x+4y+z=4
3x-y+z=1
Me podrían ayudar a resolverlo
Si tengo tres rectas donde dos se superponen (hasta acá el sistema es compatible indeterminado), pero una tercer recta las cruza, es sistema se convierte es compatible determinado por haber un punto de intersección entre las tres rectas o continúa siendo compatible indeterminado por las infinitas soluciones de dos de las tres rectas?
Hola como la tercera recta intercepta a las otras dos que están superpuestas, lo hace en un solo punto, entonces solo hay una sola solución que corresponde a las tres rectas, pues para que hubiera una infinidad de puntos de respuesta las tres rectas tendrían que ser superpuestas.