Name: Ejercicios resueltos de ecuaciones logaritmicas
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Los/as profes

1 $2\log x=3+\log\cfrac{x}{10}$

$2\log x=3+\log\cfrac{x}{10}$

1 En el segundo miembro aplicamos la propiedad del logaritmo de un cociente

$2\log x=3+\log x-\log 10$

2 Restamos en los dos miembros $\log x$ y teniedo en cuenta que el $\log 10 = 1$ , tenemos:

$\log x =3-1$

$\log x =2$

3 Teniendo en cuenta la definición de logaritmo y que es un logaritmo decimal:

$x=10^{2}\; \Rightarrow \; x=100$

2 $\log x+ \log (x+3) = 2\log (x+1)$

$\log x+ \log (x+3) = 2\log (x+1)$

1 En el primer miembro, aplicamos la propiedad de la suma de logaritmos:

$\log \left [ x\left ( x+3 \right ) \right ]=\log (x+1)^{2}$

2 Teniendo en cuenta la inyectividad de los logaritmos (o igualando los argumentos) tenemos:

$x(x+3)=(x+1)^{2}$

3 Resolvemos la ecuación y comprobamos la solución

$x^{2}+3x=x^{2}+2x+1$

$x=1$

3 $4\log\left ( \cfrac{x}{5} \right )+\log \left ( \cfrac{625}{4} \right )=2\log x$

$4\log\left ( \cfrac{x}{5} \right )+\log \left ( \cfrac{625}{4} \right )=2\log x$

1 Aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia en los dos miembros

$\log \left ( \cfrac{x}{5} \right )^{4}+\log \left ( \cfrac{625}{4} \right )=\log x^{2}$

2 Realizamos la propiedad del logaritmo de un producto

$\log\left ( \cfrac{x^{4}}{625}\cdot \cfrac{625}{4} \right )=\log x^{2}$

3 Operamos en el primer miembro

$\log \left ( \cfrac{x^{4}}{4} \right )=\log x^{2}$

4 Aplicamos la inyectividad de los logaritmos para quitar logaritmos

$\cfrac{x^{4}}{4}=x^{2}$

$x^{4}-4x^{2}=0$

5 Resolvemos la ecuación

$x^{2}\left ( x^{2}-4 \right )=0$

$x^{2}(x+2)(x-2)=0$

$x_{1}=0\; \; \; \; \; x_{2}=-2\; \; \; \; \; x_{3}=2$

6 Ni $x=0$ ni $x=-2$ son soluciones porque si los sustituimos en la ecuación nos encontramos con logaritmo 0 y logaritmo de un número negativo y tales logaritmos no existen, por lo que la única solución es $x=2$

4 $2\log x-2\log (x+1)=0$

$2\log x-2\log (x+1)=0$

1 Pasamos $2\log (x+1)$ al segundo miembro y aplicamos la propiedad de potencia en ambos miembros

$2\log x=2\log (x+1)$

$\log x^{2}=\log (x+1)^{2}$

2 Aplicamos la propiedad inyectiva y encontramos los valores de ${x}$

${\begin{array}{rcl}x^{2}&=&(x+1)^{2} \\ && \\ x^{2}-(x+1)^{2} &=& 0 \\ && \\ (x-x-1)(x+x+1) &=& 0 \end{array}}$

3 Resolviendo el primer factor obtenemos $0=1$ , lo cual es una inconsistencia y significa que la ecuación no tiene solución. Resolviendo el segundo factor se tiene ${x=-\displaystyle \frac{1}{2}}$ , pero ${\log \left(-\frac{1}{2}\right)}$ no está definido y significa que la ecuación no tiene solución.

