Ejercicios resueltos de inecuaciones de primer grado

Quitamos paréntesis multiplicando el primero por 2 y el segundo por −1:

Agrupamos términos semejantes

Dividimos por −2 y cambiamos el sentido de la desigualdad

x ∈ (1, ∞)

Hallamos el mínimo común múltiplo de los denominadores para
quitar denominadores

42 se divide por cada uno de los denominadores, multiplicándose
el cociente obtenido por el numerador correspondiente

Quitamos paréntesis multiplicando el 1º por 6 y el 2º por −14 y el
tercero por 3:

Agrupamos términos semejantes

Reducimos los términos semejantes

Simplificamos dividiendo por 10

Dividimos en los dos miembros por 4

Quitamos paréntesis multiplicando el primero por 6 y el segundo
por 3 y el tercero por −3/8:

Hallamos el mínimo común múltiplo de los denominadores para
quitar denominadores

16 se divide por cada uno de los denominadores, multiplicándose
el cociente obtenido por el numerador correspondiente

Agrupamos términos, simplificamos dividiendo por 6 y dividimos
en los dos miembros por 3

Resolver la inecuación:

Quitamos el paréntesis multiplicando por −1, de modo que el corchete pasa a ser un paréntesis

Quitamos paréntesis multiplicando por 2/3

Hallamos el mínimo común múltiplo para quitar denominadores

m.c.m.(3,9) = 9

9 se divide por cada uno de los denominadores, multiplicándose el
cociente obtenido por el numerador correspondiente

Agrupamos los términos semejantes

Como el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo
que cambiará el sentido de la desigualdad

x ∈

1º Quitar corchetes.

Quitamos el paréntesis multiplicando por −2, de modo que el
corchete pasa a ser un paréntesis:

2º Quitar paréntesis.

Quitamos paréntesis multiplicando por −1:

3º Quitar denominadores.

Hallamos el mínimo común múltiplo:

12 = 2² · 3       m.c.m.(2, 3, 12) = 12

12 se divide por cada uno de los denominadores, multiplicándose
el cociente obtenido por el numerador correspondiente

Quitamos paréntesis multiplicando el 1º por 6 y el 2º por −1:

4º Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los
términos independientes en el otro.

5º Efectuar las operaciones

6º Si el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por
−1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad.

Este paso los haremos siempre antes de despejar la incógnita

7º Despejamos la incógnita, dividiendo en los dos miembros por 9.

En la práctica se suele decir que el 9 está multiplicando y pasa al
otro miembro dividiendo a 27

Obtenemos la solución como una desigualdad, pero ésta
también podemos expresarla:

De forma gráfica

Como un intervalo

[3, +∞)

Halla los valores de k para los que las raíces de la ecuación

x² − 6x + k = 0

sean las dos reales y distintas.

Para que la ecuación tenga dos raíces reales y distintas el
discriminate (b² − 4ac) tiene que ser mayor que cero

(−6)² − 4k > 0

Resolvemos la inecuación:

36 − 4k > 0

Multiplicamos por −1 y cambiamos el signo de la desigualdad

− 4k > − 36        k < 9

x ∈ (−∞, 9)

2x + y ≤ 3

1º Transformamos la desigualdad en igualdad.

2x + y = 3

2º Damos a la variable x dos valores, con lo que obtenemos dos puntos.

x = 0;     2 · 0 + y = 3;   y = 3;          (0, 3)

x = 1;     2 · 1 + y = 3;   y = 1;          (1, 1)

3º Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta.

Tomamos el punto (0, 0) y lo sustituimos en la inecuación.

2 · 0 + 0 ≤ 3       0 ≤ 3

Como se cumple la desigualdad la solución es el semiplano donde
se encuentra (0, 0), incluyendo la recta porque tomamos los puntos
menores y también los iguales

En este caso dibujamos la recta con trazo continuo

2x + y > 3

1º Transformamos la desigualdad en igualdad.

2x + y = 3

2º Damos a la variable x dos valores, con lo que obtenemos dos puntos.

x = 0;     2 · 0 + y = 3;   y = 3;          (0, 3)

x = 1;     2 · 1 + y = 3;   y = 1;          (1, 1)

3º Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta.

Tomamos el punto (0, 0) y lo sustituimos en la inecuación.

2 · 0 + 0 > 3       0 > 3      No

Como no se cumple la desigualdad, la solución es el semiplano donde
no se encuentra (0, 0)

En este caso (mayor que, pero no igual) los puntos de la recta no
pertenecen a la solución.

En este caso dibujamos la recta con trazo discontinuo