Una desigualdad fraccionaria es una desigualdad en la que la incognita está tanto en el denominador como en el numerador. En general las desigualdades fraccionarias tienen alguna de las siguientes formas

 

1 \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} \leq 0, \quad Q(x) \neq 0

 

2 \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} \geq 0, \quad Q(x) \neq 0

 

3 \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} < 0, \quad Q(x) \neq 0

 

4 \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} > 0, \quad Q(x) \neq 0

 

Nos enfocaremos en explicar los primeros dos casos sobre como proceder. Los pasos son sencillos, lo que debemos es encontrar los valores de x en el numerador y el denominador para los cuales se cumple la desigualdad, normalmente terminamos tomandao intersecciones y uniones de los intervalos.

 

Primer caso importante

 

Empezaremos con \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} \leq 0, \quad Q(x) \neq 0.

 

1 Primero debemos encontrar los valores para los cuales \frac{P(x)}{Q(x)} = 0, esto lo hacemos encontrar los valores de x para los cuales el numerador es igual a cero, esto es, resolvemos P(x) = 0. Denotaremos el conjunto de valores para los cuales P(x) = 0 como A_0.

 

2 Tenemos que \frac{P(x)}{Q(x)} \leq 0, como ya encontramos los valores cuando es igual a cero, ahora solo nos enfocaremos en \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} < 0.

 

Tenemos dos casos en los cuales \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} < 0, recordemos que esto sucede siempre que el denominador P(x) y Q(x) tengan signos opuestos.Así, nuestro primer caso es P(x) > 0 y Q(x) < 0. Digamos que el conjunto de valores para los cuales P(x) > 0 es P_1, y el conjunto de valores para los cuales Q(x) < 0 como Q_1, entonces, el conjunto de solución para el cual se cumplen ambas desigualdes P(x) > 0 y Q(x) < 0 es la intersección A_1 = P_1 \cap Q_1. Ojo, notemos que tomamos Q(x) < 0 y no Q(x) \leq 0 ya que Q(x) es el denominador y no puede ser igual a cero.

 

Nuestro segundo caso es P(x) < 0 y Q(x) > 0. Digamos que el conjunto de valores para los cuales P(x) < 0 es P_2, y el conjunto de valores para los cuales Q(x) > 0 como Q_2, entonces, el conjunto de solución para el cual se cumplen ambas desigualdes P(x) < 0 y Q(x) > 0 es la intersección A_2 = P_2 \cap Q_2. Ojo, notemos que tomamos Q(x) > 0 y no Q(x) \geq 0 ya que Q(x) es el denominador y no puede ser igual a cero.

 

3 El conjunto solución es la unión de los conjuntos A_0, A_1 y A_2, esto es

 

\displaystyle A = A_0 \cup A_1 \cup A_2

 

Para el caso \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} < 0, \quad Q(x) \neq 0 es similar, pero solo nos enfocamos en el segundo y tercer punto.

 

Segundo caso importante

 

Ahora analicemos el caso cuando \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} \geq 0, \quad Q(x) \neq 0

 

1 Primero debemos encontrar los valores para los cuales \frac{P(x)}{Q(x)} = 0, esto lo hacemos encontrar los valores de x paara los cuales el numerador es igual a cero, esto es, resolvemos P(x) = 0. Denotaremos el conjunto de valores para los cuales P(x) = 0 como A_0.

 

2 Tenemos que \frac{P(x)}{Q(x)} \geq 0, como ya encontramos los valores cuando es igual a cero, ahora solo nos enfocaremos en \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} > 0.

 

Tenemos dos casos en los cuales \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} > 0, recordemos que esto sucede siempre que el denominador P(x) y Q(x) tengan signos iguales. Así, nuestro primer caso es P(x) > 0 y Q(x) > 0. Digamos que el conjunto de valores para los cuales P(x) > 0 es P_1, y el conjunto de valores para los cuales Q(x) > 0 como Q_1, entonces, el conjunto de solución para el cual se cumplen ambas desigualdes P(x) > 0 y Q(x) > 0 es la intersección A_1 = P_1 \cap Q_1. Ojo, notemos que tomamos Q(x) > 0 y no Q(x) \geq 0 ya que Q(x) es el denominador y no puede ser igual a cero.

 

Nuestro segundo caso es P(x) < 0 y Q(x) < 0. Digamos que el conjunto de valores para los cuales P(x) < 0 es P_2, y el conjunto de valores para los cuales Q(x) < 0 como Q_2, entonces, el conjunto de solución para el cual se cumplen ambas desigualdes P(x) < 0 y Q(x) < 0 es la intersección A_2 = P_2 \cap Q_2. Ojo, notemos que tomamos Q(x) < 0 y no Q(x) \leq 0 ya que Q(x) es el denominador y no puede ser igual a cero.

