Ejercicios propuestos

 

1  \left\{\begin{matrix} \ 3^{2x+y} =3^7 \\ 3^{x-2y}=3 \end{matrix}\right.

 

 \left\{\begin{matrix} \ 3^{2x+y} =3^7 \\ 3^{x-2y}=3 \end{matrix}\right.

1 Reconocimiento de los exponentes y sus bases

 

Puesto que en ambos miembros de la igualdad las potencias son de la misma base, se igualan los exponentes correspondientes y se resuelve el sistema  2\times 2 . Recuerda que si el exponente es  1 no suele escribirse como potencia.

 

 \left\{ \begin{matrix} 2x+y =7 \\ x-2y=1 \end{matrix}\right.

 

2 Aplicación del método de sustracción para resolver el sistema de  2\times 2

 

Multiplicando por  2 la primera ecuación del sistema

 2(2x+y=7) \Longrightarrow 4x+2y=14

y sumando ambas ecuaciones término a término, se tiene que:

 

 \begin{matrix} 4x+2y=14 \\ x-2y=1 \\ \hline 5x+0=15 \end{matrix} \quad\Longrightarrow \quad x=\dfrac{15}{5}=3.

 

Sustituyendo el valor de  x en cualquiera de las dos literales se obtiene el valor de  y :

 

 4(3)+2y=14 \Longrightarrow y=\dfrac{14-12}{2}=1.

 

Por tanto, la solución del sistema es  x=3\ y=1.

 

2  \left\{\begin{matrix} \ \ \dfrac{2^{2x-3}}{2^{3y+2}}=2^8 \\ 3x-2y=17 \end{matrix}\right.

 

 \left\{\begin{matrix} \ \ \dfrac{2^{2x-3}}{2^{3y+2}}=2^8 \\ 3x-2y=17 \end{matrix}\right.

1 Reconocimiento de los exponentes y sus bases

 

Primero se aplica la división de una potencia al primer miembro de la primera ecuación para obtener una potencia de misma base en toda la ecuación:

 

 2^8 =\dfrac{2^{2x-3}}{2^{3y+2}}= 2^{(2x-3)-(3y+2)} =2^{2x-3y-5} \Longrightarrow 2^{2x-3y-5}= 2^8.

 

Ahora, los exponentes de la primera ecuación se igualan porque sus potencias tienen la misma base y se reduce la ecuación:

 2x-3y-5= 8 \Longrightarrow 2x-3y=13;

 

así, se considera la segunda ecuación para formar el sistema  2\times 2 y se resuelve.

 

 \left\{\begin{matrix} 2x-3y=13 \\ 3x-2y=17 \end{matrix}\right.

 

2 Aplicación del método de sustracción para resolver el sistema de  2\times 2

 

Se multiplica por  2 la primera ecuación del sistema y por  -3 la segunda ecuación

 

 \begin{matrix} 2(2x-3y=13) &\Longrightarrow 4x-6y=26 \\ \ & \ \\ -3(3x-2y=17) &\Longrightarrow -9x+6y=-51. \\ \end{matrix}

 

Ambas ecuaciones se suman término a término y se halla el valor de  x:

 

 \begin{matrix} 4x-6y=26 \\ -9x+6y=-51 \\ \hline -5x+0=-25 \end{matrix} \quad\Longrightarrow \quad x=\dfrac{-25}{-5}=5.

 

Posteriormente, se sustituye el valor de  x en alguna de las dos ecuaciones del sistema y se calcula  y:

2(5)-3y=13 \Longrightarrow y=\dfrac{13-10}{-3}=-1.

Por tanto, la solución del sistema es  x=5\ y=-1.

 

3 \left\{\begin{matrix} \ \ \ 5^x\cdot 25^y=5^7\\ 2^{x-1}\cdot 2^{y+2}=64 \end{matrix}\right.

 

\left\{\begin{matrix} \ \ \ 5^x\cdot 25^y=5^7\\ 2^{x-1}\cdot 2^{y+2}=64 \end{matrix}\right.

1 Reconocimiento de los exponentes y sus bases

 

En la primera ecuación se aplica el producto de potencias para simplificar el primer miembro y poder igualar sus exponentes

 5^7=5^x\cdot 25^y=5^x\cdot (5^2)^y=5^{x+2y} \Longrightarrow 5^{x+2y}=5^7,

y para la segunda ecuación se utilizan las propiedades del producto y del cociente de potencias en ambos miembros de la igualdad.

 

2^6=64= 2^{x-1}\cdot 2^{y+2} = 2^{x+y+1} \Longrightarrow 2^{x+y+1} =2^6

 

Así, se obtiene el sistema de  2\times 2 igualando los exponentes de cada ecuación pues tienen la misma base.

 

 \left\{\begin{matrix} x+2y=7 \\ x+y+1 =6 \end{matrix}\right.

