Definición del método de Gauss

El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente
de forma que este sea escalonado.

Para facilitar el cálculo vamos a transformar el sistema en una matriz, en la que pondremos
los coeficientes de las variables y los términos independientes (separados por una recta).

 

 

Sistema de m ecuaciones con n incógnitas representado como matriz

 

Sistemas de ecuaciones equivalentes

 

Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes si se cumple que:

 

  • Todos los coeficientes son ceros.
  • Dos filas son iguales.
  • Una fila es proporcional a otra.
  • Una fila es combinación lineal de otras.

 

Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones

 

 

1 Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una
misma expresión, el sistema resultante es equivalente.

 

2  Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por
un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente.

 

3 Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo
sistema, el sistema resultante es equivalente al dado.

 

Sin en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos
ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos,
resulta otro sistema equivalente al primero.

 

5  Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas,
resulta otro sistema equivalente.

 

 

Ejemplos de sistemas de ecuaciones

 

Caso 1: sistema compatible determinado

 

3x+ 2y+ z=1
5x+ 3y+ 4z=2
x+ y− z=1

 

    \[Mat_{3x4} = \left[ \begin{array}{cccc} 3 & 2 & 1 & : 1  \\ 5 & 3 & 4 & :2 \\ 1 & 1&  -1 & :1  \\ \end{array} \right]  \ \ \ \ \ \  \frac{f_1 \rightarrow f_3} { \rightarrow}   \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 1&  -1 & :1  \\ 5 & 3 & 4 & :2 \\ 3 & 2 & 1 & : 1 \\ \end{array} \right]\]

 

 

    \[\frac{f_2 - 5f_1} { \rightarrow}   \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 1&  -1 & :1  \\ 0 & -2 & 9 & :-3 \\ 3 & 2 & 1 & : 1 \\ \end{array} \right] \ \ \ \ \ \  \frac{f_3 - 3f_1} { \rightarrow}   \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 1&  -1 & :1  \\ 0 & -2 & 9 & :-3 \\ 0 & -1 & 4 & : -2 \\ \end{array} \right] \]

 

 

    \[   \frac{f_2 \rightarrow f_3} { \rightarrow}   \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 1&  -1 & :1  \\ 0 & -1 & 4 & : -2 \\ 0 & -2 & 9 & :-3 \\ \end{array} \right] \ \ \ \ \ \  \frac{ -f_2 } { \rightarrow}   \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 1&  -1 & :1  \\ 0 & 1 & -4 & : 2 \\ 0 & -2 & 9 & :-3 \\ \end{array} \right] \]

 

 

    \[  \frac{ f_1 - f_2 } { \rightarrow}   \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0  &  3 & :-1  \\ 0 & 1  & -4 & : 2 \\ 0 & -2 & 9 & :-3 \\ \end{array} \right]  \ \ \ \ \ \  \frac{ f_3 + 2f_2 } { \rightarrow}   \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0  &  3 & :-1  \\ 0 & 1  & -4 & : 2 \\ 0 & 0 &  1 & :1 \\ \end{array} \right]\]

 

 

    \[\frac{ f_1 - 3f_3 } { \rightarrow}   \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0  &  0 & :-4  \\ 0 & 1  & -4 & : 2 \\ 0 & 0 &  1 & :1 \\ \end{array} \right]  \ \ \ \ \ \  \frac{ f_2 + 4f_3 } { \rightarrow}   \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0  &  0 & :-4  \\ 0 & 1  & 0 & : 6 \\ 0 & 0 &  1 & :1 \\ \end{array} \right]\]

 

Sistema compatible determinado

 

 

Caso 2: sistema compatible indeterminado

 

Sistema de ecuaciones propuesto

 

Sistema de ecuaciones de forma matricial

 

Metodo de Gauss - Jordan : Primeras OEF

 

Operaciones elementales de filas

 

Metodo de Gauss - Jordan : Operaciones elementales de filas

 

Sistema resultante de la matriz

 

Sistema compatible indeterminado

 

Representación de landa y mi

 

Ecuación respecto a la variable z

 

Ecuación respecto a la variable y

 

Ecuación respecto a la variable x

 

Caso 3: sistema incompatible

 

Sistema de 4 ecuaciones y 3 incógnitas

 

Sistema de 4 ecuaciones y 3 incógnitas como matriz

 

Método de Gauss: Operaciones elementales de filas

 

 Operaciones elementales de filas

 

Matriz equivalente

 

Sistema compatible

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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