El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener dicho número. Es decir, expresado en notación matemática

     \[ \log_a x = y \quad \Leftrightarrow \quad a^y = x \]

donde

  •  a es la base,
  •  x el número,
  • y  y el logaritmo.

Logaritmos decimales y neperianos

Logaritmos decimales

Los logaritmos decimales tienen base 10. Se representan por  \log (x) .

 

Logaritmos neperianos

Los logaritmos neperianos tienen base \textrm{e}. Se representan por \ln (x) o L(x).

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Ejemplos de ejercicios utilizando logaritmos

1  \log_2 4 = 2 \quad \Leftrightarrow \quad 2^2 = 4

2  \log_2 8 = 3 \quad \Leftrightarrow \quad 2^3 = 8

3  \log_2 1 = 0 \quad \Leftrightarrow \quad 2^0 = 1

4 Sea \log_{10}{2} = 0.3010, calcula el siguiente logaritmo  \log \(\frac{2}{100}\) :

     \begin{align*} \log \frac{2}{100} &= \log_{10} 2 - \log_{10} 100 \\ &= \log_{10} 2 - \log_{10} 10^2 \\ &= \log_{10} 2 - 2\log_{10} 10 \\ \end{align*}

Aplicando la definición de logaritmo:

     \[ \log_{10} 2 - 2\log_{10} 10 = \log_{10} 2 - 2 \frac{\ln 10}{\ln 10} \]

entonces

     \[ \log \(\frac{2}{100}\) = 0.3010 - 2 = - 1.699 \]

5 Calcular el valor de y en  \ln \frac{1}{e^5}=y :
Recordemos que el logaritmo natural es simplemente el logaritmo base \textrm{e}, esto es, \ln{x} = \log_{e}{x}. Aplicamos la definición de logaritmo y resolvemos

     \begin{align*} \ln \frac{1}{e^5} &= y\\ e^{y} &= \frac{1}{e^5}\\ e^{y} &= e^{-5}\\ y &= -5 \end{align*}

6 Calcular el valor de y en  \log_{\sqrt{3}}\sqrt[5]{\frac{1}{81}}=y :

Aplicamos la definición de logaritmo y resolvemos

     \begin{align*} \log_{\sqrt{3}}\sqrt[5]{\frac{1}{81}} &= y\\\ \sqrt{3}^y &= \sqrt[5]{\frac{1}{81}}\\ 3^{\frac{y}{2}} &= \sqrt[5]{\frac{1}{3^4}}\\ 3^{\frac{y}{2}} &= \sqrt[5]{3^{-4}}\\ 3^{\frac{y}{2}} &= 3^{-\frac{4}{5}}\\ \frac{y}{2} &= -\frac{4}{5}\\ y &= -\frac{8}{5} \end{align*}

7 Obtener el valor de x utilizando logaritmos,  x = \frac{\sqrt[3]{0.3688}}{22.958^5} :

Procedamos a resolver el ejercicio utilizando propiedades de logaritmos

     \begin{align*} x &= \frac{\sqrt[3]{0.3688}}{22.958^5}\\ \log_{10}{x} &= \log_{10}{\frac{\sqrt[3]{0.3688}}{22.958^5}}\\ \log_{10}{x} &= \log_{10}{\sqrt[3]{0.3688}} - \log_{10}{22.958^5}\\ \log_{10}{x} &= \log_{10}{0.3688^{\frac{1}{3}}} - \log_{10}{22.958^5}\\ \log_{10}{x} &= \frac{1}{3}\log_{10}{0.3688} - 5\log_{10}{22.958}\\ \log_{10}{x} &= -6.94907\\ x &= 10^{-6.94907}\\ x &= \frac{1.12442}{10^7}\\ \end{align*}

8 Obtener el valor de x utilizando logaritmos,  x = \frac{425\sqrt{2.73}}{\sqrt[3]{48.4}} :

Nuevamente, procedemos a resolver el ejercicio utilizando las propiedades de los logaritmos:

    \begin{align*} x &= \frac{425\sqrt{2.73}}{\sqrt[3]{48.4}}\\ \log_{10}{x} &= \log_{10}{\frac{425\sqrt{2.73}}{\sqrt[3]{48.4}}}\\ \log_{10}{x} &= \log_{10}{425\sqrt{2.73}} - \log_{10}{\sqrt[3]{48.4}}\\ \log_{10}{x} &= \log_{10}{425} + \frac{1}{2}\log_{10}{2.73} - \frac{1}{3}\log_{10}{48.4}\\ \log_{10}{x} &= 2.6284 + \frac{1}{2}(0.4362) - \frac{1}{3}(1.6848)\\ \log_{10}{x} &= 2.2849\\x &= 10^{2.2849}\\ x &= 192.708 \end{align*}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