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Operaciones variadas con números enteros
Ordenar, en sentido creciente, decreciente y representar gráficamente los siguientes números enteros:
1 -4, -1, 3, 2
2 -4, -1, 0, -7
3 2, 1, -1, 5 -3
4 −4, 6, −2, 1, −5, 0, 9
5 8, −6, −5, 3, − 2, 4, −4, 0, 7
1 -4, -1, 3, 2
Sentido creciente: − 4 < − 1 < 2 < 3
Sentido decreciente: 3 > 2 > -1 > -4
Representación gráfica
2 -4, -1, 0, -7
Sentido creciente: − 7 < − 4 < -1 < 0
Sentido decreciente: 0 > -1 > -4 > -7
Representación gráfica
3 2, 1, -1, 5, -3
Sentido creciente: − 3 < − 1 < 1 < 2 < 5
Sentido decreciente: 5 > 2 > 1 > -1 > -3
Representación gráfica
4 −4, 6, −2, 1, −5, 0, 9
Sentido creciente: − 5 < − 4 < − 2 < 0 < 1 < 6 < 9
Sentido decreciente: 9 > 6 > 1 > 0 > -2 > -4 > -5
Representación gráfica
5 8, −6, −5, 3, − 2, 4, −4, 0, 7
Sentido creciente: − 6 < − 5 < − 4 < − 2 < 0 < 3 < 4 < 7 < 8
Sentido decreciente: 8 > 7 > 4 > 3 > 0 > -2 > -4 > -5 > -6
Representación gráfica
Valor absoluto y valor opuesto
Calcular los opuestos y los valores absolutos de los siguientes números enteros:
1 -4, -1, 3, 2
2 -4, -1, 0, -7
3 2, 1, -1, 5 -3
4 −4, 6, −2, 1, −5, 0, 9
5 8, −6, −5, 3, − 2, 4, −4, 0, 7
1 -4, -1, 3, 2
Calculamos los opuestos:
-4 → -(-4)=4
-1 → -(-1)=1
3 → -(3)=-3
2 → -(2)=-2
Calculamos los valores absolutos:
|-4|=4
|-1|=1
|3|=3
|2|=2
2 -4, -1, 0, -7
Calculamos los opuestos:
-4 → -(-4)=4
-1 → -(-1)=1
0 → -(0)=0
-7 → -(-7)=7
Calculamos los valores absolutos:
|-4|=4
|-1|=1
|0|=0
|-7|=7
3 2, 1, -1, 5, -3
Calculamos los opuestos:
2 → -(2)=-2
1 → -(1)=-1
-1 → -(-1)=1
5 → -(5)=-5
-3 → -(-3)=3
Calculamos los valores absolutos:
|2|=2
|1|=1
|-1|=1
|5|=5
|-3|=3
4 −4, 6, −2, 1, −5, 0, 9
Calculamos los opuestos:
-4 → -(-4)=4
6 → -(6)=-6
-2 → -(-2)=2
1 → -(1)=-1
-5 → -(-5)=5
0 → -(0)=0
9 → -(9)=-9
Calculamos los valores absolutos:
|-4|=4
|6|=6
|-2|=2
|1|=1
|-5|=5
|0|=0
|9|=9
5 8, −6, −5, 3, − 2, 4, −4, 0, 7
Calculamos los opuestos:
8 → -(8)=-8
-6 → -(-6)=6
-5 → -(-5)=5
3 → -(3)=-3
-2 → -(-2)=2
4 → -(4)=-4
-4 → -(-4)=4
0 → -(0)=0
7 → -(7)=-7
Calculamos los valores absolutos:
|8|=8
|-6|=6
|-5|=5
|3|=3
|-2|=2
|4|=4
|-4|=4
|0|=0
|7|=7
Factorizar
Sacar factor común en las expresiones:
1 3 · 2 + 3 · (−5) =
2 (−2) · 12 + (−2) · (−6) =
3 8 · 5 + 8 =
4 3 · 2 + 2 =
5 (−3) · (−2) + (−3) · (−5) =
Para este ejercicio haremos uso de la propiedad distributiva a(b+c)= a·b + a·c
