Una inecuación es una pregunta entre dos cantidades algebraicas. La inecuación contiene incógnitas.  Resolviendo una desigualdad, encontramos los valores de nuestras incógnitas y, asi,  hacemos que la desigualdad sea verdadera.

 

Resolver los siguientes ejercicios con dos sistemas de inecuaciones lineales. 

 

Sistemas de dos inecuaciones con dos incógnitas

 

1{\left\{ \begin{array}{r} 2x+y \le 3 \\ x+y \ge 1 \end{array} \right.}

 

{\left\{ \begin{array}{r} 2x+y \le 3 \\ x+y \ge 1 \end{array} \right.} 

 

1 Representamos la región solución de la primera inecuación.
 

1 Transformamos la desigualdad en igualdad

 

{2x+y=3}

 

2 A una de las dos variables le damos dos valores y los sustituimos en la igualdad anterior para obtener dos puntos {A_{1}, B_{1}}

 

x=0 \longrightarrow 2(0)+y=3 \longrightarrow y=3 \longrightarrow A_{1}=(0,3)

 

x=1 \longrightarrow 2(1)+y=3 \longrightarrow y=1 \longrightarrow B_{1}=(1,1)

 

3 Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta

 

ejemplo de recta obtenida a partir de dos puntos 1

 

4 Tomamos un punto arbitrario, por ejemplo el {(0,0)} y lo sustituimos en la desigualdad. Si se cumple, la solución es el semiplano donde se encuentra el punto, si no la solución será el otro semiplano

 

(0,0) \longrightarrow 2(0)+0 \le 3 \longrightarrow 0 \le 3, \ \

 

Como se cumple, la solución es el semiplano donde se encuentra (0,0)  incluida la recta

 

ejemplo ejercicio region solucion inecuacion 1

 

 

2 Representamos la región solución de la segunda inecuación.

 

1 Transformamos la desigualdad en igualdad

 

x+y = 1

 

2 Damos a una de las dos variables dos valores para obtener dos puntos {A_{2}, B_{2}}

 

{x=0 \longrightarrow 0+y=1 \longrightarrow y=1 \longrightarrow A_{2}=(0,1)}

 

{x=1 \longrightarrow 1+y=1 \longrightarrow y=0 \longrightarrow B_{2}=(1,0)}

 

3 Al representar y unir estos dos puntos obtenemos una recta

 

ejemplo de recta obtenida a partir de dos puntos 2

 

 

4 Sustituimos el punto {(0,0)} en la desigualdad para verificar si la satisface

 

{(0,0) \longrightarrow 0+0 \ge 1 \longrightarrow 0 \ge 1}

 

Como no se cumple, la solución es el semiplano donde no se encuentra {(0,0)} incluida la recta

 

ejemplo ejercicio region solucion de inecuacion 2

 

3 La solución del sistema de inecuaciones es la intersección de las dos regiones soluciones.

 

ejemplo ejercicio solucion grafica de sistema de inecuaciones 1

 

2{\left\{ \begin{array}{r} x \ge 4 \\ y \ge 2 \end{array} \right.}

 

{\left\{ \begin{array}{r} x \ge 4 \\ y \ge 2 \end{array} \right.}

 

1 Transformamos las desigualdades en igualdades

 

{x=4, \ \ \ \ y=2}

 

2 Representamos las dos rectas en el plano cartesiano.

 

Como {x \ge 4}, la solución estará a la derecha de la recta {x=4} incluyendo la recta.

 

Como {y \ge 2}, la solución estará sobre la recta {y=2} incluyendo la recta.

 

3 La solución al sistema de inecuaciones es la intersección de las regiones soluciones

 

ejemplo ejercicio solucion grafica de sistema de inecuaciones 2

3{\left\{ \begin{array}{r} x+y \ge 0 \\ 2x-y \ge 0 \end{array} \right.}

 

{\left\{ \begin{array}{r} x+y \ge 0 \\ 2x-y \ge 0 \end{array} \right.}
 

1Representamos la región solución de la primera inecuación.

 

1 Transformamos la desigualdad en igualdad

 

{x+y =0}

 

2 Sustituimos dos valores de la variable {x} en la igualdad anterior, con ello obtenemos dos puntos {A_{1}, B_{1}}

 

{x=0 \longrightarrow 0+y=0 \longrightarrow y=0 \longrightarrow A_1=(0,0)}

 

{x=1 \longrightarrow 1+y=0 \longrightarrow y=-1 \longrightarrow B_1=(1,-1)}

 

3 Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta.

