¿Qué es la solución de una inecuación?

 

La solución de una inecuación es el conjunto de valores de las variables que verifica la inecuacíón. El conjunto de soluciones genera una región geométrica en la recta real si la inecuación es de una variable, o en el plano si es de dos.

 

Ejemplo:

 

  • La inecuación  \hspace{.3cm} y>x^2 \hspace{.3cm} nos genera la siguiente región en el plano.

 

región de soluciones de una inecuación
 

Superprof

Sistema de inecuaciones

 

La solución de un sistema de inecuaciones es la intersección de las regiones que corresponden a la solución de cada inecuación.

 

Un sistema de inecuaciones se dice que es lineal, si en ambos lados de cada inecuación aparece una expresión de primer grado.

 

\text{Lineal} \longrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x+y\leq 3\ \\ x+y\geq 1 \end{matrix}\right. \hspace{1cm}\text{No lineal} \longrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x^2+y\leq 3\ \\ x+y^3\geq 1 \end{matrix}\right.

 

Ejemplos de sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas

 

Vamos a resolver el sistema:

 

\left\{\begin{matrix} 2x+y\leq 3\ \\ x+y\geq 1 \end{matrix}\right.

 

Representamos la región solución de la primera inecuación

 

1 Transformamos la desigualdad en igualdad.

 

2x + y = 3

 

2 Damos dos valores a una de las dos variables , con lo que obtenemos dos puntos

 

x = 0 \hspace{1cm} \rightarrow  \hspace{1cm}   2 \cdot 0 + y = 3 \hspace{1cm}   y = 3    \hspace{1cm}       (0, 3)

 

x = 1 \hspace{1cm} \rightarrow  \hspace{1cm}   2 \cdot 1 + y = 3 \hspace{1cm}   y = 1    \hspace{1cm}       (1,1)

 

3 Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta

 

 

representación gráfica de inecuación

 

Finalmente tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0), lo sustituimos en la desigualdad. Si se cumple, la solución es el semiplano donde se encuentra el punto, si no, la solución será el otro semiplano

 

2x + y \leq 3

   2 \cdot 0 + 0 \leq  3 \hspace{1cm}   0 \leq 3  \hspace{1cm} \rightarrow Sí se cumple la inecuación

 

Como se cumple, la solución es el semiplano donde se encuentra (0, 0) incluida la recta

 

representación gráfica región solución de una inecuación

 

 

Representamos la región solución de la segunda inecuación

 

1 Transformamos la desigualdad en igualdad.

 

x + y = 1

 

Damos dos valores a una de las dos variables, con lo que obtenemos dos puntos

 

x = 0 \hspace{1cm} \rightarrow  \hspace{1cm}    0 + y = 1 \hspace{1cm}   y = 1    \hspace{1cm}       (0,1)

 

x = 1 \hspace{1cm} \rightarrow  \hspace{1cm}    1 + y = 1 \hspace{1cm}   y =0    \hspace{1cm}       (1,0)

 

 

representación gráfica del procedimiento para resolver inecuaciones

 

 

3 Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0) de nuevo, lo sustituimos en la desigualdad.

 

x + y\geq 1

 

0 + 0\geq 1 \rightarrow  No se cumple la inecuación

 

Como no se cumple, la solución es el semiplano donde no se encuentra (0, 0), incluida la recta

 

 

representación gráfica de soluciones de una inecuación lineal

 

La solución es la intersección de las regiones soluciones.

 

representación gráfica de intersección de soluciones

 

Ejemplos de sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita

 

Se resuelve cada inecuación por separado. El conjunto solución del sistema es la intersección de los conjuntos soluciones de ambas inecuaciones.

1 \left\{\begin{matrix} 2x+3\geq 1\\ -x+2\geq -1 \end{matrix}\right.

 

Resolvemos la primera inecuación

2x+3\geq 1 \hspace{1cm} 2x\geq 1-3 \hspace{1cm} 2x\geq -2 \hspace{1cm} x\geq -1

 

Resolvemos la segunda inecuación

-x+2\geq -1 \hspace{1cm} -x\geq -1-2 \hspace{1cm} -x\geq -3 \hspace{1cm} x\leq 3

 

Consideramos la intersección de las soluciones

 

representación gráfica de soluciones

 

El intervalo de soluciones es (−1, 3)

 

2 \left\{\begin{matrix} 2x+3\geq 1\\ -x+2< -1 \end{matrix}\right.

 

Resolvemos la primera inecuación

 

2x+3\geq 1 \hspace{1cm} 2x\geq 1-3 \hspace{1cm} 2x\geq -2 \hspace{1cm} x\geq -1

 

Resolvemos la segunda inecuación

 

-x+2< -1 \hspace{1cm} -x< -1-2 \hspace{1cm} -x< -3 \hspace{1cm} x> 3

 

Consideramos la intersección de las soluciones

 

representación gráfica de intersección de soluciones

El intervalo de soluciones es (3, ∞)

 

\left\{\begin{matrix} 2x+3< 1\\ -x+6< 3 \end{matrix}\right.

 

Resolvemos la primera inecuación

 

2x+3< 1 \hspace{1cm} 2x<1-3 \hspace{1cm} 2x< -2 \hspace{1cm} x< -1

 

Resolvemos la segunda inecuación

 

-x+6< 3 \hspace{1cm} -x< 3-6 \hspace{1cm} -x< -3 \hspace{1cm} x> 3

 

Consideramos la intersección de las soluciones

 

representación gráfica de problema sin solución

 

No tiene solución.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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Herrera
Herrera
Invité
12 May.

no entendí Martha lo siento.

Superprof
Superprof
Administrateur
7 Jun.

Hola Herrera, ¿nos puedes decir que parte te resulta difícl?

Carreño
Carreño
Invité
27 May.

Hl cm estas no puedo realizar esta ecuación x menor igual a 1/9 si puedes ayudarme gracias

Superprof
Superprof
Administrateur
16 Jun.

Hola Carreño no estamos seguros de haberte entendido, ¿nos puedes reformular tu pregunta? Te contestaremos lo más rápido posible. ¡Un saludo!