Marta

25 diciembre 2019

 

1 2\log x=3+\log\cfrac{x}{10}

 

 

2\log x=3+\log\cfrac{x}{10}

1 En el segundo miembro aplicamos la propiedad del logaritmo de un cociente

 

2\log x=3+\log x-\log 10

 

2 Restamos en los dos miembros \log x y teniedo en cuenta que el \log 10 = 1, tenemos:

 

\log x =3-1

\log x =2

 

3 Teniendo en cuenta la definición de logaritmo y que es un logaritmo decimal:

 

x=10^{2}\; \Rightarrow \; x=100

 

2 \log x+ \log (x+3) = 2\log (x+1)

 

 

\log x+ \log (x+3) = 2\log (x+1)
1 En el primer miembro, aplicamos la propiedad de la suma de logaritmos:

\log \left [ x\left ( x+3 \right ) \right ]=\log (x+1)^{2}

 

 

2 Teniendo en cuenta la inyectividad de los logaritmos (o igualando los argumentos) tenemos:

 

x(x+3)=(x+1)^{2}

 

3 Resolvemos la ecuación y comprobamos la solución

 

x^{2}+3x=x^{2}+2x+1

x=1

 

3 4\log\left ( \cfrac{x}{5} \right )+\log \left ( \cfrac{625}{4} \right )=2\log x

 

 

4\log\left ( \cfrac{x}{5} \right )+\log \left ( \cfrac{625}{4} \right )=2\log x

1 Aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia en los dos miembros

 

\log \left ( \cfrac{x}{5} \right )^{4}+\log \left ( \cfrac{625}{4} \right )=\log x^{2}

 

2 Realizamos la propiedad del logaritmo de un producto

 

\log\left ( \cfrac{x^{4}}{625}\cdot \cfrac{625}{4} \right )=\log x^{2}

 

3 Operamos en el primer miembro

 

\log \left ( \cfrac{x^{4}}{4} \right )=\log x^{2}

 

4 Aplicamos la inyectividad de los logaritmos para quitar logaritmos

 

\cfrac{x^{4}}{4}=x^{2}

x^{4}-4x^{2}=0

 

5 Resolvemos la ecuación

 

x^{2}\left ( x^{2}-4 \right )=0

x^{2}(x+2)(x-2)=0

x_{1}=0\; \; \; \; \; x_{2}=-2\; \; \; \; \; x_{3}=2

6 Ni x=0 ni x=-2 son soluciones porque si los sustituimos en la ecuación nos encontramos con logaritmo 0 y logaritmo de un número negativo y tales logaritmos no existen, por lo que la única solución es x=2

 

4 2\log x-2\log (x+1)=0

 

2\log x-2\log (x+1)=0

1 Pasamos 2\log (x+1) al segundo miembro y aplicamos la propiedad de potencia en ambos miembros

 

2\log x=2\log (x+1)

\log x^{2}=\log (x+1)^{2}

 

2 Aplicamos la propiedad inyectiva y encontramos los valores de {x}

 

{\begin{array}{rcl}x^{2}&=&(x+1)^{2} \\ && \\ x^{2}-(x+1)^{2} &=& 0 \\ && \\ (x-x-1)(x+x+1) &=& 0 \end{array}}

 

3 Resolviendo el primer factor obtenemos 0=1, lo cual es una inconsistencia y significa que la ecuación no tiene solución. Resolviendo el segundo factor se tiene {x=-\displaystyle \frac{1}{2}}, pero {\log \left(-\frac{1}{2}\right)} no está definido y significa que la ecuación no tiene solución.

 

5 \log x = \cfrac{2-\log x}{\log x}

 

 

\log x = \cfrac{2-\log x}{\log x}

1 Quitamos denominadores y realizamos un cambio de variable

 

\left ( \log x \right )^{2} + \log x-2=0

t=\log x

t^{2}+t-2=0

2 Resolviendo la ecuación

 

t_{1}=1\; \; \; \; \; t_{2}=-2

 

3 Deshacemos el cambio de variable y aplicamos la definición de logaritmo

\log x=1\; \Rightarrow \; x=10

 

\log x=-2\; \Rightarrow \; x=10^{-2}=\cfrac{1}{100}

 

6 \log (25-x^{3})-3\log (4-x)=0

 

 

\log (25-x^{3})-3\log (4-x)=0

1 Pasamos el segundo sumando al 2º miembro y aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia

 