 

4 Tomamos un punto arbitrario que no esté en la recta, por ejemplo el {(1,0)} y lo sustituimos en la desigualdad. Si se cumple, la solución es el semiplano donde se encuentra el punto, si no la solución será el otro semiplano

 

{(1,0) \longrightarrow 1+0 \ge 0 \longrightarrow 1 \ge 0}

 

Como se cumple la desigualdad, la solución es el semiplano que contiene al punto {(1,0)} incluida la recta

 

ejemplo ejercicio region solucion de inecuacion 3

 

 

2 Representamos la región solución de la segunda inecuación.

 

1 Transformamos la desigualdad en igualdad

`

{2x-y=0}

 

2 Sustituimos dos valores de la variable {x} en la igualdad anterior, con ello obtenemos dos puntos {A_{2}, B_{2}}

 

{x=0 \longrightarrow 2(0)-y=0 \longrightarrow y=0 \longrightarrow A_2=(0,0)}

 

{x=1 \longrightarrow 2(1)-y=0 \longrightarrow y=2 \longrightarrow B_2=(1,2)}

 

3 Tomamos un punto arbitrario que no esté en la recta, por ejemplo el {(1, 0)} y lo sustituimos en la desigualdad

 

{(1,0) \longrightarrow 2(1)-0 \ge 0 \longrightarrow 2 \ge 0}

 

Como se cumple la desigualdad, la solución es el semiplano que contiene al punto {(1, 0)} incluida la recta

 

ejemplo ejercicio region solucion de inecuacion 4

 

3 La solución del sistema de inecuaciones es la intersección de las regiones soluciones.

 

ejemplo ejercicio solucion grafica de sistema de inecuaciones 3

 

Sistemas de tres inecuaciones con dos incógnitas

 

4{\left\{ \begin{array}{r} x+y \ge 0 \\ 2x-y \ge 0 \\ x \le 6 \end{array} \right.}

 

{\left\{ \begin{array}{r} x+y \ge 0 \\ 2x-y \ge 0 \\ x \le 6 \end{array} \right.}
 

1 Representamos la región solución de la primera inecuación.

 

1 Transformamos la desigualdad en igualdad

 

{x+y =0}

 

2 Consideramos dos valores para la variable {x}, con lo que obtenemos dos puntos {A_{1}, B_{1}}

 

{x=0 \longrightarrow 0+y=0 \longrightarrow y=0 \longrightarrow A_{1}=(0,0)}

 

{x=1 \longrightarrow 1+y=0 \longrightarrow y=-1 \longrightarrow B_{1}=(1,-1)}

 

3 Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta.

 

4 Tomamos un punto arbitrario que no esté en la recta, por ejemplo el {(1,0)} y lo sustituimos en la desigualdad. Si se cumple, la solución es el semiplano donde se encuentra el punto, si no la solución será el otro semiplano

 

{(1,0) \longrightarrow 1+0 \ge 0 \longrightarrow 1 \ge 0}

 

Como se cumple la desigualdad, la solución es el semiplano que contiene al punto {(1,0)} incluida la recta

 

ejemplo ejercicio region solucion de inecuacion 5

 

2 Representamos la región solución de la segunda inecuación.

 

1 Transformamos la desigualdad en igualdad

 

{2x-y=0}

 

2 Consideramos dos valores para la variable {x}, con lo que obtenemos dos puntos {A_{2}, B_{2}}

 

{x=0 \longrightarrow 2(0)-y=0 \longrightarrow y=0 \longrightarrow A_{2}=(0,0)}

 

{x=1 \longrightarrow 2(1)-y=0 \longrightarrow y=2 \longrightarrow B_{2}=(1,2)}

 

3 Tomamos un punto arbitrario que no esté en la recta, por ejemplo el {(1,0)} y lo sustituimos en la desigualdad

 

{(1,0) \longrightarrow 2(1)-0 \ge 0 \longrightarrow 2 \ge 0}

 

Como se cumple la desigualdad, la solución es el semiplano que contiene al punto {(1, 0)} incluida la recta

