Name: Ejercicios de inecuaciones de primer grado
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Inecuaciones de una variable
Calcula el valor que se indica
Inecuaciones de dos variables

Inecuaciones de una variable

1 $2(x+1)-3(x-2)<x+6$

$2(x+1)-3(x-2)<x+6$

Quitamos paréntesis multiplicando el primero por $2$ y el segundo por $-1$ :

$2x+2-3x+6<x+6$

Agrupamos términos semejantes

$2x-3x-x<6-6-2$

Dividimos por $-2$ y cambiamos el sentido de la desigualdad

$-2x<-2 \hspace{2cm} x>1$

Intervalo gráfico dibujo

$x\in (1,\infty)$

2 $\displaystyle \frac{3x+1}{7}-\frac{2-4x}{3}\geq \frac{-5x-4}{14} +\frac{7x}{6}$

$\displaystyle \frac{3x+1}{7}-\frac{2-4x}{3}\geq \frac{-5x-4}{14} +\frac{7x}{6}$

Hallamos el mínimo común múltiplo de los denominadores para quitar denominadores

$\text{m.c.m}(7,3,14,6)=42$

$42$ se divide por cada uno de los denominadores, multiplicándose el cociente obtenido por el numerador correspondiente

$\displaystyle 6(3x+1)-14(2-4x)\geq 3(-5x-4)+49x$

Quitamos paréntesis multiplicando el primero por $6$ , el segundo por $-14$ y el tercero por $3$ :

$18x+6-28+56x\geq -15x-12+49x$

Agrupamos los términos semejantes.

$18x+56x+15x-49x\geq -12 -6 +28$

Reducimos los términos semejantes.

Simplificamos dividiendo por $10$

Dividimos en los dos miembros por $4$

$\displaystyle 40x\geq 10 \hspace{2cm} 4x\geq 1 \hspace{2cm} x\geq \frac{1}{4}$

solución de una inecuación grafica

$\displaystyle x\in \left[\frac{1}{4},\infty\right)$

3 $\displaystyle 6\left(\frac{x+1}{8}-\frac{2x-3}{16}\right)>3\left( \frac{3}{4}x-\frac{1}{4}\right) -\frac{3}{8}(3x-2)$

$\displaystyle 6\left(\frac{x+1}{8}-\frac{2x-3}{16}\right)>3\left( \frac{3}{4}x-\frac{1}{4}\right) -\frac{3}{8}(3x-2)$

Quitamos paréntesis multiplicando el primero por $6$ y el segundo por $3$ y el tercero por $\displaystyle \frac{-3}{8}$ :

$\displaystyle \frac{6(x+1)}{8}-\frac{6(2x-3)}{16}>\frac{9}{4}x-\frac{3}{4}-\frac{9}{8}x+\frac{6}{8}$

Hallamos el mínimo común múltiplo de los denominadores para quitar denominadores

$\text{m.c.m}(8,16,4)=16$

$16$ se divide por cada uno de los denominadores, multiplicándose el cociente obtenido por el numerador correspondiente.

$12x +12-12x+18>36x-12-18x+12$

$12+18>36x-18x$

Agrupamos términos, simplificamos dividiendo por $6$ y dividimos en los dos miembros por $3$ .

$\displaystyle 18x<30 \hspace{2cm} 3x<5 \hspace{2cm} x<\frac{5}{3}$

$\displaystyle x\in \left( -\infty, \frac{5}{3}\right)$

4 $\displaystyle \frac{2}{3}\left[x-\left(1-\frac{x-2}{3}\right)\right]+1\leq x$

Resolver la inecuación:

$\displaystyle \frac{2}{3}\left[x-\left(1-\frac{x-2}{3}\right)\right]+1\leq x$

Quitamos el paréntesis multiplicando por $-1$ , de modo que el corchete pasa a ser un paréntesis.

$\displaystyle \frac{2}{3}\left[x-1+\frac{x-2}{3}\right]+1\leq x$

Quitamos paréntesis multiplicando por $\displaystyle \frac{2}{3}$

$\displaystyle \frac{2}{3}x-\frac{2}{3}+\frac{2x-4}{9}+1\leq x$

Hallamos el mínimo común múltiplo para quitar denominadores.

$\text{m.c.m}(3,9)=9$

$9$ se divide por cada uno de los denominadores, multiplicándose el cociente obtenido por el numerador correspondiente.

$6x-6+2x-4+9\leq 9x$

Agrupamos los términos semejantes y realizamos las sumas y restas indicadas

Como el coeficiente de la $x$ es negativo multiplicamos por $-1$ , por lo que cambiará el sentido de la desigualdad

$-x\leq 1 \hspace{2cm} x\geq -1$

resolver inecuaciones grafica de intervalo

$x\in [-1,\infty)$

5 $2-\left[-2(x+1)-\frac{x-3}{2}\right]\leq \frac{2x}{3}-\frac{5x-3}{12}+3x$

$2-\left[-2(x+1)-\frac{x-3}{2}\right]\leq \frac{2x}{3}-\frac{5x-3}{12}+3x$

1º Quitar corchetes.

Quitamos el paréntesis multiplicando por $-2$ , de modo que el corchete pasa a ser un paréntesis:

$2-\left[-2x-2-\frac{x-3}{2}\right]\leq \frac{2x}{3}-\frac{5x-3}{12}+3x$

2º Quitar paréntesis.

Quitamos paréntesis multiplicando por $-1$ :

$2+2x+2+\frac{x-3}{2}\leq \frac{2x}{3}-\frac{5x-3}{12}+3x$

3º Quitar denominadores.