5 $\log x = \cfrac{2-\log x}{\log x}$

$\log x = \cfrac{2-\log x}{\log x}$

1 Quitamos denominadores y realizamos un cambio de variable

$\left ( \log x \right )^{2} + \log x-2=0$

$t=\log x$

$t^{2}+t-2=0$

2 Resolviendo la ecuación

$t_{1}=1\; \; \; \; \; t_{2}=-2$

3 Deshacemos el cambio de variable y aplicamos la definición de logaritmo

$\log x=1\; \Rightarrow \; x=10$

$\log x=-2\; \Rightarrow \; x=10^{-2}=\cfrac{1}{100}$

6 $\log (25-x^{3})-3\log (4-x)=0$

$\log (25-x^{3})-3\log (4-x)=0$

1 Pasamos el segundo sumando al 2º miembro y aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia

$\log (25-x^{3})=3\log (4-x)$

$\log (25-x^{3})=\log (4-x)^{3}$

2 Aplicamos la inyectividad de los logaritmos y desarrollamos las operaciones

$25-x^{3}=(4-x)^{3}$

$25-x^{3}=64-48x+12x^{2}-x^{3}$

3 Resolvemos la ecuación aplicando la fórmula general

$12x^{2}-48x+39=0$

$\displaystyle x1,2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$\displaystyle x1,2 = \frac{48 \pm \sqrt{2304 - 1872}}{2 \cdot 12}$

$\displaystyle x1,2 = \frac{48 \pm \sqrt{432}}{24}$

$\displaystyle x1,2 = \frac{48 \pm \sqrt{144 \cdot 3}}{24}$

$\displaystyle x1,2 = \frac{48 \pm 12\sqrt{3}}{24}$

$x=2\pm \cfrac{\sqrt{3}}{2}$

7 $\cfrac{\log (16-x^{2})}{\log (3x-4)}=2$

$\cfrac{\log (16-x^{2})}{\log (3x-4)}=2$

1 Multiplicamos en los dos miembros por $\log(3x-4)$

$\log (16-x^{2})=2\log (3x-4)$

2 En el segundo miembro aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia y tenemos en cuenta la inyectividad de los logaritmos

$\log (16-x^{2})=\log (3x-4)^{2}$

$16-x^{2}=(3x-4)^{2}$

3 Resolvemos la ecuación, $x=0$ no es solución porque nos encontraríamos con el logaritmo de un número negativo en el denominador al sustituir en la ecuación.

$10x^{2}-24x=0$

$x_{1}=0\; \; \; \; \; x_{2}=\frac{24}{10}=\frac{12}{5}$

8 $\cfrac{\log (35-x^{3})}{\log (5-x)}=3$

$\cfrac{\log (35-x^{3})}{\log (5-x)}=3$

1 Quitamos denominadores

$\log (35-x^{3})=3\log (5-x)$

2 En el segundo miembro aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia y posteriormente aplicamos la inyectividad de los logritmos

