Definición y clasificación de los números enteros

El conjunto de los números enteros está formado por:

 

{\mathbb{Z} = \{\dots, -5, -4, -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, 4, 5, \dots\}}

 

Es decir, los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero.

 

Se dividen en tres partes:

 

  • enteros positivos o números naturales
  • enteros negativos
  • cero

 

{\mathbb{Z} = \mathbb{Z}^- \cup \{0\}\cup \mathbb{Z}^+}

 

Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números naturales son un subconjunto de los enteros, {\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}}.

 

Como se muestra a continuación,

 

conjunto de número enteros

 

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Vamos

Valor absoluto de un número entero

 

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al eliminar su signo, es decir,

{|-a| = a}

y

{|a| = a}
El valor absoluto de un número se puede considerar como su distancia desde cero.

Jerarquía de operaciones

 

1 Efectuamos las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.

2 Calculamos las potencias y raíces.

3 Efectuamos los productos y cocientes.

4 Realizamos las sumas y restas.

Suma de números enteros y propiedades

A continuación, ilustramos la suma de números enteros a través de sus propiedades:
1Interna
{a + b \in \mathbb{Z}}
Ejemplo:

{3 + (- 5) \in \mathbb{Z}}
2Asociativa
{(a + b) + c = a + (b + c)}
Ejemplo:

{(2 + 3) + (- 5) = 2 + [3 + (- 5)]}

{5 - 5 = 2 + (- 2)}

{0 = 0}
3Conmutativa
{a + b = b + a }
Ejemplo:

{2 + (- 5) = (- 5) + 2}

{-3 = - 3}
4Elemento neutro
{a + 0 = a}
Ejemplo:

{(- 5) + 0 = - 5}
5Elemento opuesto
{a + (- a) = 0}
Ejemplo:

{5 + (- 5) = 0}

{5 = -(- 5)}

Ejemplos de problemas con números enteros

 

1 Si los números que queremos sumar tienen el mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le pone el signo en común.
{3 + 5 = 8}

{(-3) + (-5) = - 8}

 

2 Si los sumandos tienen distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del número de mayor.
{- 3 + 5 = 2}

{3 + (-5) = -2}

Resta de números enteros y propiedades

 

Resta de los números enteros

 

La diferencia de los números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.

 

{a - b = a + (-b)}
Ejemplo:

{7 - 5 = 2}

{7 + (- 5) = 7 - 2 = 2}

Propiedades de los números enteros

 

1Interna
{a - b \in \mathbb{Z}}
Ejemplo:

{10 - (-5) \in \mathbb{Z}}
2No es conmutativa
{a - b \neq b - a}
Ejemplo:

{5 - 2 \neq 2 - 5}

Multiplicación de números enteros y propiedades

 

Multiplicación de los números enteros

 

La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

 

Regla de los signos

 

Cuando multiplicamos, tenemos que tener cuenta de las siguientes reglas de los signos:

 

{(+) \cdot (+) = +}
{(-)\cdot (-) = +}
{(+)\cdot(-) = -}
{(-)\cdot(+) = -}
Ejemplos:
{(2)\cdot(5) = 10}

{(-2)\cdot(-5) = 10}

{(2)\cdot(-5) = - 10}

{(-2)\cdot(5) = - 10}

Propiedades de la multiplicación de números enteros

 

1Interna
{a \cdot b \in \mathbb{Z}}
Ejemplo:

{2\cdot(-5) \in \mathbb{Z}}
2Asociativa
{(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)}
Ejemplo:

{(2 \cdot 3) \cdot (-5) = 2 \cdot [(3 \cdot (-5)]}

{6 \cdot (-5) = 2 \cdot (-15)}

{-30 = -30}
3Conmutativa
{a \cdot b = b \cdot a }
Ejemplo:

{2 \cdot (- 5) = (-5) \cdot 2}

{-10 = -10}
4Elemento neutro
{a \cdot 1 = a}
Ejemplo:

