Definición de logaritmo

 

Exponente al que hay que elevar un número, llamado base, para obtener otro número determinado. Un logaritmo busca el exponente y  de una base a que se ha empleado para llegar a un determinado resultado x.

 

Ejemplo:

 

Si tengo de base a = 2 y como resultado x = 8, ¿a qué exponente se debe elevar el 2 para que nos dé como resultado 8? Como te darás cuenta el valor del exponente que se utilizó para llegar al resultado x = 8 con la base a = 2 es y = 3.

 

La notación correspondiente para representar a un logaritmo es la siguiente:

 

\displaystyle \log_{a}{x} = y \qquad \Rightarrow \qquad a^y = x, \qquad a > 0 \quad \text{y} \quad a \neq 1

 

donde a es la base, x el resultado y y el exponente buscado. Hay  que recalcar que se  deben cumplir las condiciones de que  la base sea positiva a > 0 y distinta a uno .

 

De la definición de logaritmo podemos decir que:

 

  • No existe el logaritmo con base negativa.

 

\displaystyle \not\exists \log_{a}{x}, \qquad a < 0

 

  • No existe el logaritmo de un número negativo.

 

\displaystyle \not\exists \log_{a}{x}, \qquad x < 0

 

  • No existe el logaritmo de cero.

 

\displaystyle \not\exists \log_{a}{0}

 

  • El logaritmo de 1 es cero.

 

\displaystyle \log_{a}{1} = 0

 

  • El logaritmo en base a de a es igual a 1.

 

\displaystyle \log_{a}{a} = 1

 

  • El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.

 

\displaystyle \log_{a}{a^n} = n

 

 

1 El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:

 

\displaystyle \log_{a}{(x \cdot y)} = \log_{a}{x} + \log_{a}{y}

 

Ejemplo:

 

     \begin{align*} \log_{2}{(4 \cdot 8)} &= \log_{2}{4} + \log_{2}{8}\\ &= 2 + 3\\ &= 5 \end{align*}

 

2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor:

 

\displaystyle \log_{a}{\left( \frac{x}{y} \right)} = log_{a}{x} - \log_{a}{y}

 

Ejemplo:

 

     \begin{align*} \log_{2}{\left( \frac{8}{4} \right)} &= \log_{2}{8} - \log_{2}{4}\\ &= 3 - 2\\ &= 1 \end{align*}

 

3 El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base:

 

\displaystyle \log_{a}{\left( x^{n} \right)} = n \log_{a}{x}

 

Ejemplo:

 

     \begin{align*} \log_{2}{\left( 8^4 \right)} &= 4\log_{2}{8}\\ &= 4 \cdot 3\\ &= 12 \end{align*}

 

4El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz:

 

\displaystyle \log_{a}{\left( \sqrt[n]{x}\right)} = \frac{1}{n} \log_{a}{x}

 

Ejemplo:

 

     \begin{align*} \log_{2}{\sqrt[4]{8}} &= \frac{1}{4}\log_{2}{8} \\ &= \frac{1}{4} \cdot 3\\ &= \frac{3}{4} \end{align*}

 

5 Cambio de base:

 

\displaystyle \log_{a}{x} = \frac{\log_{b}{x}}{\log_{b}{a}}

 

Ejemplo:

 

     \begin{align*} \log_{2}{4} &= \frac{\log_{4}{4}}{\log_{4}{2}}\\ &= \frac{1}{\frac{1}{2}}\\ &= 2 \end{align*}

 

Los logaritmos se han convertido desde su creación en una herramienta importante para el cálculo de operaciones con números muy grandes, debido a que tienen la propiedad de trabajar con exponentes y convierte los problemas de multiplicación en problemas de suma. El logaritmo también, gracias a sus propiedades, permite simplificar diversas operaciones matemáticas. Por esto y más vale la pena su estudio.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