1 Solución directa: 3 · 2 + 3 · (−5) = 6 + (-15)= 6 - 15 = - 9
Factorización : Podemos observar que el factor común es el 3, lo extraemos usando la propiedad distributiva
3( 2 + (-5) )
Comprobación :
3(2+(-5)) = 3(2-5)=3(-3)= -9
2 (−2) · 12 + (−2) · (−6) = - 24 + 12 = -12
Factorización : Podemos observar que el factor común es el -2, lo extraemos usando la propiedad distributiva
-2( 12 + (-6) )
Comprobación :
-2( 12 + (-6) ) = -2( 12-6)= -2(6)=-12
3 8 · 5 + 8 = 40 + 8 = 48
Factorización : Podemos observar que el factor común es el 8, lo extraemos usando la propiedad distributiva
8( 5+1 )
Comprobación :
8( 5+1 ) =8(6)=48
4 3 · 2 + 2 = 6+ 2 = 8
Factorización : Podemos observar que el factor común es el 2, lo extraemos usando la propiedad distributiva
2( 3+1 )
Comprobación :
2( 3+1 ) =2(4)=8
5 (−3) · (−2) + (−3) · (−5) = 6 + 15 = 21
Factorización : Podemos observar que el factor común es el -3, lo extraemos usando la propiedad distributiva
-3( (-2)+(-5) )
Comprobación :
-3( (-2)+(-5) ) = -3(-2-5)= -3(-7)=21
Operaciones básicas con números enteros
Realizar las siguientes operaciones con números enteros:
1 2 − (-3) -(-1)
2 -4 − 3 -(-5)
3 (3 − 8) + [5 − (−2)]
4 5 − [6 − 2 − (1 − 8) −3 + 6] + 5
5 [12 : 2] : 3
6 9 : [6 : (− 2)]
7 [24 : (-3)]: [16 : (− 4)]
8 [(−2)5 − (−3)³]²
9 (5 + 3 · 2 : 6 − 4 ) · (4 : 2 − 3 + 6) : (7 − 8 : 2 − 2)²
10 [(17 − 15)³ + (7 − 12)²] : [(6 − 7) · (12 − 23)]
1 2 − (-3) -(-1) =
Escribimos el opuesto de (−3) y (-1)
= 2 + 3+1 =
Realizamos la suma
= 2+3+1 = 6
2 -4 − 3 -(-5) =
Escribimos el opuesto de (−5)
= -4 - 3+5 =
Realizamos la suma y resta
= -4-3+5 = -2
3 (3 − 8) + [5 − (−2)] =
Escribimos el opuesto de (−2)
= −5 + (5 + 2) =
Operamos en el paréntesis
= −5 + 7 = 2
4 5 − [6 − 2 − (1 − 8) − 3 + 6] + 5 =
Operamos en paréntesis
= 5 − [6 − 2 − (−7) − 3 + 6] + 5 =
Calculamos el opuesto de (−7)
= 5 − (6 − 2 + 7 − 3 + 6) + 5 =
Operamos en el paréntesis y tomamos el opuesto del resultado
= 5 − 14 + 5 = −4
5 [12 : 2] : 3 =
Realizamos la división del corchete
= [12 : 2]:3 = 6:3
Realizamos la división restante
= 6:3=2
6 9 : [6 : (−2)] =
Realizamos la división del corchete
= 9 : [6 : (−2)]=9 : (−3)
Realizamos la división restante
= 9 : (−3)=-3
7 [24 : (-3)]: [16 : (− 4)] =
Realizamos la división de los corchetes
= [24 : (-3)]: [16 : (− 4)]=-8 : (−4)
