Ecuación logarítmica

 

En las ecuaciones logarítmicas la incógnita aparece dentro del argumento de un logaritmo.

Antes de resolver ecuaciones logarítmicas debemos tener presentes las propiedades de los logaritmos.

 

Superprof

Propiedades de los logaritmos

 

1 log_{a}b=x \Rightarrow a^{x}=b

 

2 log_{a}a=1

 

3 log_{10}A=logA

 

4 log\left ( A\cdot B \right )=logA+logB

 

5 \displaystyle log\left ( \frac{A}{B} \right )=logA-logB

 

6 logA^{n}=n\cdot logA

 

Además tenemos que comprobar las soluciones para verificar que no tenemos el logaritmo de un número negativo o de cero, esto es muy frecuente cuando tenemos una expresión de segundo grado en el argumento del logaritmo.

 

Ejemplos de resolución de ecuaciones logarítmicas

 

Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas

1log(x)=2

 

Para resolver esta ecuación basta con aplicar la propiedad 1 (Definición de logaritmo):

 

10^{2}=x

 

100=x

 

x=100

2 log(x^{2})=8

 

Podemos aplicar la propiedad 6, despejar y posteriormente la propiedad 1:

 

2\cdot log(x)=8

 

\displaystyle log(x)=\frac{8}{2}

 

log(x)=4

 

10^{4}=x

 

x=10000

3log_{4}(4-3x)=3

 

Aplicamos la propiedad 1 y luego despejamos la variable x

 

4^{3}=4-3x

 

64=4-3x

 

3x=4-64

 

3x=-60

 

x=-20

 

En el primer miembro aplicamos el logaritmo de un producto y en segundo la propiedad del logaritmo de una potencia.

 

4 log(x)+log(x+3)=2\cdot log(x+1)Usando las propiedades de los logaritmos podemos expresar como un solo logaritmo cada miembro de la ecuación. Para el primer miembro podemos emplear la propiedad 4 y en el segundo miembro la 6:

log[x\cdot (x+3)]=log(x+1)^{2}

 

Una vez que ambos miembros están expresados en función de un sólo logaritmo, podemos igualar sus argumentos (Inyectividad de los logaritmos):

 

x\cdot (x+3)=(x+1)^{2}

 

Resolvemos la ecuación resultante:

x\cdot (x+3)=(x+1)^{2}

 

x^{2}+3x=x^{2}+2x+1

 

3x=2x+1

x=1

5 \displaystyle \frac{log(16-x^{2})}{log(3x-4)}=2

 

El denominador del primer miembro multiplica al segundo miembro de la ecuación:

 

log(16-x^{2})=2\cdot log(3x-4)

 

Aplicamos la propiedad 6 e igualamos los argumentos de los logaritmos:

 

log(16-x^{2})=log(3x-4)^{2}

 

16-x^{2}=(3x-4)^{2}

 

Resolvemos la ecuación:

16-x^{2}=9x^{2}-24x+16

 

10x^{2}-24x=0

 

2x(5x-12)=0

 

x_{1}=0          \displaystyle x_{2}=\frac{12}{5}

 

En este caso, debemos verificar si alguna de las soluciones nos indetermina algún logaritmo:

 

Usando x_{1}=0:

 

\displaystyle\frac{log(16-0^{2})}{log(3\cdot0-4)}=2

 

En el denominador obtendríamos:

log(-4)

 

lo cual es una indeterminación, ya que no es posible calcular el logaritmo de un número negativo. Por lo tanto, la solución de la ecuación sería \displaystyle x_{2}=\frac{12}{5}.

 

¿Te ha gustado el artículo?

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) (25 votes, average: 3,88 out of 5)
Cargando…

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

¿Te ha gustado
este material?

¡Bravo!

¡Descárgatelo en formato PDF poniendo tu correo electrónico!

{{ downloadEmailSaved }}

Tu correo electrónico no es válido

2
Publicar un comentario

avatar
  S’abonner  
Notifier de
Fulcar
Fulcar
Invité
27 Abr.

Me ayudaron mucho gracias por hacer su trabajo con tan buena didáctica.

Superprof
Superprof
Administrateur
27 Abr.

¡Muchas gracias por el comentario! Un saludo. 🙂