$\log (35-x^{3})=log (5-x)^{3}$

$35-x^{3}=(5-x)^{3}$

3 Se realizan las operaciones y se resuelve la ecuación de 2º grado

$x^{2}-5x+6=0$

$x_{1}=2\; \; \; \; \; x_{2}=3$

9 $\log 2 + \log (11-x^{2})=2\log (5-x)$

$\log 2 + \log (11-x^{2})=2\log (5-x)$

1 En el primer miembro aplicamos el logaritmo de un producto y en el segundo la propiedad del logaritmo de una potencia.

$\log \left [ 2\left ( 11-x^{2} \right ) \right ]=\log \left ( 5-x \right )^{2}$

2 Teniendo en cuenta la inyectividad de los logaritmos tenemos que:

$2(11-x^{2})=(5-x)^{2}$

3 Resolvemos la ecuación y comprobamos que no obtenemos un logaritmo nulo o negativo

$3x^{2}-10x+3=0$

$x_{1}=3\; \; \; \; \; x_{2}=\cfrac{1}{3}$

10 $\log_{5}x+\cfrac{\log_{5}125}{\log_{5}x}=\cfrac{7}{2}$

$\log_{5}x+\cfrac{\log_{5}125}{\log_{5}x}=\cfrac{7}{2}$

1 Multiplicamos en los dos miembros por $\log_{5}x$ y lo pasamos todo al primer miembro

$(\log_{5}x)^{2}-\cfrac{7}{2}\log_{5}x+\log_{5}125=0$

2 Considerando que $\log_{5}125=\log_{5}5^{3}=3$ y quitando denominadores:

$2(\log_{5}x)^{2}-7\log_{5}x+6 =0$

3 Realizamos un cambio de variable

$t=\log_{5}x$

$2t^{2}-7t+6=0$

3 Resolvemos la ecuación

$t_{1}=2\; \; \; \; \; t_{2}=\cfrac{3}{2}$

4 Deshacemos el cambio de variable

$\log_{5}x=2\; \Rightarrow \; 5^{2}=x\; \Rightarrow \; x=25$

$\log_{5}x=\cfrac{3}{2}\; \Rightarrow \; 5^{\frac{3}{2}}=x\; \Rightarrow \; x=\sqrt{5^{3}}=5\sqrt{5}$

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Marta

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perez
Invité

3 Oct.

la corrección del segundo no tiene ningun sentido

Superprof
Administrateur

11 Oct.

¡Hola! Las soluciones están arregladas. ¡Gracias por el comentario!

bly
Invité

14 Oct.

La correccion del 4 está bien? podrian formularla de otra manera? no se esntiende muy bien. gracias!

Superprof
Administrateur

26 Dic.

Hola, hemos actualizado la página, el ejercicio está mejor explicado. ¡Un saludo!

Martinez
Invité

25 Oct.

El ejercicio 4 esta mal resuelto. Si restamos 2Log(x+1) a 2Log(x) no da 0 porque los miembros no son iguales, ya que en uno de los argumentos de los logaritmos que son iguales, a «x» se le suma 1 y al otro nada, por lo que no se puede cumplir la igualdad. No hay solución.

Superprof
Administrateur

26 Dic.

Hola, hemos actualizado la página, ¡gracias por el comentario!

gonzález
Invité

27 Oct.

hola me podrias volver a explicar el uno, no lo entiendo

Superprof
Administrateur

26 Dic.

Hola, hemos actualizado la página, el ejercicio está mejor explicado. ¡Un saludo!

Plaza
Invité

29 Oct.

No puedo resolver el siguiente ejercicio: log2 64x=10000

Superprof
Administrateur

8 Nov.

Hola Luis, aplicando la ley del logaritmo, obtenemos

2 ^10 000 = 64x
2 ^10 000 = (2 ^6) x
x = 2 ^10 000 / 2 ^6
x = 2 ^10 000 – 6
x = 2 ^ 9 994

afonso
Invité

6 Nov.

no entiendo la corrección de la 4

Superprof
Administrateur

26 Dic.

Hola Alfonso, ya está mejor explicado. Si sigues teniendo preguntas, no dudes en escribirnos.¡Un saludo!

Begue
Invité

18 Nov.

Eh… No entiendo la correción del ejercicio 4, supuestamente sale indeterminado

Superprof
Administrateur

26 Dic.

Hola, hemos actualizado la página, el ejercicio está mejor explicado. ¡Un saludo!

Ander
Invité

19 Nov.

El 4. Creo que está mal hecho, de donde sale el 3 + logx – log10?
Gracias.

Superprof
Administrateur

26 Dic.

Hola, hemos actualizado la página, el ejercicio está mejor explicado. ¡Un saludo!

Arenas
Invité

24 Nov.

hola, no puedo resolver el siguiente ejercicio: log2 (x-1)=6-log2 (3x + 1)

Gaspar Leon
Editor

11 Jun.

Hola,

sumamos log₂(3x+1) en ambos lados de la igualdad para obtener
log₂(x-1)+log₂(3x+1)=6

Aplicamos la propiedad de suma de logaritmos
log₂[(x-1)(3x+1)]=6
log₂(3×2-2x-1)=6

Aplicamos la definición de logaritmo y resolvemos para x
3x²-2x-1=26
3x²-2x-65=0
(3x+13)(x-5)=0
x=-13/3; x=5
Como el dominio de log₂(x) es (0,∞), entonces la solución a la ecuación logarítmica es x=5

Un saludo

García
Invité

23 Abr.

La correción del uno no está mal ? 3+ log x -1 sería log x= -2, no?