Realizamos la división restante
= -8 : (−4)=2
8 [(−2)5 − (−3)³]² =
Realizamos las potencias de los paréntesis. Para (−2)5 calculamos de la manera siguiente: (-2)(-2) = 4. 4(-2) = -8. -8 (-2) = 16. 16 (-2) = -32. Para (−3)³, siguiendo la misma manera de calcular, tenemos (-3)(-3) = 9. 9 (-3) = -27
= [−32 − (−27)]² =
Dehacemos paréntesis
= (−32 + 27)² =
Realizamos la operación y elevamos al cuadrado
= (−5)² = 25
9 (5 + 3 · 2 : 6 − 4 ) · (4 : 2 − 3 + 6) : (7 − 8 : 2 − 2)² =
Realizamos 3 · 2 (primero haremos la multiplicación) y las divisiones
= (5 + 6 : 6 − 4 ) · (2 − 3 + 6) : (7 − 4 − 2)² =
Efectuamos la división
= (5 + 1 − 4 ) · (2 − 3 + 6) : (7 − 4 − 2)² =
Operamos en cada paréntesis
= 2 · 5 : 1² =
Elevamos al cuadrado
= 2 · 5 : 1 =
Primero tenemos que multiplicar y después dividiremos
= 10 : 1 =10
10 [(17 − 15)³ + (7 − 12)²] : [(6 − 7) · (12 − 23)]
Operamos en los paréntesis
= [(2)³ + (−5)²] : [(−1) · (−11)]
Realizamos las potencias
= (8 + 25) : [(−1) · (−11)] =
Operamos en el paréntesis y en el corchete y dividimos los resultados
= 33 : 11 = 3
Jerarquía de operaciones
Realizar las siguientes operaciones con números enteros:
1 10:5+2
2 10+6:3
3 6 · 3+6:3
4 18:6- 4· 3
5(7 − 2 + 4) − (2 − 5)
6 1 − (5 − 3 + 2) − [5 − (6 − 3 + 1) − 2]
7 −12 · 3 + 18 : (−12 : 6 + 8)
82 · [( −12 + 36) : 6 + (8 − 5) : (−3)] - 6
9 [(−2)5 · (−3)2] : (−2)2 = (−32 · 9) : 4
10 6 + {4 − [(17 − (4 · 4)] + 3} − 5
1 10:5+2 =
Realizamos la división
= 10:5+2 = 2+2
Realizamos la suma
= 2+2 = 4
2 10+6:3 =
Realizamos la división
= 10+6:3 = 10+2
Realizamos la suma
= 10+2 = 12
3 6 · 3+6:3 =
Realizamos la multiplicación y división
= 6 · 3+6:3 = 18+2
Realizamos la suma
= 18+2 = 20
4 18:6- 4· 3 =
Realizamos la multiplicación y división
= 18:6- 4· 3 = 3-12
Realizamos la resta
= 3-12 = -9
5 (7 − 2 + 4) − (2 − 5) =
Operamos en los paréntesis
= 9 − (−3) =
Tomamos el opuesto de (−3)
= + 3 = 12
6 1 − (5 − 3 + 2) − [5 − (6 − 3 + 1) − 2] =
Operamos en los paréntesis
= 1 − (4) − [5 − (4) − 2] =
Tomamos los opuestos de los dos 4
= 1 − 4 − (5 − 4 − 2) =
Operamos el paréntesis
= 1 − 4 − 5 + 4 + 2 =Sumamos el 4 con su inverso
= 1 − 5 + 2 = −2
7 −12 · 3 + 18 : (−12 : 6 + 8) =
Realizamos la división del paréntesis
= − 12 · 3 + 18 : (−2 + 8) =
Operamos en el paréntesis
= −12 · 3 + 18 : 6 =
Realizamos la multiplicación y la división
= −36 + 3 = −33
