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Definición del método de Gauss
El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente
de forma que este sea escalonado.
Para facilitar el cálculo vamos a transformar el sistema en una matriz, en la que pondremos
los coeficientes de las variables y los términos independientes (separados por una recta).
Sistemas de ecuaciones equivalentes
Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes si se cumple que:
1 Todos los coeficientes son ceros.
2 Dos filas son iguales.
3 Una fila es proporcional a otra.
4 Una fila es combinación lineal de otras.
Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones
1 Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente.
2 Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente.
3 Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo
sistema, el sistema resultante es equivalente al dado.
4 Si en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos
ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos,
resulta otro sistema equivalente al primero.
5 Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente.
Ejemplo:
Sumamos en ambos lados de la primera ecuación y se obtiene
Por el primer criterio de equivalencia tenemos que el sistema original es equivalente con el sistema
Ejemplo:
Multiplicamos por ambos lados de las ecuaciones y por el segundo criterio de equivalencia se tiene que el sistema original es equivalente con el nuevo sistema obtenido
Ejemplo:
A la tercera ecuación le sumamos la segunda ecuacíon, se obtiene un sistema de ecuaciones que por el criterio 3 es equivalente con el sistema original
Ejemplo:
Sustituimos la segunda ecuación por la suma de la primera ecuación con la segunda ecuación multiplicada por tres. Se obtiene un sistema de ecuaciones que por el criterio 4 es equivalente con el sistema original
Ejemplo:
Intercambiamos la segunda y tercera ecuación. Se obtiene un sistema de ecuaciones que por el criterio 5 es equivalente con el sistema original
Para resolver un sistema de ecuaciones, empleamos los criterios anteriores como veremos en los siguientes ejercicios
Ejercicios de sistemas de ecuaciones
1
1 Escribimos en forma matricial
2 Intercambiamos las filas y
y obtenemos por el criterio 5 la matriz equivalente
3 Reemplazamos las filas por
respectivamente y obtenemos por el criterio 4 la matriz equivalente
4 Reemplazamos las filas por
respectivamente y obtenemos por el criterio 4 la matriz equivalente
5 Reemplazamos las filas por
respectivamente y obtenemos por el criterio 4 la matriz equivalente
6 Reemplazamos las filas por
respectivamente y obtenemos por el criterio 2 la matriz equivalente
7 Tenemos que el sistema original es compatible determinado y sus soluciones son
2
1 Escribimos en forma matricial
2 Intercambiamos las filas y
y obtenemos por el criterio 5 la matriz equivalente
3 Reemplazamos las filas por
respectivamente y obtenemos por el criterio 4 la matriz equivalente
4 Reemplazamos las filas por
respectivamente y obtenemos por el criterio 4 la matriz equivalente
5 Reemplazamos las filas por
respectivamente y obtenemos por el criterio 4 la matriz equivalente
6 Obtenemos el sistema compatible indeterminado que es equivalente al sistema original
7 Multiplicamos la segunda ecuación por y por el criterio 2 se obtiene el sistema equivalente
8 Haciendo y
se obtiene
3
1 Escribimos en forma matricial
3 Reemplazamos las filas por
respectivamente y obtenemos por el criterio 4 la matriz equivalente
4 Reemplazamos las filas por
respectivamente y obtenemos por el criterio 4 la matriz equivalente
5 Reemplazamos las filas por
respectivamente y obtenemos por el criterio 4 la matriz equivalente
6 Como en la última fila los coeficientes son cero y el coeficiente libre es distinto de cero, se tiene que el sistema es incompatible
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Buenos dias, queria saber si el posible mediante Gauss-Jordan el siguiente problema:
5 4 l -30
-2 3 l -11
Que hago cuando estoy solucionando un 4×4, no hay un 1 en algunas de las columnas para conseguir el cero. Por el método de gauss jordan
Que hago cuando estoy solucionando un 4×4, no hay un 1 en algunas de las columnas para conseguir el cero. Por el método de gauss jordan
x+3y=4. con el método de Gauss-Jordan en matrices
a x+by=0
x+3y=1-4a
Me podrian ayudar pfa sisitema x el metado de Gauss
×+y+z=1
2×+3y-4z=9
×-y+2=1