Superprof
Administrateur

28 Abr.

Hola, gracias por el comentario, la ecuación completa es 2logx = 3 + logx – 1. Restamos logx de ambos lados del signo «=»:

2logx – logx = 3 + logx – logx – 1
logx = 3-1.

¡Un saludo!

Lucas
Invité

29 Abr.

Me podria alludar en uno
Log 2(el dos abajo)x+3/4log4 x – log8 x exponente a la 5 = 7/24

Luis Ernesto Sanchez Perez
Editor

28 Jun.

Buen día

Resolvamos parte del ejercicio. No entiendo muy bien la igualdad que estás escribiendo, pero supondré que es la siguiente:

$\log_{2}{x} + \frac{3}{4 \log_{4}{x}} - \log_{8}{x^5} = \frac{7}{24}$

Trabajaremos con varias propiedades de logaritmos, por lo tanto te invito a leer nuestro artículo «Logaritmos y sus propiedades por si quedan dudas. Empezaremos con una propiedad que dice que

$\log_{b}{a} = \frac{\log_{c}{a}}{\log_{c}{b}}$

Aplicaremos eso para cambiar todos los logaritmos a base 2:

$\begin{align*} \log_{2}{x} + \frac{3}{4 \log_{4}{x}} - \log_{8}{x^5} &= \frac{7}{24}\\ \log_{2}{x} + \frac{3}{4}\frac{\log_{2}{4}}{\log_{2}{x}} - 5 \frac{\log_{2}{x}}{\log_{2}{8}}&= \frac{7}{24}\\ \log_{2}{x} + \frac{3}{4} \frac{2}{\log_{2}{x}} - 5 \frac{\log_{2}{x}}{3}&= \frac{7}{24}\\ (\log_{2}{x})^2 + \frac{3}{2} - \frac{5}{3} (\log_{2}{x})^2&= \frac{7}{24}\log_{2}{x}\\ -\frac{2}{3}(\log_{2}{x})^2 - \frac{7}{24}\log_{2}{x} + \frac{3}{2} &= 0 \\ (\log_{2}{x} + 1.7346)(\log_{2}{x} - 1.2971) &= 0 \end{align*}$

De donde tienes que x puede tener dos valores, lo cuales se obtienen de las igualdades

$\begin{align*} \log_{2}{x} &= -1.7346\\ x &= 2^{-1.7346} \end{align*}$

$\begin{align*} \log_{2}{x} &= 1.2971\\ x &= 2^{1.2971} \end{align*}$

Saludos.

Pepe
Invité

2 May.

2logx-log(x+2)^2=1

Luis Ernesto Sanchez Perez
Editor

17 Jun.

¡Buen día!

Te ayudaré con una parte del ejercicio.

Notemos que por propiedades de log tenemos que

2logx-log(x+2)^2=1
logx^2 – log(x+2)^2 = 1
log((x^2)/(x + 2)^2) = 1
log(x/(x + 2))^2 = 1

Eliminando el logaritmo tenemos

(x/(x + 2))^2 = e

Te invito a despejar x en esta ecuación que es más sencilla. Te recomiendo primero eliminar el cuadrado sacando raíz y luego pasar multiplicando el denominador de la parte izquierda de la igualdad. Si tienes dudas sobre las propiedades de log te invito a leer nuestro artículo «Definición y propiedades de logaritmos».

Saludos.

Morales
Invité

18 May.

Alguien que me ayude no pude resolverlo
Logx+log5=2

Superprof
Administrateur

5 Jun.

Hola,

Logx+log5=2
Log (5x) = 2
10^2 = 5x
100 = 5x
x = 100/5
x = 20

¡Un saludo!