Hallamos el mínimo común múltiplo:

$12=2^2\cdot 3$

$\text{m.c.m}(2,3,12)=12$

$12$ se divide por cada uno de los denominadores, multiplicándose el cociente obtenido por el numerador correspondiente.

$24+24x+24+6(x-3) \leq 8x-(5x-3)+36x$

Quitamos paréntesis multiplicando el primero por $6$ y el segundo por $-1$ :

$24+24x+24+6x-18 \leq 8x-5x+3+36x$

4º Agrupamos los términos en $x$ a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro.

$24x+6x-8x+5x-36x\leq 3-24-24+18$

5º Efectuamos las operaciones

$-9x\leq -27$

6º Si el coeficiente de la $x$ es negativo multiplicamos por $-1$ , por lo que cambiará el sentido de la desigualdad.

Este paso los haremos siempre antes de despejar la incógnita

$9x\geq 27$

7º Despejamos la incógnita, dividiendo en los dos miembros por $9$ .

$\displaystyle \frac{9x}{9}\geq \frac{27}{9} \hspace{2cm} x\geq 3$

En la práctica se suele decir que el $9$ está multiplicando y pasa al otro miembro dividiendo a $27$ .

$\displaystyle x\geq \frac{27}{9} \hspace{2cm} x\geq 3$

Obtenemos la solución como una desigualdad, pero ésta también podemos expresarla:

De forma gráfica

intervalo solucion a una inecuacion grafica

Como un intervalo

$[3,\infty)$

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Calcula el valor que se indica

6 Halla los valores de $k$ para los que las raíces de la ecuación $x^2- 6x + k = 0$ sean las dos reales y distintas.

Para que la ecuación tenga dos raíces reales y distintas el discriminante $(b^2 -4ac)$ tiene que ser mayor que cero.

$(-6)^2- 4k > 0$

Resolvemos la inecuación:

$36 - 4k > 0$

Multiplicamos por $-1$ y cambiamos el signo de la desigualdad.

$- 4k > - 36 \hspace{2cm} k < 9$

Representación gráfica de la inecuación

$x\in (-\infty, 9)$

Inecuaciones de dos variables

7 $2x + y \leq 3$

$2x + y \leq 3$

1º Transformamos la desigualdad en igualdad.

$2x + y = 3$

2º Damos a la variable x dos valores, con lo que obtenemos dos puntos.

$x=0$

$2\cdot 0 + y =3 \hspace{2cm} y=3$

$(0,3)$

$x = 1$

$2\cdot 1 + y = 3 \hspace{2cm} y = 1$

$(1, 1)$

3º Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta.

inecuación con 2 incógnitas grafica

Tomamos el punto $(0, 0)$ y lo sustituimos en la inecuación.

$2 \cdot 0 + 0 \leq 3 \hspace{2cm} 0 \leq 3$

Como se cumple la desigualdad la solución es el semi-plano donde se encuentra $(0, 0)$ , incluyendo la recta porque tomamos los puntos menores y también los iguales.

En este caso dibujamos la recta con trazo continuo.

inecuacion en el plano grafica

8 $2x + y > 3$

$2x + y > 3$

1º Transformamos la desigualdad en igualdad.

$2x + y = 3$

2º Damos a la variable $x$ dos valores, con lo que obtenemos dos puntos.

$x=0$

$2\cdot 0 + y =3 \hspace{2cm} y=3$

$(0,3)$

$x = 1$

$2\cdot 1 + y = 3 \hspace{2cm} y = 1$

$(1, 1)$

3º Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta.

inecuaciones de dos variables grafica

Tomamos el punto $(0, 0)$ y lo sustituimos en la inecuación.

$2\cdot 0 +0 >3 \hspace{2cm} 0>3 \hspace{2cm} \textbf{NO}$

Como no se cumple la desigualdad, la solución es el semi-plano donde no se encuentra $(0, 0)$

En este caso (mayor que, pero no igual) los puntos de la recta no pertenecen a la solución.

En este caso dibujamos la recta con trazo discontinuo

conjunto solución de una inecuación grafica

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Marta

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Maelu
Invité

23 Nov.

Muchas gracias por las operaciones y sus resultados, confío en que gracias a ellas pueda aprobar el difícil examen de inecuaciones que tengo el lunes 🙏🏻

Superprof
Administrateur

25 Nov.

¡Te deseamos suerte!

pineda
Invité

16 May.

Me pueden ayudar con las siguientes inecuaciones.

Porfavor

Superprof
Administrateur

8 Jun.

Hola, escríbenos con una o dos ecuaciones que te parecen las más difíciles y te contestaremos cuantos antes. ¡Un saludo!

Luis
Invité

11 Jun.

Buena explicación me saque 10 en mi deber gracias

Superprof
Administrateur

24 Jun.

¡Excelente! 🙂

herrera
Invité

10 Jul.

2+x>=3(x-1)

Superprof
Administrateur

15 Jul.

Hola, primero deshacemos paréntesis y agrupamos términos semejantes:

2+x>=3(x-1)
2 + x ≥ 3x – 3
2 + 3 ≥ 3x – x
5 ≥ 2x
5/2 ≥ x

¡Un saludo!

Hernán
Invité

19 Jul.

Me sirvieron muchísimo para poder corregir los errores que tuve luego de realizar los ejercicios y poder mejorar..
Muchas gracias! 😊

Superprof
Administrateur

20 Jul.

¡Genial! Gracias por el comentario. 🙂

Problemas sobre inecuaciones de primer grado

Inecuaciones de una variable

De forma gráfica

Como un intervalo

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Inecuaciones de dos variables

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