Introducción de los sistemas de ecuaciones logarítmicas

 

Para resolver sistemas de ecuaciones logarítmicas actuaremos de modo similar a como lo hicimos con las ecuaciones logarítmicas, es decir, basándonos en:
1 Definición de logaritmo:
x=\log_{a}b\; \; \; \Rightarrow \; \; \; a^{x}=b
2 Inyectividad del logaritmo: 

\log_{a}x=log_{a}y\; \; \; \Rightarrow \; \; \; x=y

 

3 Propiedades de los logaritmos

 

Veamos dos casos de resolución de sistemas de ecuaciones logarítmicas.

 

 

\left\{\begin{matrix} \; \; \; \; \; \; \; \; \; x^{2}-y^{2}=11\\ \log x-\log y=1 \end{matrix}\right.

 

En la segunda ecuación aplicamos la propiedad del cociente de un logaritmo, en el primer miembro y en segundo tenemos en cuenta que el logaritmo decimal de 10 es 1.

 

\log \left ( \cfrac{x}{y} \right )=\log 10

 

Resolvemos el sistema por sustitución

Aplicamos la inyectividad de los logaritmos

 

\cfrac{x}{y}=10\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; x=10y

 

Sustituimos en la primera ecuación

 

100y^{2}-y^{2}=11

 

y^{2}=\cfrac{11}{99}=\cfrac{1}{9}

 

y_{1}=\cfrac{1}{3}              y_{2}=-\cfrac{1}{3}

 

La solución y_{2}=-\cfrac{1}{3} no es válida porque tendríamos el logaritmo de un número negativo en la segunda ecuación

Al sustituir y_{1}=\cfrac{1}{3} en x=10y obtenemos:

 

x=\cfrac{10}{3}

 

Segundo caso de sistema de ecuaciones logarítmicas

 

Algunos sistemas se pueden resolver directamente por el método de reducción.

 

\left\{\begin{matrix} \log x+\log y=3\\ \log x-\log y =1 \end{matrix}\right.

 

Sumando las dos ecuaciones obtenemos

 

\cfrac{\left\{\begin{matrix} \log x+\log y=3\\ \log x-\log y =1 \\ \end{matrix}\right.}{2\log x \; \; \; \; \; \; \; \; \; =4}

 

Aplicamos la definición de logaritmo

 

\log x=2\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; x=10^{2}\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; x=100

 

Sustituimos en la otra ecuación

 

2+\log y=3

 

Aplicamos la definición de logaritmo

 

\log y=1\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; y=10^{1}\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; y=10

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