Agesta
Invité

21 May.

Hola, como puedo resolver estos ejercicios:
Log (2x+ 4) + log x =0
Log (x^2 −16) −log (x−4)=0

Juan Manuel Sanchez Perez
Editor

29 Jun.

Buen día. Puedes resolverlos aplicando las leyes de los logaritmos, por ejemplo, en el primero, podemos aplicar la propiedad que nos dice que Así, tenemos que Además, tenemos que para todo logaritmo, si tomamos su base y la elevamos al logaritmo, obtenemos el argumento, esto es Aplicando esta propiedad, notemos que tenemos logaritmo base (aunque veremos adelante que la base que tomemos no es muy importante en este ejemplo), tenemos Entonces, ahí tienes que y . El otro ejemplo se resuelve de manera similar, solo que ahí deberás aplicar la propiedad Intenta resolver el… Lire la suite »

Faustino
Invité

24 May.

Disculpe, yo hice la ecuación 4 de otra forma. Puedo ver que en ese ejercicio le sacaron raíz cuadrada a los términos, de tal forma que quedó x=x+1, pero yo en vez de sacarle raíz cuadrada desarrollé (x+1)^2, con lo que me salió que x=-1/2. Entonces quisiera saber si lo que hice es válido. Gracias 🙂

Gaspar Leon
Editor

30 May.

Hola,

hemos actualizado el contenido del ejercicio 4. Te invitamos a que lo revises nuevamente.

Saludos

buschmann
Invité

26 May.

hola, no entiendo el 6

Superprof
Administrateur

16 Jun.

Hola, gracias por el mensaje. Hemos añadido explicaciones adicionales. ¿Qué te parece? ¡Un saludo!

Ortiz
Invité

22 Jun.

Hola me podes ayudar no puedo resolver este ejercicio log(x2+5x+10):1

Luis Maciel Baron
Editor

25 Jul.

¡Hola!

Con gusto te apoyo con la solución de la ecuación:

$\log (x^{2}+5x+10)=1$

Pasamos la expresión a notación exponencial, por ser logaritmo base 10 nos queda:

$x^{2}+5x+10=10^{1}$

$x^{2}+5x+10=10$

Por ser una ecuación cuadrática, pasamos todos los términos a un sólo miembro de la ecuación:

$x^{2}+5x+10-10=0$

$x^{2}+5x=0$

Que puede factorizarse:

$x(x+5)=0$

Por lo que:

$x_{1}=0\; \; \; \; \; x_{2}=5$

Espero que esta explicación te sea de utilidad. No dudes en consultarnos para más preguntas.

¡Un saludo!

Guerrero
Invité

26 Jun.

Podrían ayudarme a resolver Log(x+2)+1=3 no logró encontrar una buena explicación

Juan Manuel Sanchez Perez
Editor

12 Jul.

¡Por supuesto!

Comenzamos de la ecuación

$\ln(x + 2) + 1 = 3$

Restamos 1 a ambos lados —es decir, pasamos el 1 restando—, de forma que nos queda

$\ln(x + 2) = 3 - 1 = 2$

Ahora aplicamos la función exponencial a ambos lados de la ecuación (recuerda que el logaritmo y la exponencial son funciones inversas, por lo que «se cancelan»):

$e^{\ln(x + 2)} = x + 2 = e^2$

Luego, «pasamos el 2 restando» para terminar de despejar $x$ :

$x = e^2 - 2$

Con esto ya se resolvió la ecuación. Si tienes más dudas, coméntalas y te ayudamos. ¡Un saludo!

Benavides Vallecillo
Invité

6 Jul.

Como puedo resolver estos dos ejercicios?
Resuelve:
a)Log2X=-5

Gaspar Leon
Editor

18 Jul.

Hola

para resolver el ejercicio escribimos el logaritmo en notación exponencial recordando que log = log₁₀

$10^{-5}=2x \ \ \ \longrightarrow \ \ \ x=\frac{1}{2\cdot 10^5}$

Espero te sea de utilidad.
Un saludo

Ejercicios de ecuaciones logarítmicas

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