 

3 El conjunto solución es la unión de los conjuntos A_0, A_1 y A_2, esto es

 

\displaystyle A = A_0 \cup A_1 \cup A_2

 

Para el caso \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} > 0, \quad Q(x) \neq 0 es similar, pero solo nos enfocamos en el segundo y tercer punto.

 

Ejemplos

 

Normalmente es esto ejercicios P(x) y Q(x) son monomios o producto de monomios. Analicemos los siguientes ejemplos para entender a fondo el procedimiento:

 

1 Resuelve la siguiente inecuación

 

\displaystyle \frac{1 - x}{2x + 2} \leq 0

 

En este caso P(x) = 1 - x y Q(x) = 2x + 2. Empecemos analizando cuando

 

\displaystyle \frac{1 - x}{2x + 2} = 0.

 

Para esto necesitamos encontrar cuándo P(x) = 0, o bien 1 - x = 0, es claro que esto sucede cuando x = 1. Así, nuestro primer conjunto es A_0 = \{ 1\}. Ahora procedaos a analizando cuando

 

\displaystyle \frac{1 - x}{2x + 2} < 0

 

Ya sabemos que para esto tenemos dos casos, que es cuando el denominador y el numerador tienen signos opuestos. Empecemos por el primer caso

 

1 P(x) > 0 y Q(x) < 0.

 

Ya sabemos que esto es equivalente a 1 - x > 0 y 2x + 2 < 0. De la primer desigualdad tenemos

 

    \begin{align*} 1 - x &> 0\\1 > x\\\end{align*}

 

de donde se sigue que el conjunto solución de esta desigualdad es P_1 = (-\infty, 1). De la segunda tenemos

 

    \begin{align*} 2x + 2 &< 0\\x + 1 &< 0\\x &< -1\\\end{align*}

 

de donde se sigue que el conjunto solución de esta desigualdad es Q_1 = (-\infty, -1). Así el conjunto solución para este caso es la intersección, la cual es

 

\displaystyle A_1 = P_1 \cap Q_1 = (-\infty, 1) \cap (-\infty, -1) = (-\infty, -1).

 

2 P(x) < 0 y Q(x) > 0.

 

Ya sabemos que esto es equivalente a 1 - x < 0 y 2x + 2 > 0. De la primer desigualdad tenemos

 

    \begin{align*} 1 - x &< 0\\1 < x\\\end{align*}

 

de donde se sigue que el conjunto solución de esta desigualdad es P_2 = (1, \infty). De la segunda tenemos

 

    \begin{align*} 2x + 2 &> 0\\x + 1 &> 0\\x &> -1\\\end{align*}

 

de donde se sigue que el conjunto solución de esta desigualdad es Q_2 = (-1, \infty). Así el conjunto solución para este caso es la intersección, la cual es

 

\displaystyle A_2 = P_2 \cap Q_2 = (1, \infty) \cap (-1, \infty) = (1, \infty).

 

Por últimos, tenemos que la solución general de nuestra inecuación es la unión de nuestras tres soluciones A_0, A_1 y A_2, esto es

 

    \begin{align*} A &= A_0 \cup A_1 \cup A_2\\&= \{ 1\} \cup (-\infty, -1) \cup (1, \infty)\\&= (-\infty, -1) \cup [1, \infty)\\\end{align*}

 

2 Resuelve la siguiente inecuación

 

\displaystyle \frac{x - \sqrt{2}}{7x - 8} > 0

 

En este caso P(x) = x - \sqrt{2} y Q(x) = 7x - 8. Notemos que como aquí es estrictamente mayor, no nos importa cuando la fracción es igual a cero, por lo tanto nos brincamos a analizar directamente la desigualdad. Para esto tenemos dos casos, que es cuando tanto numerados como denominador tienen el mismo signo. Empecemos por el primer caso

 

1 P(x) > 0 y Q(x) > 0.

 

Ya sabemos que esto es equivalente a x - \sqrt{2} > 0 y 7x - 8 > 0. De la primer desigualdad tenemos

 

    \begin{align*} x - \sqrt{2} > 0\\x > \sqrt{2}\\\end{align*}

 

de donde se sigue que el conjunto solución de esta desigualdad es P_1 = (\sqrt{2}, \infty). De la segunda tenemos

 

    \begin{align*} 7x - 8 &> 0\\7x &> 8\\x &> \frac{8}{7}\\\end{align*}

 

de donde se sigue que el conjunto solución de esta desigualdad es Q_1 = \left( \frac{8}{7}, \infty \right). Así el conjunto solución para este caso es la intersección, la cual es

 

\displaystyle A_1 = P_1 \cap Q_1 = (\sqrt{2}, \infty) \cap \left( \frac{8}{7}, \infty \right) = (\sqrt{2}, \infty).

