Name: Producto de numeros enteros
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Ley de los signos
Propiedades de la multiplicación

Ley de los signos

La multiplicación de dos números enteros es igual al producto de los factores y tiene como signo:

+ Si los factores tienen el mismo signo.

$+\cdot + \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm} 10 \cdot 5 = 50$

$-\cdot - \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm} (-10) \cdot (-5) = 50$

− Si los factores tienen distinto signo.

$+\cdot - \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm}10 \cdot (-5) = -50$

$-\cdot + \hspace{.5cm} \longrightarrow \hspace{.5cm}(-10) \cdot 5 = -50$

De manera general podemos decir que la multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

+ · + = +

− · − = +

+ · − = −

− · + = −

Ejemplo:

$7 \cdot 3 = 21$
$(-7) \cdot (-3) = 21$
$7 \cdot (-3) = -21$
$(-7) \cdot 3 = -21$

Propiedades de la multiplicación

1 Interna

El resultado de multiplicar dos números enteros es otro número entero.

$a\cdot b \in \mathbb{Z}$

Ejemplo:

$2\cdot (-5) =-10 \in \mathbb{Z}$

2 Asociativa

El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si a, b y c son números enteros cualesquiera, se cumple que:

$(a \cdot b) \cdot c = a\cdot (b \cdot c)$

Ejemplo:

$\begin{align*}(2 \cdot 3) \cdot (-5)&=2\cdot (3 \cdot (-5))\\6 \cdot (-5) &= 2\cdot(-15)\\-30 &= -30\end{align*}$

3 Conmutativa

El orden de los factores no varía el producto.

$a\cdot b=b\cdot a$

Ejemplo:

$\begin{align*} 2\cdot (-5)&=(-5)\cdot 2 \\ -10&=-10\end{align*}$

4 Elemento neutro

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque todo número multiplicado por él da el mismo número.

$a \cdot 1 = a$

Ejemplo:

$(-5) \cdot 1 = (-5)$

5 Distributiva

El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

Ejemplo:

$\begin{align*}(-2) \cdot (3 + 5) & = (-2) \cdot 3 + (-2)\cdot 5\\ (-2) \cdot 8 & = (-6) + (-10)\\ -16 & = -16 \end{align*}$

6 Sacar factor común

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.
Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

$a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$