Los números enteros \mathbb{Z} es el conjunto de números conformado por los naturales (también denominados enteros positivos), sus opuestos (enteros negativos) y el cero. Los números enteros son del tipo:

\mathbb{Z}=\{..., -5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5...\}

Orden de los números enteros

Los números enteros están ordenados de forma ascendente. Los criterios para determinar el orden de un subconjunto de número enteros es el siguiente:

1 Todo número negativo es menor que cero. Es decir, si a es un entero negativo entonces  a < 0.

2 Todo número positivo es mayor que cero. Es decir, si a es un entero positivo entonces  a > 0.

3 De dos enteros positivos es mayor el que tiene mayor valor absoluto. Es decir, si a y b son enteros positivos que satisfacen que |a|>|b| entonces a>b.

Por ejemplo,  |5|>|4| lo que significa que 5>4.

4 De dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto. Es decir, si a y b son enteros negativos que satisfacen que |a|>|b| entonces a<b.

Por ejemplo,  |-5|>|-4| lo que significa que -4>-5. Gráficamente, entre más a la derecha esté un número, en la recta numérica,  mayor será.

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Vamos

Suma de números enteros

1 Si los sumandos son del mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le pone el signo común.

Por ejemplo, -4-3 tienen el mismo signo por lo cual se calcula la suma de sus valores absolutos y se le asigna el signo de ambos números es decir -(|-4|+|-3|)=-(7)=-7.

2  Si los sumandos son de signo distinto, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del número de mayor valor absoluto.

Por ejemplo, -43 tienen diferente signo por lo cual se calcula la resta de sus valores absolutos y se le asigna el signo del número de mayor valor absoluto, es decir: -(|-4|-|3|)=(4-3)=-1 (recordemos que asignamos el número negativo pues |-4|>|3|).

Propiedades de la suma

Si a, b \textrm{ y } c\in\mathbb{Z} entonces se satisfacen las siguientes propiedades:

1. Interna:

a+b \in\mathbb{Z}

2. Asociativa:

(a+b)+c=a+(b+c)

3. Conmutativa:

a+b=b+a

4. Elemento neutro:

a+0=a

5. Elemento inverso aditivo

a+(-a)=0

Diferencia de números enteros

La resta de los números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.

a - b = a + (-b)

Propiedades de la resta

1. Interna:

a-b \in\mathbb{Z}

2. No es Conmutativa:

Notemos que 5-3\neq 3-5

 

Multiplicación de números enteros

El producto de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

Regla de los signos

  • El producto de la multiplicación de dos números con el mismo signo siempre es positiva:

(+)(+)=+

(-)(-)=+

  • El producto de la multiplicación de dos números con diferente signo siempre es negativa:

(+)(-)=-

(-)(+)=-

Propiedades de la multiplicación

1. Interna:

a\cdot b \in\mathbb{Z}

2. Asociativa:

(a\cdot b) \cdot c=a\cdot (b \cdot c)

3. Conmutativa:

(a\cdot b) =(b\cdot a)

4. Elemento neutro multiplicativo:

a\cdot 1 =a

5. Distributiva:

a\cdot (b+c) \cdot c=a\cdot b+a\cdot c

6. Sacar factor común:

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.

a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)

Cociente de números enteros

El cociente de dos números enteros es otro número, que tiene como valor absoluto el cociente de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

Propiedades del cociente

1. No es una operación interna:

Notemos que 7\textrm{ y } 3\in\mathbb{Z} pero  \frac{7}{3} no es un número entero.

2. No es Conmutativo.

 

Potencias con exponente entero

Si tenemos que el exponente es un número natural n, entonces este indica las veces que aparece la base a multiplicando por si mismo, por ejemplo

     \begin{align*} a^2 &= a\cdot a \\ a^3 &= a \cdot a \cdot a \\ a^5 &= a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \end{align*}

Regla de los signos de potencias

  • Los números positivos elevados a cualquier potencia son siempre positivos:

(+)^{par}=+

(+)^{impar}=+

  • Si un número es negativo y se eleva a una potencia el signo del valor resultante depende de si la potencia es par o impar:

    (-)^{par}=+

    (-)^{impar}=-

Propiedades de las potencias

1. Números elevados a potencia cero:

(a)^{0}=1 ·

2. Números elevados a la potencia 1:

(a)^{1}=a

3. Producto de potencias con la misma base:

(a)^{m} \cdot (a)^{n}=(a)^{m+n}.

4. División de potencias con la misma base:

\frac{a^{m}} {a^{n}}=a^{m-n}

5. Potencia de una potencia:

(a^{m})^n=(a)^{m \cdot n}

6. Producto de potencias con el mismo exponente:

(a)^{n} \cdot (b)^{n}=(a\cdot b)^{n}.

7. Cociente de potencias con el mismo exponente:

\frac{a^{n}} {b^{n}}=(\frac{a}{b})^{n}.
8. Potencias de exponente entero negativo
Las potencias de exponente negativo se denotan como:

a^{-n}=\frac{1}{a^n}\textrm{ con } a\neq 0

En general, las potencias de exponentes negativos no dan como resultado un número entero.

Radicales

Un radical es una expresión de la forma \sqrt[n]{a}, donde  n\in \mathbb{N} y a \in \mathbb{R}. Ademas a es llamada radicando y n índice. Para que la operación sea valida en los reales si a es negativo, n debe ser impar. En general, la raíz de un número natural no es un número entero.

Raíz cuadrada de un cuadrado perfecto

La raíz cuadrada es la operación inversa a elevar al cuadrado. La raíz cuadrada de un número natural es exacta, siempre que el radicando sea un cuadrado perfecto (un número es un cuadrado perfecto si cuando se descompone en sus factores primos, cada uno de los términos está elevado a una potencia par).

Algunos ejemplos son:

\sqrt[2]{16}=\sqrt[2]{4\cdot 4}=\sqrt[2]{4^2}=4

\sqrt[2]{81}=\sqrt[2]{9\cdot 9}=\sqrt[2]{9^2}=9

\sqrt[2]{36}=\sqrt[2]{6\cdot 6}=\sqrt[2]{6^2}=6

Jerarquía de operaciones

Cuando se realizan un conjunto de operaciones simultaneas es necesaria tener en consideración la jerarquía de las operaciones que se presentan a continuación:

1 Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.

2 Calcular las potencias y raíces.

3 Efectuar los productos y cocientes.

4 Realizar las sumas y restas.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