¡Bienvenidos a la sección de Ejercicios de Inecuaciones de Primer Grado!
Las inecuaciones de primer grado son expresiones algebraicas que involucran variables de primer orden y expresan relaciones de desigualdad. Estas desigualdades son esenciales para modelar situaciones del mundo real donde las cantidades pueden variar de manera continua. En esta serie de ejercicios, exploraremos el fascinante mundo de las inecuaciones y su aplicación en la resolución de problemas prácticos.
A lo largo de estos ejercicios, abordaremos conceptos clave como la representación gráfica de inecuaciones en la recta numérica, la resolución de inecuaciones simples y compuestas, y la interpretación de las soluciones en el contexto de problemas del día a día. Estos problemas te ayudarán a desarrollar habilidades fundamentales para entender y trabajar con inecuaciones, una herramienta poderosa en álgebra y en la modelación de situaciones variadas.
Inecuaciones de una variable
Quitamos paréntesis multiplicando el primero por 
y el segundo por 
:
Agrupamos términos semejantes
Dividimos por 
y cambiamos el sentido de la desigualdad
Hallamos el mínimo común múltiplo de los denominadores para quitar denominadores
se divide por cada uno de los denominadores, multiplicándose el cociente obtenido por el numerador correspondiente
Quitamos paréntesis multiplicando el primero por 
, el segundo por 
y el tercero por 
:
Agrupamos los términos semejantes.
Reducimos los términos semejantes.
Simplificamos dividiendo por 
Dividimos en los dos miembros por 
Quitamos paréntesis multiplicando el primero por y el segundo por y el tercero por 
:
Hallamos el mínimo común múltiplo de los denominadores para quitar denominadores
se divide por cada uno de los denominadores, multiplicándose el cociente obtenido por el numerador correspondiente.
Agrupamos términos, simplificamos dividiendo por y dividimos en los dos miembros por .
Quitamos el paréntesis multiplicando por , de modo que el corchete pasa a ser un paréntesis.
Quitamos paréntesis multiplicando por 
Hallamos el mínimo común múltiplo para quitar denominadores.
se divide por cada uno de los denominadores, multiplicándose el cociente obtenido por el numerador correspondiente.
Agrupamos los términos semejantes y realizamos las sumas y restas indicadas
Como el coeficiente de la 
es negativo multiplicamos por , por lo que cambiará el sentido de la desigualdad
1º Quitar corchetes.
Quitamos el paréntesis multiplicando por , de modo que el corchete pasa a ser un paréntesis:
2º Quitar paréntesis.
Quitamos paréntesis multiplicando por :
3º Quitar denominadores.
Hallamos el mínimo común múltiplo:
se divide por cada uno de los denominadores, multiplicándose el cociente obtenido por el numerador correspondiente.
Quitamos paréntesis multiplicando el primero por y el segundo por :
4º Agrupamos los términos en a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro.
5º Efectuamos las operaciones
6º Si el coeficiente de la es negativo multiplicamos por , por lo que cambiará el sentido de la desigualdad.
Este paso los haremos siempre antes de despejar la incógnita
7º Despejamos la incógnita, dividiendo en los dos miembros por .
En la práctica se suele decir que el está multiplicando y pasa al otro miembro dividiendo a 
.
Obtenemos la solución como una desigualdad, pero ésta también podemos expresarla:
De forma gráfica
Como un intervalo
Calcula el valor que se indica
Halla los valores de 
para los que las raíces de la ecuación 
sean las dos reales y distintas.
Para que la ecuación tenga dos raíces reales y distintas el discriminante 
tiene que ser mayor que cero.
Resolvemos la inecuación:
Multiplicamos por y cambiamos el signo de la desigualdad.
Halla los valores de para los que las raíces de la ecuación sean las dos reales e iguales.
Para que la ecuación tenga dos raíces reales e iguales el discriminante tiene que ser igual que cero.
Resolvemos la ecuación:
Multiplicamos por y cambiamos el signo de la igualdad.
Halla los valores de para los que las raíces de la ecuación 
sean las dos reales y distintas.
Para que la ecuación tenga dos raíces reales y distintas el discriminante tiene que ser mayor que cero.
Resolvemos la inecuación:
Multiplicamos por y cambiamos el signo de la desigualdad.
Halla los valores de para los que las raíces de la ecuación sean imaginarias.
Para que la ecuación tenga dos raíces imaginarias el discriminante tiene que ser menor que cero.
Resolvemos la inecuación:
Multiplicamos por y cambiamos el signo de la desigualdad.
Halla los valores de para los que las raíces de la ecuación 
sean imaginarias.
Necesitamos que el discriminante satisfaga
Es decir, toda la recta 
hace que la ecuación no tenga raíces reales.
Inecuaciones de dos variables
1º Transformamos la desigualdad en igualdad.
2º Damos a la variable x dos valores, con lo que obtenemos dos puntos.
3º Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta.
Tomamos el punto 
y lo sustituimos en la inecuación.
Como se cumple la desigualdad la solución es el semi-plano donde se encuentra , incluyendo la recta porque tomamos los puntos menores y también los iguales.
En este caso dibujamos la recta con trazo continuo.
1º Transformamos la desigualdad en igualdad.
2º Damos a la variable x dos valores, con lo que obtenemos dos puntos.
Tomamos el punto y lo sustituimos en la inecuación.
Como no se cumple la desigualdad la solución es el semi-plano donde no se encuentra , sin incluir la recta porque tomamos los puntos menores.
En este caso dibujamos la recta con trazo continuo.
1º Transformamos la desigualdad en igualdad.
2º Damos a la variable dos valores, con lo que obtenemos dos puntos.
3º Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta.
Tomamos el punto y lo sustituimos en la inecuación.
Como no se cumple la desigualdad, la solución es el semi-plano donde no se encuentra
En este caso (mayor que, pero no igual) los puntos de la recta no pertenecen a la solución.
En este caso dibujamos la recta con trazo discontinuo
1º Transformamos la desigualdad en igualdad.
2º Damos a la variable dos valores, con lo que obtenemos dos puntos.
Tomamos el punto 
y lo sustituimos en la inecuación.
Como no se cumple la desigualdad, la solución es el semi-plano donde no se encuentra
En este caso (mayor que, pero no igual) los puntos de la recta no pertenecen a la solución.
En este caso dibujamos la recta con trazo discontinuo
Despejando para 
, tenemos la desigualdad 
. Recordemos que la recta 
tiene pendiente 1 y pasa por los puntos 
, por lo que la desigualdad nos proporciona la parte superior de esta región:
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Ayúdame a resolver esto: una hamburguesa cuesta $5 y un gaseosa $2. Un cliente tiene máximo $20.¿Cuántas hamburguesas y gaseosas puede comprar?
3 hamburguesas y 2 gaseosas
En el ejercicio 9 de inecuaciones hay un error en el resultado, crec. Pone (-4,3) U (3,4) y creo que deberia ser (-4,-3)U(3,4). S no no lo comprendo.
Hola, fue un error nuestro discúlpanos ya se corrigió y gracias por tu ayuda.
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