Name: Metodo de Gauss &#8211; Jordan
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Definición del método de Gauss
Sistemas de ecuaciones equivalentes
Ejemplos de sistemas de ecuaciones

Definición del método de Gauss

El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente
de forma que este sea escalonado.

Para facilitar el cálculo vamos a transformar el sistema en una matriz, en la que pondremos
los coeficientes de las variables y los términos independientes (separados por una recta).

Sistema de m ecuaciones con n incógnitas representado como matriz

Sistemas de ecuaciones equivalentes

Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes si se cumple que:

Todos los coeficientes son ceros.
Dos filas son iguales.
Una fila es proporcional a otra.
Una fila es combinación lineal de otras.

Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones

1 Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una
misma expresión, el sistema resultante es equivalente.

2 Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por
un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente.

3 Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo
sistema, el sistema resultante es equivalente al dado.

4 Sin en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos
ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos,
resulta otro sistema equivalente al primero.

5 Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas,
resulta otro sistema equivalente.

Ejemplos de sistemas de ecuaciones

Caso 1: sistema compatible determinado

3x	+ 2y	+ z	=	1
5x	+ 3y	+ 4z	=	2
x	+ y	− z	=	1

$Mat_{3x4} = \left[ \begin{array}{cccc} 3 & 2 & 1 & : 1 \\ 5 & 3 & 4 & :2 \\ 1 & 1& -1 & :1 \\ \end{array} \right] \ \ \ \ \ \ \frac{f_1 \rightarrow f_3} { \rightarrow} \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 1& -1 & :1 \\ 5 & 3 & 4 & :2 \\ 3 & 2 & 1 & : 1 \\ \end{array} \right]$

$\frac{f_2 - 5f_1} { \rightarrow} \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 1& -1 & :1 \\ 0 & -2 & 9 & :-3 \\ 3 & 2 & 1 & : 1 \\ \end{array} \right] \ \ \ \ \ \ \frac{f_3 - 3f_1} { \rightarrow} \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 1& -1 & :1 \\ 0 & -2 & 9 & :-3 \\ 0 & -1 & 4 & : -2 \\ \end{array} \right]$

$\frac{f_2 \rightarrow f_3} { \rightarrow} \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 1& -1 & :1 \\ 0 & -1 & 4 & : -2 \\ 0 & -2 & 9 & :-3 \\ \end{array} \right] \ \ \ \ \ \ \frac{ -f_2 } { \rightarrow} \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 1& -1 & :1 \\ 0 & 1 & -4 & : 2 \\ 0 & -2 & 9 & :-3 \\ \end{array} \right]$

$\frac{ f_1 - f_2 } { \rightarrow} \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & :-1 \\ 0 & 1 & -4 & : 2 \\ 0 & -2 & 9 & :-3 \\ \end{array} \right] \ \ \ \ \ \ \frac{ f_3 + 2f_2 } { \rightarrow} \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & :-1 \\ 0 & 1 & -4 & : 2 \\ 0 & 0 & 1 & :1 \\ \end{array} \right]$

$\frac{ f_1 - 3f_3 } { \rightarrow} \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & :-4 \\ 0 & 1 & -4 & : 2 \\ 0 & 0 & 1 & :1 \\ \end{array} \right] \ \ \ \ \ \ \frac{ f_2 + 4f_3 } { \rightarrow} \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & :-4 \\ 0 & 1 & 0 & : 6 \\ 0 & 0 & 1 & :1 \\ \end{array} \right]$