{(- 5) \cdot 1 = (-5)}
5Distributiva
{a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c}
Ejemplo:

{(-2) \cdot (3 + 5) = (-2) \cdot 3 + (-2) \cdot 5}

{(-2) \cdot 8 = - 6 - 10}

{-16 = -16}
6Sacar factor común
{a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)}
Ejemplo:

{(-2) \cdot 3 + (-2) \cdot 5 = (-2) \cdot (3 + 5)}

División de números enteros y propiedades

 

División de números enteros

 

La división de dos números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el cociente de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

 

{10 : 5 = \frac{10}{5} = 2}

{(-10) : (-5) = \frac{-10}{-5} = 2}

{10 : (-5) = \frac{10}{-5} = -2}

{(-10) : 5 = \frac{-10}{5} = -2}

Propiedades de la división de números enteros

 

1No es una operación interna
{a:b \notin \mathbb{Z}}
Ejemplo:

{(-2): 6 \notin \mathbb{Z}}
2No es Conmutativa
{a:b \neq b : a}
Ejemplo:

{6: (-2) \neq (-2) : 6}

Potencias de número enteros y propiedades

 

Potencias de números enteros

 

La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero, cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicación de las siguientes reglas:

 

1Las potencias de exponente par son siempre positivas.
2 Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.
{(+)^{\mbox{par}} = +}

{(+)^{\mbox{impar}} = +}

{(-)^{\mbox{par}} = +}

{(-)^{\mbox{impar}} = -}

Propiedades de las potencias de números enteros

 

1{a^0 = 1}
2 {a^1 = a}
3 {a^m \cdot a^n = a^{m+n}}

Ejemplo: {(-2)^5\cdot (-2)^2 = (-2)^{5+2} = (-2)^7 = -128}
4 {a^m : a^n = \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}}

Ejemplo: {(-2)^5 : (-2)^2 = \frac{(-2)^5}{(-2)^2} = (-2)^{5-2}= (-2)^3 = -8}
5 {(a^m)^n = a^{mn}}

Ejemplo: {((-2)^3)^2 = (-2)^6 = 64}
6{a^n\cdot b^n = (a\cdotb)^n}

Ejemplo: {(-2)^3\cdot (3)^3 = (-6)^3= -216}
7{a^n : b^n = (a:b)^n}

Ejemplo: {(-6)^3: (3)^3 = (-6:3)^3 = (-2)^3= -8}
8{a^{-n} = \frac{1}{a^n} \,} si {a\neq 0}

Ejemplo: {5^{-2} = \dfrac{1}{5^2} = \dfrac{1}{25}}

 

Ejercicios con potencias

 

1 {3^2\cdot 3^3}

{3^2\cdot 3^3 = 3^{2+3} = 3^5}


2 {\dfrac{3^2}{3^3} = 3^2\cdot 3^{-3}}

{\dfrac{3^2}{3^3} = 3^2\cdot 3^{-3} = 3^{2-3} = 3^{-1} = \dfrac{1}{3}}


3 {\dfrac{3^2}{3^{-3}}}

{\dfrac{3^2}{3^{-3}} = 3^{2-(-3)} = 3^{2+3} = 3^5}


4 {3^{-2}\cdot 3^3}

{3^{-2}\cdot 3^3 = 3^{-2+3} = 3}


5 {3^{-2}\cdot 3^{-3}}

{3^{-2}\cdot 3^{-3} = 3^{-2-3)} = 3^{-5}= \dfrac{1}{3^5}}


6 {\dfrac{3^{-2}}{3^{-3}}}

{\dfrac{3^{-2}}{3^{-3}} = 3^{-2-(-3)} = 3^{-2+3}= 3}


7 {(-3)^1\cdot(-3)^3\cdot(-3)^4}

{(-3)^1\cdot(-3)^3\cdot(-3)^4 = (-3)^{1+3+4} = (-3)^8 = 6561}

8 {(-27)\cdot(-3)\cdot(-3)^2\cdot(-3)^0}

{(-27)\cdot(-3)\cdot(-3)^2\cdot(-3)^0 = (-3)^3\cdot(-3)\cdot(-3)^2\cdot(-3)^0 = (-3)^{3+1+2+0} = (-3)^6 = 729}