 

2 P(x) < 0 y Q(x) < 0.

 

Ya sabemos que esto es equivalente a x - \sqrt{2} < 0 y 7x - 8 < 0. De la primer desigualdad tenemos

 

    \begin{align*} x - \sqrt{2} < 0\\x < \sqrt{2}\\\end{align*}

 

de donde se sigue que el conjunto solución de esta desigualdad es P_2 = (-\infty, \sqrt{2}). De la segunda tenemos

 

    \begin{align*} 7x - 8 &< 0\\7x &< 8\\x &< \frac{8}{7}\\\end{align*}

 

de donde se sigue que el conjunto solución de esta desigualdad es Q_2 = \left(-\infty, \frac{8}{7}\right). Así el conjunto solución para este caso es la intersección, la cual es

 

\displaystyle A_2 = P_2 \cap Q_2 = (-\infty, \sqrt{2}) \cap \left(-\infty, \frac{8}{7}\right) = \left(-\infty, \frac{8}{7}\right).

 

Por últimos, tenemos que la solución general de nuestra inecuación es la unión de nuestras dos soluciones A_1 y A_2, esto es

 

    \begin{align*} A &= A_1 \cup A_2\\&= (\sqrt{2}, \infty)\cup \left(-\infty, \frac{8}{7}\right)\\&= \left(-\infty, \frac{8}{7}\right) \cup (\sqrt{2}, \infty)\\\end{align*}

 

3 Resuelve la siguiente inecuación

 

\displaystyle \frac{-x + 10}{x^2 + 7} \leq 0

 

En este caso P(x) = -x + 10 y Q(x) = x^2 + 7. Empecemos analizando cuando

 

\displaystyle \frac{-x + 10}{x^2 + 7} = 0.

 

Para esto necesitamos encontrar cuándo P(x) = 0, o bien -x + 10 = 0, es claro que esto sucede cuando x = 10. Así, nuestro primer conjunto es A_0 = \{ 10\}. Ahora procedaos a analizando cuando

 

\displaystyle \frac{-x + 10}{x^2 + 7} < 0

 

Ya sabemos que para esto tenemos dos casos, que es cuando el numerador y el denominador tienen signos opuesto. Empecemos por el primer caso

 

1 P(x) > 0 y Q(x) < 0.

 

Notemos que se nos pide que Q(x) < 0, lo cual es equivalente a

 

    \begin{align*} x^2 + 7 &< 0\\x^2 &< -7\\\end{align*}

 

Sin embargo x^2 > 0 para todo x \neq 0, por lo tanto, lo de arriba nos pide que

 

\displaystyle 0 < x^2 < -7

 

lo cual nos lleva a 0 < -7, lo cual no puede pasar nunca. Esto nos dice que no se puede cumplir que Q(x) < 0, por lo tanto, en este caso,

 

\displaystyle A_1 = \emptyset

 

2 P(x) < 0 y Q(x) > 0.

 

Ya sabemos que esto es equivalente a -x + 10 < 0 y x^2 + 7> 0. De la primer desigualdad tenemos

 

    \begin{align*} -x + 10 &< 0\\10 < x\\\end{align*}

 

de donde se sigue que el conjunto solución de esta desigualdad es P_2 = (10, \infty). De la segunda tenemos x^2 + 7 > 0 se cumple para todo x \in \mathbb{R}, por lo tanto se sigue que el conjunto solución de esta desigualdad es Q_2 = \mathbb{R} = (-\infty, \infty). Así el conjunto solución para este caso es la intersección, la cual es

 

\displaystyle A_2 = P_2 \cap Q_2 = (10, \infty) \cap \mathbb{R} = (10, \infty).

 

Por últimos, tenemos que la solución general de nuestra inecuación es la unión de nuestras tres soluciones A_0, A_1 y A_2, esto es

 

    \begin{align*} A &= A_0 \cup A_1 \cup A_2\\&= \{ 10\} \cup \emptyset \cup (10, \infty)\\&= [10, \infty)\\\end{align*}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