Name: Sistema de inecuaciones lineales
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Marta

1 junio 2019

Temas

¿Qué es la solución de una inecuación?
Sistema de inecuaciones
Ejemplos de sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas
Ejemplos de sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita

¿Qué es la solución de una inecuación?

La solución de una inecuación es el conjunto de valores de las variables que verifica la inecuacíón. El conjunto de soluciones genera una región geométrica en la recta real si la inecuación es de una variable, o en el plano si es de dos.

Ejemplo:

La inecuación $\hspace{.3cm} y>x^2 \hspace{.3cm}$ nos genera la siguiente región en el plano.

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Sistema de inecuaciones

La solución de un sistema de inecuaciones es la intersección de las regiones que corresponden a la solución de cada inecuación.

Un sistema de inecuaciones se dice que es lineal, si en ambos lados de cada inecuación aparece una expresión de primer grado.

$\text{Lineal} \longrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x+y\leq 3\ \\ x+y\geq 1 \end{matrix}\right. \hspace{1cm}\text{No lineal} \longrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x^2+y\leq 3\ \\ x+y^3\geq 1 \end{matrix}\right.$

Ejemplos de sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas

Vamos a resolver el sistema:

$\left\{\begin{matrix} 2x+y\leq 3\ \\ x+y\geq 1 \end{matrix}\right.$

Representamos la región solución de la primera inecuación

1 Transformamos la desigualdad en igualdad.

$2x + y = 3$

2 Damos dos valores a una de las dos variables , con lo que obtenemos dos puntos

$x = 0 \hspace{1cm} \rightarrow \hspace{1cm} 2 \cdot 0 + y = 3 \hspace{1cm} y = 3 \hspace{1cm} (0, 3)$

$x = 1 \hspace{1cm} \rightarrow \hspace{1cm} 2 \cdot 1 + y = 3 \hspace{1cm} y = 1 \hspace{1cm} (1,1)$

3 Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta

Finalmente tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0), lo sustituimos en la desigualdad. Si se cumple, la solución es el semiplano donde se encuentra el punto, si no, la solución será el otro semiplano

$2x + y \leq 3$

$2 \cdot 0 + 0 \leq 3 \hspace{1cm} 0 \leq 3 \hspace{1cm} \rightarrow$ Sí se cumple la inecuación

Como se cumple, la solución es el semiplano donde se encuentra (0, 0) incluida la recta

Representamos la región solución de la segunda inecuación

1 Transformamos la desigualdad en igualdad.

$x + y = 1$

2 Damos dos valores a una de las dos variables, con lo que obtenemos dos puntos

$x = 0 \hspace{1cm} \rightarrow \hspace{1cm} 0 + y = 1 \hspace{1cm} y = 1 \hspace{1cm} (0,1)$

$x = 1 \hspace{1cm} \rightarrow \hspace{1cm} 1 + y = 1 \hspace{1cm} y =0 \hspace{1cm} (1,0)$

3 Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0) de nuevo, lo sustituimos en la desigualdad.

$x + y\geq 1$

$0 + 0\geq 1 \rightarrow$ No se cumple la inecuación

Como no se cumple, la solución es el semiplano donde no se encuentra (0, 0), incluida la recta

La solución es la intersección de las regiones soluciones.

Ejemplos de sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita

Se resuelve cada inecuación por separado. El conjunto solución del sistema es la intersección de los conjuntos soluciones de ambas inecuaciones.

1 $\left\{\begin{matrix} 2x+3\geq 1\\ -x+2\geq -1 \end{matrix}\right.$

Resolvemos la primera inecuación

$2x+3\geq 1 \hspace{1cm} 2x\geq 1-3 \hspace{1cm} 2x\geq -2 \hspace{1cm} x\geq -1$

Resolvemos la segunda inecuación

$-x+2\geq -1 \hspace{1cm} -x\geq -1-2 \hspace{1cm} -x\geq -3 \hspace{1cm} x\leq 3$

Consideramos la intersección de las soluciones

El intervalo de soluciones es (−1, 3)

2 $\left\{\begin{matrix} 2x+3\geq 1\\ -x+2< -1 \end{matrix}\right.$

Resolvemos la primera inecuación

$2x+3\geq 1 \hspace{1cm} 2x\geq 1-3 \hspace{1cm} 2x\geq -2 \hspace{1cm} x\geq -1$

Resolvemos la segunda inecuación

$-x+2< -1 \hspace{1cm} -x< -1-2 \hspace{1cm} -x< -3 \hspace{1cm} x> 3$

Consideramos la intersección de las soluciones

El intervalo de soluciones es (3, ∞)

3 $\left\{\begin{matrix} 2x+3< 1\\ -x+6< 3 \end{matrix}\right.$

Resolvemos la primera inecuación

$2x+3< 1 \hspace{1cm} 2x<1-3 \hspace{1cm} 2x< -2 \hspace{1cm} x< -1$

Resolvemos la segunda inecuación

$-x+6< 3 \hspace{1cm} -x< 3-6 \hspace{1cm} -x< -3 \hspace{1cm} x> 3$

Consideramos la intersección de las soluciones

No tiene solución.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Comentarios

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Herrera

Mayo

no entendí Martha lo siento.

Superprof

Junio

Hola Herrera, ¿nos puedes decir que parte te resulta difícl?

Carreño

Mayo

Hl cm estas no puedo realizar esta ecuación x menor igual a 1/9 si puedes ayudarme gracias

Superprof

Junio

Hola Carreño no estamos seguros de haberte entendido, ¿nos puedes reformular tu pregunta? Te contestaremos lo más rápido posible. ¡Un saludo!

Humberto

Septiembre

0>0 es verdadero o es falso?

Superprof

Septiembre

Hola Humberto, son iguales. ¡Un saludo!

humberto tremaria

Marzo

Resolver 4(2×+1)/3>×1

Natalia

Septiembre

Resolver el siguiente sistema de inecuacion en forma analitica y expresar el resultado en forma gráfica 3x-9<12 2(5x-15)menor igual 5x

Guadalupe

Octubre

Hola! me podrían ayudar con esta inecuación:

2X + 3 + 2 (X +1) < – 3 ( 1 – X)

Gerard

Enero

Buenas, creo que seria:

2x + 3 + 2x + 2 < -3 + 3x
2x + 2x – 3x <-3 -3 -2
x < -8

A partir de ahí ya haces la igualdad con

x = -8

y ya va la representación grafica.

Tatu

Noviembre

MUY BIEN ESPLIACADO

Flavia Analia Roldan

Noviembre

Hola quería hacer una pregunta que no se como responder:
En un sistema de 3 inecuaciones que representa cada una de las inecuaciones??

Tereza

Diciembre

Muchas gracis!! Ya entiendi todo!!:)

Superprof

Diciembre

¡Genial!

Enero

me puede alguien ayudar con estas inecuaciones?
2x + y >=-1
4x – y >=-3

sandra

Febrero

−10x + 32 < 7x − 10 ≤ 3x − 24 por ejemplo aqui como se resolvería

Melissa

Febrero

me podrian ayudar con esto porfas
2x-y>-3
x+y<2

Rosita

Marzo

Me gustó mucho, y en estos momentos que las clases no son presenciales, está solución es excelente y muy explicativa

Dulce Moraga

Abril

Quisiera saber si me podían ayudar con esta pregunta… Cuál es el conjunto de solución de una inecuación?

Sistemas de inecuaciones

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Ejemplos de sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas

Representamos la región solución de la primera inecuación

Representamos la región solución de la segunda inecuación

La solución es la intersección de las regiones soluciones.

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