 

ejemplo ejercicio region solucion de inecuacion 6

 

3 Representamos la región solución de la tercera inecuación.

 

1 Representamos la recta {x=6}

 

2 Consideramos un valor de {x} que no esté en la recta, por ejemplo {2} y lo sustituimos en la desigualdad

 

{x=2 \longrightarrow 2 \le 6}

 

Como se cumple la desigualdad la solución es el semiplano donde se encuentra ell valor {2}

 

     ejemplo ejercicio region solucion de inecuacion 7

 

4 La solución es la intersección de las regiones soluciones.

 

ejemplo ejercicio solucion grafica de sistema de inecuaciones 4

 

Sistemas de dos inecuaciones con una incógnita

 

5{\left\{ \begin{array}{c} 2x+3 \ge 1 \\ -x+2 \ge -1 \end{array} \right.}

 

{\left\{ \begin{array}{c} 2x+3 \ge 1 \\ -x+2 \ge -1 \end{array} \right.}
 

1 Resolvemos la primera inecuación

 

{2x+3 \ge 1}

 

2Restamos {3} en ambos lados de la desigualdad y obtenemos

 

{\begin{array}{rcl} 2x+3 - 3 & \ge & 1 - 3 \\ & &  \\ 2x & \ge & -2 \end{array}}

 

3 Para despejar {x}, dividimos entre {2} ambos lados de la desigualdad y obtenemos

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{2x}{2} & \ge & \displaystyle\frac{-2}{2} \\ && \\ x & \ge & -1 \end{array}}

 

4 Resolvemos la segunda inecuación, para lo cual restamos {2} en ambos lados de la desigualdad y obtenemos

 

{\begin{array}{rcl} -x+2 & \ge & -1 \\ & &  \\ -x+2-2 & \ge & -1-2 \\ && \\ -x & \ge & -3 \end{array}}

 

5 Multiplicamos ambos lados de la desigualdad por {-1} por lo que invertimos el símbolo de la desigualdad

 

{\begin{array}{rcl} -x & \ge & -3 \\ & &  \\ -x(-1) & \le & -3(-1) \\ && \\ x & \le & 3 \end{array}}

 

6 Representamos gráficamente las soluciones

 

ejemplo ejercicio solucion grafica sistema inecuaciones 5

 

7 La solución del sistema de inecuaciones es la intersección de las dos soluciones, es decir todos los puntos que son comunes a ambas, esto es,

 

{[-1, 3]}

 

6{\left\{ \begin{array}{c} 2x+3 \ge 1 \\ -x+2 < -1 \end{array} \right.}

 

{\left\{ \begin{array}{c} 2x+3 \ge 1 \\ -x+2 < -1 \end{array} \right.}
 

1 Resolvemos la primera inecuación

 

{2x+3 \ge 1}

 

2Restamos {3} en ambos lados de la desigualdad y obtenemos

 

{\begin{array}{rcl} 2x+3 - 3 & \ge & 1 - 3 \\ & &  \\ 2x & \ge & -2 \end{array}}

 

3 Para despejar {x}, dividimos entre {2} ambos lados de la desigualdad y obtenemos

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{2x}{2} & \ge & \displaystyle\frac{-2}{2} \\ && \\ x & \ge & -1 \end{array}}

 

4 Resolvemos la segunda inecuación, para lo cual restamos {2} en ambos lados de la desigualdad y obtenemos

 

{\begin{array}{rcl} -x+2 & < & -1 \\ & &  \\ -x+2-2 & < & -1-2 \\ && \\ -x & < & -3 \end{array}}

 

5 Multiplicamos ambos lados de la desigualdad por {-1} por lo que invertimos el símbolo de la desigualdad

 

{\begin{array}{rcl} -x & < & -3 \\ & &  \\ -x(-1) & > & -3(-1) \\ && \\ x & > & 3 \end{array}}

 

6 Representamos gráficamente las soluciones

 

ejemplo ejercicio solucion grafica sistema inecuaciones 6

 

7 La solución del sistema de inecuaciones es la intersección de las dos soluciones, es decir todos los puntos que son comunes a ambas. Notamos que {x=3} es un punto que pertenece a la solución de la primera inecuación, pero no pertenece a la de la segunda, por tanto {x=3} es el extremo inferior del intervalo abierto solución

