Inecuaciones de una variable

 

1 2(x+1)-3(x-2)<x+6

 

 

 

2(x+1)-3(x-2)<x+6

 

Quitamos paréntesis multiplicando el primero por 2 y el segundo por -1:

 

2x+2-3x+6<x+6

 

Agrupamos términos semejantes

 

2x-3x-x<6-6-2

 

Dividimos por -2 y cambiamos el sentido de la desigualdad

 

-2x<-2 \hspace{2cm} x>1

 

Intervalo gráfico dibujo

 

x\in (1,\infty)

 

 

 

2\displaystyle \frac{3x+1}{7}-\frac{2-4x}{3}\geq \frac{-5x-4}{14} +\frac{7x}{6}

 

 

 

\displaystyle \frac{3x+1}{7}-\frac{2-4x}{3}\geq \frac{-5x-4}{14} +\frac{7x}{6}

 

Hallamos el mínimo común múltiplo de los denominadores para quitar denominadores

 

\text{m.c.m}(7,3,14,6)=42

 

42 se divide por cada uno de los denominadores, multiplicándose el cociente obtenido por el numerador  correspondiente

 

\displaystyle 6(3x+1)-14(2-4x)\geq 3(-5x-4)+49x

 

Quitamos paréntesis multiplicando el primero por 6, el segundo por -14 y el tercero por 3:

 

 18x+6-28+56x\geq -15x-12+49x

 

Agrupamos los términos semejantes.

 

18x+56x+15x-49x\geq -12 -6 +28

 

Reducimos los términos semejantes.

 

Simplificamos dividiendo por 10

 

Dividimos en los dos miembros por 4

 

\displaystyle 40x\geq 10 \hspace{2cm} 4x\geq 1 \hspace{2cm} x\geq \frac{1}{4}

 

solución de una inecuación grafica

 

\displaystyle x\in \left[\frac{1}{4},\infty\right)

 

 

 

3 \displaystyle 6\left(\frac{x+1}{8}-\frac{2x-3}{16}\right)>3\left( \frac{3}{4}x-\frac{1}{4}\right) -\frac{3}{8}(3x-2)

 

 

 

\displaystyle 6\left(\frac{x+1}{8}-\frac{2x-3}{16}\right)>3\left( \frac{3}{4}x-\frac{1}{4}\right) -\frac{3}{8}(3x-2)

 

 

Quitamos paréntesis multiplicando el primero por 6 y el segundo por 3 y el tercero por \displaystyle \frac{-3}{8} :

 

\displaystyle \frac{6(x+1)}{8}-\frac{6(2x-3)}{16}>\frac{9}{4}x-\frac{3}{4}-\frac{9}{8}x+\frac{6}{8}

 

Hallamos el mínimo común múltiplo de los denominadores para quitar denominadores

 

\text{m.c.m}(8,16,4)=16

 

16 se divide por cada uno de los denominadores, multiplicándose el cociente obtenido por el numerador correspondiente.

 

12x +12-12x+18>36x-12-18x+12

 

12+18>36x-18x

 

Agrupamos términos, simplificamos dividiendo por 6 y dividimos en los dos miembros por 3.

 

\displaystyle 18x<30 \hspace{2cm} 3x<5 \hspace{2cm} x<\frac{5}{3}

 

\displaystyle x\in \left( -\infty, \frac{5}{3}\right)

 

 

4 \displaystyle \frac{2}{3}\left[x-\left(1-\frac{x-2}{3}\right)\right]+1\leq x

 

 

Resolver la inecuación:

 

\displaystyle \frac{2}{3}\left[x-\left(1-\frac{x-2}{3}\right)\right]+1\leq x

 

Quitamos el paréntesis multiplicando por -1, de modo que el corchete pasa a ser un paréntesis.

 

\displaystyle \frac{2}{3}\left[x-1+\frac{x-2}{3}\right]+1\leq x

 

Quitamos paréntesis multiplicando por \displaystyle \frac{2}{3}

 

\displaystyle \frac{2}{3}x-\frac{2}{3}+\frac{2x-4}{9}+1\leq x

 

Hallamos el mínimo común múltiplo para quitar denominadores.

 

\text{m.c.m}(3,9)=9

 

9 se divide por cada uno de los denominadores, multiplicándose el cociente obtenido por el numerador correspondiente.

 

6x-6+2x-4+9\leq 9x

 

Agrupamos los términos semejantes y realizamos las sumas y restas indicadas

Como el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por -1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad

 

-x\leq 1 \hspace{2cm} x\geq -1

 

resolver inecuaciones grafica de intervalo

 

x\in [-1,\infty)

 

 

 

5 2-\left[-2(x+1)-\frac{x-3}{2}\right]\leq \frac{2x}{3}-\frac{5x-3}{12}+3x

 

 

 

2-\left[-2(x+1)-\frac{x-3}{2}\right]\leq \frac{2x}{3}-\frac{5x-3}{12}+3x

 

Quitar corchetes.

 

Quitamos el paréntesis multiplicando por -2, de modo que el corchete pasa a ser un paréntesis:

 

2-\left[-2x-2-\frac{x-3}{2}\right]\leq \frac{2x}{3}-\frac{5x-3}{12}+3x

 

Quitar paréntesis.

 

Quitamos paréntesis multiplicando por -1:

 

2+2x+2+\frac{x-3}{2}\leq \frac{2x}{3}-\frac{5x-3}{12}+3x

 

Quitar denominadores.