8 2 · [( −12 + 36) : 6 + (8 − 5) : (−3)] − 6 =Realizamos las operaciones en los dos primeros paréntesis
= 2 · [24 : 6 + 3 : (−3)] − 6 =
Efectuamos las divisiones
= 2 · [ 4 + (−1)] − 6 =
Operamos en el corchete
= 2 · 3 − 6 =
Hacemos el producto
= 6 − 6 = 0
9 [(−2)5 · (−3)²] : (−2)² =
Realizamos las potencias
= (−32 · 9) : 4 =
Operamos en el paréntesis
= −288 : 4 = −72
10 6 + {4 − [(17 − (4 · 4)] + 3} − 5 =
Realizamos el producto
= 6 + [4 − (17 − 16) + 3] − 5 =
Operamos en el paréntesis y le hacemos el opuesto
= 6 + (4 − 1 + 3) − 5 =
Operamos en el paréntesis
= 6 + 6 − 5 = 7
Soluciones fuera y dentro del conjunto de números reales
Calcula el resultado de la potencia y después verifica si dicho resultado tiene raíz cuadrada existente en los números reales:
1 (−2)²
2 (−4)²
3 (−9)²
4 (−5)3
5 (−3)5
6 (−1)7
7 (−3)² · (−3)
8 
9 (−2)³
10 
1(−2)² = 4
La raíz cuadrada de 4 es ± 2
2(−4)² = 16
La raíz cuadrada de 16 es ± 4
3(−9)² = 81
La raíz cuadrada de 81 es ± 9
4(−5)3 = −125
La raíz cuadrada de -125 no existe en los reales, por lo tanto dicha raíz no tiene solución en el conjunto de los números reales
En general, no existe la raíz cuadrada de un número negativo porque no existe ningún número que elevado al cuadrado tenga signo negativo
5 (−3)5 = −243
La raíz cuadrada de -243 no existe en los reales, por lo tanto dicha raíz no tiene solución en el conjunto de los números reales
En general, no existe la raíz cuadrada de un número negativo porque no existe ningún número que elevado al cuadrado tenga signo negativo
6 (−1)7 = −1
La raíz cuadrada de -1 no existe en los reales, por lo tanto dicha raíz no tiene solución en el conjunto de los números reales
En general, no existe la raíz cuadrada de un número negativo porque no existe ningún número que elevado al cuadrado tenga signo negativo
7 (−3)² · (−3) =
Realizamos el producto de las potencias y elevamos al cubo
= (−3)³ = −27
La raíz cuadrada de -27 no tiene solución
8 
Realizamos la división de potencias, elevamos al cuadrado y extraemos la raíz
El resultado es 2, y si existe la raíz cuadrada de 2 en los números reales.
9 (−2)³ = −8
La raíz cuadrada de -8 no tiene solución en los reales
10 
Ponemos 8 en forma de potencia, realizamos la potencia de una potencia en el numerador, dividimos las potencias, elevamos a la cuarta y extraemos la raíz
El resultado es 4, y la raiz cuadrada de 4 es ±2.