 

{(3, \infty)}

7{\left\{ \begin{array}{r} 2x+3 < 1 \\ -x+6 < 3 \end{array} \right.}

 

{\left\{ \begin{array}{r} 2x+3 < 1 \\ -x+6 < 3 \end{array} \right.}
 

1 Resolvemos la primera inecuación

 

{2x+3 < 1}

 

2Restamos {3} en ambos lados de la desigualdad y obtenemos

 

{\begin{array}{rcl} 2x+3 - 3 & < & 1 - 3 \\ & &  \\ 2x & < & -2 \end{array}}

 

3 Para despejar {x}, dividimos entre {2} ambos lados de la desigualdad y obtenemos

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{2x}{2} & < & \displaystyle\frac{-2}{2} \\ && \\ x & < & -1 \end{array}}

 

4 Resolvemos la segunda inecuación, para lo cual restamos {6} en ambos lados de la desigualdad y obtenemos

 

{\begin{array}{rcl} -x+6 & < & 3 \\ & &  \\ -x+6-6 & < & 3-6 \\ && \\ -x & < & -3 \end{array}}

 

5 Multiplicamos ambos lados de la desigualdad por {-1} por lo que invertimos el símbolo de la desigualdad

 

{\begin{array}{rcl} -x & < & -3 \\ & &  \\ -x(-1) & > & -3(-1) \\ && \\ x & > & 3 \end{array}}

 

6 Representamos gráficamente las soluciones

 

ejemplo ejercicio solucion grafica sistema inecuaciones 7

 

7 Observamos que no hay puntos comunes, por tanto la intersección entre los conjunto de las soluciones es intervalo solucion 3.

 

8{\left\{ \begin{array}{r} 10(x+1)+x \le 6(2x+1) \\ 4(x-10) < -6(2-x)-6x \end{array} \right.}

 

{\left\{ \begin{array}{r} 10(x+1)+x \le 6(2x+1) \\ 4(x-10) < -6(2-x)-6x \end{array} \right.}
 

1 Resolvemos la primera inecuación, para lo cual realizamos las multiplicaciones y simplificamos las operaciones

 

{\begin{array}{rcl} 10(x+1)+x & \le & 6(2x+1) \\ & & \\ 10x+10+x & \le & 12x+6 \\ & & \\ 11x+10 & \le & 12x+6  \end{array}}

 

2Restamos {12x} y {10} en ambos lados de la desigualdad y obtenemos

 

{\begin{array}{rcl} 11x+10 & \le & 12x+6 \\ & & \\ 11x+10-12x-10 & \le & 12x+6-12x-10 \\ & & \\ -x & \le & -4  \end{array}}

 

3 Multiplicamos ambos lados de la desigualdad por {-1} por lo que invertimos el símbolo de la desigualdad

 

{\begin{array}{rcl} -x & \le & -4 \\ & &  \\ -x(-1) & \ge & -4(-1) \\ && \\ x & \ge & 4 \end{array}}

 

4 Resolvemos la segunda inecuación, para lo cual realizamos las multiplicaciones y simplificamos las operaciones

 

{\begin{array}{rcl} 4(x-10) & < & -6(2-x)-6x \\ & & \\ 4x-40 & < & -12+6x-6x \\ & & \\ 4x-40 & < & -12  \end{array}

 

5 Sumamos {40} en ambos lados de la desigualdad y obtenemos

 

{\begin{array}{rcl} 4x-40 & < & -12 \\ & & \\ 4x-40+40 & < & -12+40 \\ & & \\ 4x & < & 28 \end{array}}

 

6 Para despejar {x}, dividimos entre {4} ambos lados de la desigualdad y obtenemos

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{4x}{4} & < & \displaystyle\frac{28}{4} \\ & & \\ x & < & 7 \end{array}}

 

7 Representamos gráficamente las soluciones

ejemplo ejercicio solucion grafica sistema inecuaciones 8

 

8 La solución del sistema de inecuaciones es la intersección de las dos soluciones anteriores, es decir todos los puntos que son comunes a ambas. Notamos que {x=7} es un punto que pertenece a la solución de la primera inecuación, pero no pertenece a la de la segunda, por tanto {x=7} es el extremo superior del intervalo solución mientras que {x=4} es el extremo inferior

 

{[4, 7)}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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