 

2 Aplicación del método de sustitución para resolver el sistema de  2\times 2

 

El método de sustitución consiste de despejar una de las incógnitas de una ecuación para después sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación, hallando así el valor de la segunda incógnita:

 

 \begin{matrix} x+2y=7 \Longrightarrow x=7-2y\\ \ \\ (7-2y)+y+1 =6 \Longrightarrow y=\dfrac{6-8}{-1}=2 \end{matrix}

 

Sustituyendo el valor de  y en la ecuación  x=7-2y se tiene que  x=3. Por tanto, la solución del sistema es  x=3\ y=2.

 

4 \left\{\begin{matrix} \ \ \ \ \ 2^x + 5^y=9\\ 2^{x-1} + 5^{y+1}=9 \end{matrix}\right.

 

\left\{\begin{matrix} \ \ \ \ \ 2^x + 5^y=9\\ 2^{x-1} + 5^{y+1}=9 \end{matrix}\right.

1 Reconocimiento de los exponentes y sus bases

 

En la segunda ecuación se aplica el producto de potencias para expresar las sumas y restas que aparecen en los exponentes como multiplicaciones y divisiones:

 

 9=2^{x-1} + 5^{y+1}=2^{-1}\cdot 2^{x}+5\cdot 5^y \Longrightarrow \dfrac{1}{2}2^x +5\cdot 5^y=9

 

Haciendo el cambio de variable  u=2^x , v=5^y y sustituyéndolo en la expresión obtenida anteriormente y en la primera ecuación del sistema, se obtiene el sistema  2\times 2

 

\left\{\begin{matrix} \ \ u+v=9\\ \dfrac{1}{2}u+5v=9. \end{matrix}\right.

 

2 Aplicación del método de igualación para resolver el sistema de  2\times 2

 

El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones del sistema e igualar las expresiones obtenidas para hallar el valor de una de las incógnitas. En este caso de despejará la incógnita  u :

 

\begin{matrix} \ \ u+v=9 \Longrightarrow u=9-v\\ \ \\ \dfrac{1}{2}u+5v=9 \Longrightarrow u=18-10v \end{matrix}\quad \Longrightarrow \quad 18-10v=9-v.

 

Después de calcular el valor de  v se sustituye en alguna de las ecuaciones del sistema para hallar el valor de  u . Después, se hace la sustitución de estos valores en los cambios de variable para obtener los valores  x, y .

 

    \begin{align*} 18-10v&=9-v \Longrightarrow v=\dfrac{18-9}{9}=1\\ \ \\ u&=9-(1)=8\\ \ \\ 2^x=8 &\quad \Longrightarrow \quad x=3\\ 5^y=1 &\quad \Longrightarrow \quad y=0 \end{align*}

 

Por tanto, la solución del sistema es  x=3\ y=0.

5 \left\{\begin{matrix} 3^x -2^y=1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 3^{x-1} = 2^{y-2}+1 \end{matrix}\right.

 

\left\{\begin{matrix} 3^x -2^y=1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 3^{x-1} = 2^{y-2}+1 \end{matrix}\right.

1 Reconocimiento de los exponentes y sus bases

 

En la segunda ecuación se aplica el producto de potencias para expresar las restas que aparecen en los exponentes como divisiones:

 

 \dfrac{1}{3}3^{x} = \dfrac{1}{2^2}2^{y}+1 \Longrightarrow \dfrac{1}{3}3^x-\dfrac{1}{4}2^y=1.

 

Haciendo el cambio de variable  u=3^x , v=2^y y sustituyéndolo en la expresión obtenida anteriormente y en la primera ecuación del sistema, se obtiene el sistema  2\times 2

 

\left\{\begin{matrix} \ \ \ \ u -v=1\\ \dfrac{1}{3}u-\dfrac{1}{4}v=1.\end{matrix}\right.

 

2 Aplicación del método de igualación para resolver el sistema de  2\times 2

 

Despejando en ambas ecuaciones la incógnita  u y aplicando el método de igualación, se tiene una ecuación con incógnita  v

 

\begin{matrix} \ \ u-v=1 \Longrightarrow u=1+v\\ \ \\ \dfrac{1}{3}u-\dfrac{1}{4}v=1 \Longrightarrow u=3+ \dfrac{3}{4}v \end{matrix} \quad \Longrightarrow \quad 1+v= 3+ \dfrac{3}{4}v.

 

Después de calcular el valor de  v se sustituye en alguna de las ecuaciones del sistema para hallar el valor de  u . Finalmente, se hace la sustitución de estos valores en los cambios de variable para obtener los valores  x, y .

 

    \begin{align*} 1+v&= 3+ \dfrac{3}{4}v \Longrightarrow v=2\div \dfrac{1}{4}=8\\ \ \\ u&=3+ \dfrac{3}{4}(8) =3+6=9\\ \ \\ 3^x=9 &\quad \Longrightarrow \quad x=2\\ 2^y=8 &\quad \Longrightarrow \quad y=3 \end{align*}

 

Por tanto, la solución del sistema es  x=2\ y=3.

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