Marta

27 mayo 2021

 

1 {\left\{ \begin{matrix} \log x + \log y = 2\\ x - y = 20 \end{matrix}}

{\left\{ \begin{matrix} \log x + \log y = 2\\ x - y = 20 \end{matrix}}

En la primera ecuación aplicamos la propiedad del logaritmo de un producto.

Aplicamos la inyectividad de los logaritmos y despejamos la {x}

 

{\log (xy) = \log 100 \quad xy = 100 \quad x = \frac{100}{y}}

 

Sustituimos el valor de {x} en la segunda ecuación

 

{\frac{100}{y} - y = 20 \quad y^2 + 20y -100 = 0}

 

Resolvemos la ecuación de 2º grado, con la formula general {y_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}}

 

{y = \dfrac{-20 \pm \sqrt{400 + 400}}{2} = \dfrac{-20 \pm 20\sqrt{2}}{2} = -10 +10\sqrt{2}}

 

{y = 10(\sqrt{2} - 1)}

Ahora calculamos el valor de {x}

{x = \frac{100}{y} = \frac{100}{10(\sqrt{2}-1)} = \frac{100}{10(\sqrt{2}-1)}\cdot \frac{\sqrt{2} + 1){\sqrt{2}-1)} = 10(\sqrt{2} + 1}


2 {\left\{ \begin{matrix} \log x + \log y = \log 2\\ x^2 - y^2 = 5 \end{matrix}}

{\left\{ \begin{matrix} \log x + \log y = \log 2\\ x^2 - y^2 = 5 \end{matrix}}

En la primera ecuación aplicamos la propiedad del logaritmo de un producto.

Aplicamos la inyectividad de los logaritmos y despejamos la {x}

 

{\log (xy) = \log 2 \quad xy = 2 \quad x = \frac{2}{y}}

 

Sustituimos el valor de {x} en la segunda ecuación

 

{\left(\frac{2}{y}\right)^2 + y^2 = 5 \quad y^4 - 5y^2 + 4 = 0}

 

Resolvemos la ecuación de 2º grado, con la formula general {y_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}}

 

{y^2 = \dfrac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \left\{ \begin{matrix} y^2 = 4 & \left\{\begin{matrix} y = 2\\ y = -2 \right. \end{matrix}\\ y^2 = 1 & \left\{\begin{matrix} y = 1\\ y = -1 \right. \end{matrix} \right.\end{matrix}}

Encontramos las soluciones para las {y} positivas

{\begin{matrix} y = 2 & x = \frac{2}{y} = \frac{2}{2} = 1\\ & \\ y = 1 & x = \frac{2}{y} = \frac{2}{1} = 2 \end{matrix}}

 

Si sustituimos las {y} negativas en la ecuación nos encontramos con el logaritmo de un número negativo, el cual no está bien definido.


3 {\left\{ \begin{matrix} \log x + \log y = 3\\ 2\log x - 2\log y = -1 \end{matrix}}

{\left\{ \begin{matrix} \log x + \log y = 3\\ 2\log x - 2\log y = -1 \end{matrix}}

Resolvemos el sistema por reducción multiplicando la primera ecuación por {2}

 

{\left\{ \begin{matrix} 2\log x + 2\log y = 6\\ 2\log x - 2\log y = -1 \end{matrix}}

 

Aplicamos la definición de logaritmo para despejar la {x}

{4\log x = 5 \quad \log x = \frac{5}{4} \quad x = 10^{\frac{5}{4}} = 10\sqrt[4]{10}}

Sustituimos el valor de {\log x} en la primera ecuación.

Aplicamos la definición de logaritmo para despejar la {y}

{\frac{5}{4} + \log y = 3 \quad \log y = \frac{7}{4} \quad y = 10^{\frac{7}{4}} = 10\sqrt[4]{1000}}


4 {\left\{ \begin{matrix} x^2 - y^2 = 11\\ \log x - \log y = 1 \end{matrix}}

{\left\{ \begin{matrix} x^2 - y^2 = 11\\ \log x - \log y = 1 \end{matrix}}

En la segunda ecuación aplicamos la propiedad del cociente de un logaritmo, en el primer miembro y en segundo tenemos en cuenta que el logaritmo decimal de {10} es {1}.

 

{\log\left(\frac{x}{y}\right) = \log 10}

 

Resolvemos el sistema por sustitución

Aplicamos la inyectividad de los logaritmos

 

{\frac{x}{y} = 10 \quad x = 10y}

 

Sustituimos en la primera ecuación

 

{100y^2 - y^2 = 11 \quad y^2 = \frac{11}{99} = \frac{1}{9}}

 

{y = \frac{1}{3} \quad x = 10y = 10(\frac{1}{3}) = \frac{10}{3}}

 

La solución {-\frac{1}{3}} no es válida porque tendríamos el logaritmo de un número negativo en la segunda ecuación


5 {\left\{ \begin{matrix} \log x + \log y = 3\\ \log x - \log y = 1 \end{matrix}}

{\left\{ \begin{matrix} \log x + \log y = 3\\ \log x - \log y = 1 \end{matrix}}

Resolvemos el sistema por reducción

 

{\left\{ \begin{matrix} \log x + \log y = 3\\ \log x - \log y = 1 \end{matrix}}

 

Aplicamos la definición de logaritmo

 

{2\log x = 4 \quad \log x = 2 \quad x = 10^2 \quad x = 100}

 

Sustituimos en la otra ecuación

 

{\log 100 + \log y = 3 \quad 2 + \log y = 3}

 

Aplicamos la definición de logaritmo

 

{\log y = 1 \quad y = 10^1 \quad y = 10}


6 {\left\{ \begin{matrix} \log_x(y - 18) = 2\\ \log_y(x + 3) = \frac{1}{2} \end{matrix}}

{\left\{ \begin{matrix} \log_x(y - 18) = 2\\ \log_y(x + 3) = \frac{1}{2} \end{matrix}}

Aplicamos la definición de logaritmo en las dos ecuaciones

{\left\{ \begin{matrix} x^2 = y -18\\ y^{\frac{1}{2}} = x + 3 \end{matrix}}

 

Elevamos al cuadrado en los dos miembros de la segunda ecuación y sustituimos el valor de {y} en la primera ecuación

 

{y = (x + 3)^2}

{x^2 = (x + 3)^2 - 18 = x^2 + 6x + 9 -18 = x^2 + 6x -9}

{6x-9 = 0 \quad x = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}}

 

Operamos y resolvemos la ecuación

 

{x = \frac{3}{2} \quad y = (x + 3)^2 = (\frac{3}{2} + 3)^2 = (\frac{9}{2})^2 = \frac{81}{4}}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