 

Hallamos el mínimo común múltiplo:

 

12=2^2\cdot 3

\text{m.c.m}(2,3,12)=12

12 se divide por cada uno de los denominadores, multiplicándose el cociente obtenido por el numerador correspondiente.

 

24+24x+24+6(x-3) \leq 8x-(5x-3)+36x

 

Quitamos paréntesis multiplicando el primero por  6 y el segundo por -1:

 

24+24x+24+6x-18 \leq 8x-5x+3+36x

 

Agrupamos los términos en x a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro.

 

24x+6x-8x+5x-36x\leq 3-24-24+18

 

Efectuamos las operaciones

 

-9x\leq -27

 

Si el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por -1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad.

 

Este paso los haremos siempre antes de despejar la incógnita

 

9x\geq 27

 

Despejamos la incógnita, dividiendo en los dos miembros por 9.

 

\displaystyle \frac{9x}{9}\geq \frac{27}{9} \hspace{2cm} x\geq 3

 

En la práctica se suele decir que el 9 está multiplicando y pasa al otro miembro dividiendo a 27.

 

\displaystyle x\geq \frac{27}{9} \hspace{2cm} x\geq 3

 

Obtenemos la solución como una desigualdad, pero ésta también podemos expresarla:

 

De forma gráfica

 

intervalo solucion a una inecuacion grafica

 

 

Como un intervalo

 

[3,\infty)

 

 

Superprof

Calcula el valor que se indica

 

6 Halla los valores de k para los que las raíces de la ecuación x^2- 6x + k = 0 sean las dos reales y distintas.

 

 

Para que la ecuación tenga dos raíces reales y distintas el discriminante (b^2 -4ac) tiene que ser mayor que cero.

 

(-6)^2- 4k > 0

 

Resolvemos la inecuación:

 

36 - 4k > 0

 

Multiplicamos por -1 y cambiamos el signo de la desigualdad.

 

- 4k > - 36 \hspace{2cm} k  < 9

 

 

Representación gráfica de la inecuación

 

 

x\in (-\infty, 9)

 

 

Inecuaciones de dos variables

 

7 2x + y \leq 3

 

 

2x + y \leq 3

 

Transformamos la desigualdad en igualdad.

 

2x + y = 3

 

Damos a la variable x dos valores, con lo que obtenemos dos puntos.

 

x=0

 2\cdot 0 + y =3 \hspace{2cm} y=3

(0,3)

x = 1

 2\cdot 1 + y = 3 \hspace{2cm}  y = 1

  (1, 1)

Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta.

 

 

inecuación con 2 incógnitas grafica

 

 

Tomamos el punto (0, 0) y lo sustituimos en la inecuación.

 

     2 \cdot 0 + 0 \leq 3 \hspace{2cm} 0 \leq 3

 

Como se cumple la desigualdad la solución es el semi-plano donde se encuentra (0, 0), incluyendo la recta porque tomamos los puntos menores y también los iguales.

 

En este caso dibujamos la recta con trazo continuo.

 

 

inecuacion en el plano grafica

 

 

 

8 2x + y > 3

 

 

 

2x + y > 3

 

Transformamos la desigualdad en igualdad.

 

2x + y = 3

 

Damos a la variable x dos valores, con lo que obtenemos dos puntos.

x=0

 2\cdot 0 + y =3 \hspace{2cm} y=3

(0,3)

x = 1

 2\cdot 1 + y = 3 \hspace{2cm}  y = 1

  (1, 1)

 

Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta.

 

 

inecuaciones de dos variables grafica

 

 

Tomamos el punto (0, 0) y lo sustituimos en la inecuación.

2\cdot 0 +0 >3 \hspace{2cm} 0>3 \hspace{2cm} \textbf{NO}

Como no se cumple la desigualdad, la solución es el semi-plano donde no se encuentra (0, 0)

 

En este caso (mayor que, pero no igual) los puntos de la recta no pertenecen a la solución.

 

En este caso dibujamos la recta con trazo discontinuo

 

 

conjunto solución de una inecuación grafica

 

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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Maelu
Maelu
Invité
23 Nov.

Muchas gracias por las operaciones y sus resultados, confío en que gracias a ellas pueda aprobar el difícil examen de inecuaciones que tengo el lunes 🙏🏻

Superprof
Superprof
Administrateur
25 Nov.

¡Te deseamos suerte!

pineda
pineda
Invité
16 May.

Me pueden ayudar con las siguientes inecuaciones.

Porfavor

Superprof
Superprof
Administrateur
8 Jun.

Hola, escríbenos con una o dos ecuaciones que te parecen las más difíciles y te contestaremos cuantos antes. ¡Un saludo!

Luis
Luis
Invité
11 Jun.

Buena explicación me saque 10 en mi deber gracias

Superprof
Superprof
Administrateur
24 Jun.

¡Excelente! 🙂

herrera
herrera
Invité
10 Jul.

2+x>=3(x-1)

Superprof
Superprof
Administrateur
15 Jul.

Hola, primero deshacemos paréntesis y agrupamos términos semejantes:

2+x>=3(x-1)
2 + x ≥ 3x – 3
2 + 3 ≥ 3x – x
5 ≥ 2x
5/2 ≥ x

¡Un saludo!

Hernán
Hernán
Invité
19 Jul.

Me sirvieron muchísimo para poder corregir los errores que tuve luego de realizar los ejercicios y poder mejorar..
Muchas gracias! 😊

Superprof
Superprof
Administrateur
20 Jul.

¡Genial! Gracias por el comentario. 🙂