\log (25-x^{3})=3\log (4-x)

\log (25-x^{3})=\log (4-x)^{3}

 

2 Aplicamos la inyectividad de los logaritmos y desarrollamos las operaciones

 

25-x^{3}=(4-x)^{3}

25-x^{3}=64-48x+12x^{2}-x^{3}

 

3 Resolvemos la ecuación aplicando la fórmula general

 

12x^{2}-48x+39=0

 

\displaystyle x1,2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

 

\displaystyle x1,2 = \frac{48 \pm \sqrt{2304 - 1872}}{2 \cdot 12}

 

\displaystyle x1,2 = \frac{48 \pm \sqrt{432}}{24}

 

\displaystyle x1,2 = \frac{48 \pm \sqrt{144 \cdot 3}}{24}

 

\displaystyle x1,2 = \frac{48 \pm 12\sqrt{3}}{24}

 

x=2\pm \cfrac{\sqrt{3}}{2}

 

7 \cfrac{\log (16-x^{2})}{\log (3x-4)}=2

 

\cfrac{\log (16-x^{2})}{\log (3x-4)}=2

1 Multiplicamos en los dos miembros por \log(3x-4)

 

\log (16-x^{2})=2\log (3x-4)

 

2 En el segundo miembro aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia y tenemos en cuenta la inyectividad de los logaritmos

 

\log (16-x^{2})=\log (3x-4)^{2}

16-x^{2}=(3x-4)^{2}

 

3 Resolvemos la ecuación, x=0 no es solución porque nos encontraríamos con el logaritmo de un número negativo en el denominador al sustituir en la ecuación.

 

10x^{2}-24x=0

x_{1}=0\; \; \; \; \; x_{2}=\frac{24}{10}=\frac{12}{5}

 

8 \cfrac{\log (35-x^{3})}{\log (5-x)}=3

 

\cfrac{\log (35-x^{3})}{\log (5-x)}=3

1 Quitamos denominadores

 

\log (35-x^{3})=3\log (5-x)

 

2 En el segundo miembro aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia y posteriormente aplicamos la inyectividad de los logritmos

 

\log (35-x^{3})=log (5-x)^{3}

35-x^{3}=(5-x)^{3}

3 Se realizan las operaciones y se resuelve la ecuación de 2º grado

 

x^{2}-5x+6=0

x_{1}=2\; \; \; \; \; x_{2}=3

 

9 \log 2 + \log (11-x^{2})=2\log (5-x)

 

\log 2 + \log (11-x^{2})=2\log (5-x)

1 En el primer miembro aplicamos el logaritmo de un producto y en el segundo la propiedad del logaritmo de una potencia.

 

\log \left [ 2\left ( 11-x^{2} \right ) \right ]=\log \left ( 5-x \right )^{2}

 

2 Teniendo en cuenta la inyectividad de los logaritmos tenemos que:

 

2(11-x^{2})=(5-x)^{2}

 

3 Resolvemos la ecuación y comprobamos que no obtenemos un logaritmo nulo o negativo

 

3x^{2}-10x+3=0

 

x_{1}=3\; \; \; \; \; x_{2}=\cfrac{1}{3}

 

10 \log_{5}x+\cfrac{\log_{5}125}{\log_{5}x}=\cfrac{7}{2}

 

\log_{5}x+\cfrac{\log_{5}125}{\log_{5}x}=\cfrac{7}{2}

1 Multiplicamos en los dos miembros por \log_{5}x y lo pasamos todo al primer miembro

 

(\log_{5}x)^{2}-\cfrac{7}{2}\log_{5}x+\log_{5}125=0

 

2 Considerando que \log_{5}125=\log_{5}5^{3}=3 y quitando denominadores:

 

2(\log_{5}x)^{2}-7\log_{5}x+6 =0

 

3 Realizamos un cambio de variable

 

t=\log_{5}x

2t^{2}-7t+6=0

3 Resolvemos la ecuación

 

t_{1}=2\; \; \; \; \; t_{2}=\cfrac{3}{2}

 

4 Deshacemos el cambio de variable

 

\log_{5}x=2\; \Rightarrow \; x=5^{2}\; \Rightarrow \; x=25

 

\log_{5}x=\cfrac{3}{2}\; \Rightarrow \; x=5^{\frac{3}{2}}\; \Rightarrow \; x=5\sqrt{5}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