Operaciones con potencias
Realizar las siguientes operaciones con potencias de números enteros:
1 (−2)² · (−2)³ · (−2)4
2 (−8) · (−2)² · (−2)0 (−2)
3(−2)−2 · (−2)³ · (−2)4
4 2−2 · 2−3 · 24
5 2² : 2³
6 2-2 : 2³
7 2² : 2-3
8 2-2 : 2-3
9 [(−2)− 2] 3 · (−2)³ · (−2)4
10[(−2)6 : (−2)³]³ · (−2) · (−2)−4
Para resolver estos ejercicios se utilizaran las leyes de los exponentes
1 (−2)² · (−2)³ · (−2)4 = (−2)9 = −512
El resultado tendrá signo negativo porque la base es negativa y el exponente es impar
2 (−8) · (−2)² · (−2)0 (−2) =
Primero descomponemos el 8 en factores
(−2)³ · (−2)² · (−2)0 · (−2) = (−2)6 = 64
El resultado tendrá signo positivo porque la base es negativa y el exponente es par
3 (−2)−2 · (−2)³ · (−2)4 = (−2)5 = −32
4 2−2 · 2−3 · 24 = 2−1 = 1/2
Al ser negativo el exponente tenemos que tomar el inverso de la base, es decir, aplicar la ley de signos correspondiente
5 2² : 2³ = 2−1 = 1/2
Al ser negativo el exponente tenemos que tomar el inverso de la base, es decir, aplicar la ley de signos correspondiente
6 2−2 : 2³ = 2−5 = 1/25 = 1/32
7 2² : 2−3 = 25 = 32
8 2−2 : 2−3 = 2
9 [(−2)−2]³ · (−2)³ · (−2)4 = (−2)−6 · (−2)7 = −2
10 [(−2)6 : (−2)³] 3 · (−2)· (−2)−4 = [(−2)³]³ · (−2)−3 = (−2)9 · (−2)−3= (−2)6 = 64
Uso de exponentes en operaciones con enteros
Realizar las siguientes operaciones con potencias de números enteros:
1 (−3)1 · (−3)³ · (−3)4 =
2(−27) · (−3) · (−3)² · (−3)0=
3 (−3)² · (−3)³ · (−3)−4 =
4 3−2 · 3−4 · 34 =
5 5² : 5³ =
6 5-2 : 5³ =
7 5² : 5-3 =
8 5-2 : 5-3 =
9 (−3)1 · [(−3)³]² · (−3)−4 =
10 [(−3)6 : (−3)³]³ · (−3)0 · (−3)−4 =
1 (−3)1 · (−3)³ · (−3)4 = (−3)8 = 6561
2 (−27) · (−3) · (−3)² · (−3)0= (−3)³ · (−3) · (−3)² · (−3)0 = (−3)6 = 729
3 (−3)² · (−3)³ · (−3)−4 = −3
4 3−2 · 3−4 · 34 = 3−2 = 1/3² = 1/9
5 5² : 5³ = 5−1 = 1/5
6 5−2 : 5³ = 5−5 = 1/55 = 1/3125
7 5² : 5−3 = 55 = 3125
8 5−2 : 5−3 = 5
9 (−3)1 · [(−3)³]² · (−3)−4 = (−3)1 · (−3)6· (−3)−4 = (−3)³
Primero calculamos la potencia de una potencia y después multiplicamos
10 [(−3)6 : (−3)³]³ · (−3)0 · (−3)−4 = [(−3)³]³ · (−3)0· (−3)−4 = (−3)9 · (−3)0 · (−3)−4 = (−3)5 =−243
En primer lugar hacemos la división indicada en el corchete, después realizamos la potencia de una potencia y por último multiplicamos las potencias
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Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
Hola , excelente material de estudio, por favor verificar las respuestas de los ejercicios 6 y 7 de los polinomios propuestos , al parecer hay un error en las respuestas. Con todo respeto. gracias
Hola podrías decirme cual es el tema pues el artículo al que me manda es de «Problemas de números enteros con signo» y tu mencionas polinomios, además de que los ejercicios 6 y 7 del tema mencionado están bien.
Me encanto pero me agradaria que pusieran las respuestas para asi poder ver si estan bien
Xq no se acepta el + si es positivo
Hola nuestro deseo es poder contestar todas sus dudas, en este caso para lograrlo necesitamos mas detalles, como por ejemplo si se relaciona con un ejercicio o donde lo viste para si hay un error poder rectificarlo, te lo agradeceríamos mucho.
Hola, se supone que todos los artículos tienen sus respectivas respuestas, si hay alguno que no cumpla con ello por favor dinos cual es y lo corregimos.
me parece un poco estricto que no acepte el + , porque igualmente es positivo.
Hola, entiendo tu opinión, pero en esas cuestiones hay mucha polemica de acuerdo al pensar de muchas personas y tratamos de que sea entendible para la mayor cantidad de personas.