9 {(-3)^2\cdot(-3)^3\cdot(-3)^{-4}}

{(-3)^2\cdot(-3)^3\cdot(-3)^{-4}= (-3)^{2+3-4} = -3}


10 {3^{-2}\cdot3^{-4}\cdot3^4}

{3^{-2}\cdot3^{-4}\cdot3^4= 3^{-2-4+4}= 3^{-2} =\dfrac{1}{9}}


11 {5^2:5^3}

{5^2:5^3 = 5^{2-3} = 5^{-1}=\dfrac{1}{5}}


12 {5^{-2}:5^3}

{5^{-2}:5^3 = 5^{-2-3} = 5^{-5}=\dfrac{1}{5^5} = \dfrac{1}{3125}}


13 {5^2:5^{-3}}

{5^2:5^{-3} = 5^{2-(-3)} = 5^{2+3}= 5^5=3125}


14 {5^{-2}:5^{-3}}

{5^{-2}:5^{-3} = 5^{-2-(-3)} = 5^{-2+3}= 5}


15 {(-3)^1\cdot[(-3)^3]^2\cdot(-3)^{-4}}

{(-3)^1\cdot[(-3)^3]^2\cdot(-3)^{-4}=(-3)\cdot(-3)^6\cdot(-3)^{-4}}[latex]{=(-3)^{1+6-4}=(-3)^3=-27}[/latex]


16 {[(-3)^6:(-3)^3]^3\cdot(-3)^0\cdot(-3)^{-4}}

{[(-3)^6:(-3)^3]^3\cdot(-3)^0\cdot(-3)^{-4}=[(-3)^{6-3}]^3\cdot(-3)^0\cdot(-3)^{-4}}
{=[(-3)^{3}]^3\cdot(-3)^0\cdot(-3)^{-4} = (-3)^9\cdot(-3)^0\cdot(-3)^{-4}}
{ = (-3)^{9-4}=(-3)^5 = -243}

Ejercicios resueltos de números enteros

 

Realizar las siguientes operaciones con números enteros

1 {(3 - 8) + [5 - (-2)]}

{(3 - 8) + [5 - (-2)] = - 5 + (5 + 2)= - 5 + 7= 2}


2 {5 - [6 - 2 - (1 - 8) - 3 + 6] + 5}

{5 - [6 - 2 - (1 - 8) - 3 + 6] + 5 = }
{5 - [6 - 2 - (-7) - 3 + 6] + 5 =}
{5 - [6 - 2 + 7 - 3 + 6] + 5 =}
{5 - 14 + 5 = -4}


3 {9 : [6 : (- 2)]}

{9 : [6 : (- 2)] = 9 : (- 3) = -3}


4 {[(-2)^5-(-3)^3]^2}

{[(-2)^5-(-3)^3]^2 = }
{[- 32 - (- 27)]^2 = (-32 + 27)^2 =}
{(-5)^2 = 25}


5 {(5 + 3 \cdot 2 : 6 - 4 ) \cdot (4 : 2 - 3 + 6) : (7 - 8 : 2 - 2)^2}

{(5 + 3 \cdot 2 : 6 - 4 ) \cdot (4 : 2 - 3 + 6) : (7 - 8 : 2 - 2)^2 = }
{(5 + 6 : 6 - 4 ) \cdot (4 : 2 - 3 + 6) : (7 - 8 : 2 - 2)^2 =}
{(5 + 1 - 4 ) \cdot (2 - 3 + 6) : (7 - 4 - 2)^2 =}
{ 2 \cdot 5 : 1^2 = 10 : 1 = 10}


6 {[(17 - 15)^3 + (7 - 12)^2] : [(6 - 7) \cdot (12 - 23)]}

{[(17 - 15)^3 + (7 - 12)^2] : [(6 - 7) \cdot (12 - 23)] = }
{[(2)^3 + (-5)^2] : [(-1) \cdot (-11)] =}
{(8 + 25) : [(-1) \cdot (-11)] =}
{(8 + 25) : 11 = 33: 11 = 3}


7 {(7 - 2 + 4) - (2 - 5)}

{(7 - 2 + 4) - (2 - 5) = 9 - (-3) = 9 + 3 = 12}


8 {1 - (5 - 3 + 2) - [5 - (6 - 3 + 1) - 2]}

{1 - (5 - 3 + 2) - [5 - (6 - 3 + 1) - 2] = }
{1 - (4) - [5 - (4) - 2] =}
{1 - 4 - (5 - 4 - 2)=}
{- 3 - (-1) =}
{- 3 + 1 = -2}


9 {- 12 \cdot 3 + 18 : (-12 : 6 + 8)}

{- 12 \cdot 3 + 18 : (-12 : 6 + 8) = }
{- 12 \cdot 3 + 18 : (- 2 + 8) =}
{- 12 \cdot 3 + 18 : 6 =}
{- 36 + 3 = -33}


10 {2 \cdot [( -12 + 36) : 6 + (8 - 5) : (-3)] - 6}

{2 \cdot [( -12 + 36) : 6 + (8 - 5) : (-3)] - 6 = }
{2 \cdot [24 : 6 + 3 : (-3)] - 6 =}
{2 \cdot [ 4 + (-1)] - 6 =}
{2 \cdot 3 - 6 = 6 - 6 = 0}


11 {[(−2)^5 \cdot (-3)^2] : (-2)^2}

{[(−2)^5 \cdot (-3)^2] : (-2)^2 = }
{(32 \cdot 9) : 4 = 288 : 4 = 72}


12 {6 + \{4 - [(17 - (4 \cdot 4)] + 3\} - 5}

{6 + \{4 - [(17 - (4 \cdot 4)] + 3\} - 5 = }
{6 + \{4 - [(17 - (16)] + 3\} - 5 =}
{6 + (4 - 1 + 3) - 5 =}
{6 + 6 - 5 = 7}


13 {14 - \{7 + 4 \cdot 3 - [(-2)^2 \cdot 2 - 6)]\}+ (2^2 + 6 - 5 \cdot 3) + 3 - (5 - 2^3 : 2) }

Primero realizamos las potencias, productos y cocientes de los paréntesis.{14 - \{7 + 4 \cdot 3 - [(-2)^2 \cdot 2 - 6)]\}+ (2^2 + 6 - 5 \cdot 3) + 3 - (5 - 2^3 : 2) }
{= 14 - [7 + 4 \cdot 3 -(4 \cdot 2 - 6)] + (4 + 6 - 5 \cdot 3) + 3 - (5 - 8 : 2) }
Operamos con los productos y cocientes de los paréntesis.
{= 14 - [7 +12 -(8 - 6)] + (4 + 6 - 15) + 3 - (5 - 4)}
Realizamos las sumas y diferencias de los paréntesis.
{= 14 - (7 +12 -2) + (-5) + 3 - (1) }
{= 14 - (17) + (-5) + 3 - (1)}
La eliminación de paréntesis ha de realizarse considerando que:
Si el paréntesis va precedido del signo + , se suprimirá manteniendo su signo los términos que contenga.S
i el paréntesis va precedido del signo − , al suprimir el paréntesis hay que cambiar de signo a todo los términos que contenga.{= 14 - 17 - 5 + 3 - 1 }
{= -6 }
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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