Primer segmento de inecuaciones para resolver:

 

1 Inecuacion o desigualdad

 

2 Inecuacion o desigualdad

 

3 Inecuacion o desigualdad

 

Resolver las siguientes inecuaciones:

1 Inecuacion o desigualdad

 

Quitamos paréntesis multiplicando el primero por 2 y el segundo por −1:

 

Simplificación de la inecuacion

 

Agrupamos términos semejantes

 

Simplificación por términos semejantes

 

Dividimos por −2 y cambiamos el sentido de la desigualdad

 

Resultado de la inecuacion

Gráfica de valores que cumplen la inecuacion

x ∈ (1, ∞)

 

 

2 Inecuacion o desigualdad

 

Hallamos el mínimo común múltiplo de los denominadores para quitar denominadores

Mínimo común múltiplo

 

42 se divide por cada uno de los denominadores, multiplicándose el cociente obtenido por el numerador correspondiente

 

Simplificación de la inecuacion

 

Quitamos paréntesis multiplicando el 1º por 6 y el 2º por −14 y el tercero por 3:

 

Simplificación de la inecuacion

 

Agrupamos términos

 

 Simplificación por términos semejantes

 

Reducimos los términos semejantes
Simplificamos dividiendo por 10
Dividimos en los dos miembros por 4

 

Resultado de la inecuacion

Gráfica de valores que cumplen la inecuacion

Intervalo

 

3 Inecuacion o desigualdad

 

Quitamos paréntesis multiplicando el primero por 6 y el segundo por 3 y el tercero por −3/8:

 

Simplificación de la inecuacion

 

Hallamos el mínimo común múltiplo de los denominadores para quitar denominadores

Mínimo común múltiplo

 

16 se divide por cada uno de los denominadores, multiplicándose el cociente obtenido por el numerador correspondiente

 

Simplificación de la inecuacion

Simplificación de la inecuacion

 

Agrupamos términos semejantes, simplificamos dividiendo por 6 y dividimos en los dos miembros por 3

 

Resultado de la inecuacion

Intervalo

 

Resuelve el sistema de inecuaciones:

 

Sistema de Inecuaciones

 

Resuelve el sistema:

 

Sistema de Inecuaciones

 

(x +1) · 10 + x ≤ 6 (2x + 1)

 

Empezamos quitando paréntesis en la primera ecuación

 

10x + 10 + x ≤ 12 x + 6

 

Reducimos a términos semejantes

 

10 x + x − 12x ≤ 6 − 10

 

Multiplicamos por −1 y cambiamos el sentido de la desigualdad

 

−x − 4       x ≥ 4

 

Resolvemos la segunda inecuación

 

Inecuacion o desigualdad

 

Quitamos paréntesis en la segunda ecuación

 

 Simplificación de la inecuacion

Reducimos a términos semejantes

 

Simplificación por términos semejantes

 

Dividimos por 4 en los dos miembros

 

Resultado de la inecuacion

 

Gráfica de valores que cumplen la inecuacion

 

La solución es la intersección de las dos soluciones anteriores:

x ∈ [4, 7)

 

Segundo segmento de inecuaciones para resolver:

 

1 7x² + 21x − 28 < 0

2 −x² + 4x − 7 < 0

3 Inecuacion o desigualdad

 

Resolver las inecuaciones:

1 7x² + 21x − 28 < 0

 

Simplificamos dividiendo por 7

x² + 3x − 4 < 0

 

Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado

x² + 3x − 4 = 0

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado

 

Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo

 

P(−6) = (−6)² + 3 · (−6) − 4 > 0

P(0) = 0² + 3 · 0 − 4 < 0

P(3) = 3² + 3 · 3 − 4 > 0

 

Gráfica de valores que cumplen la inecuacion

 

x ∈ (−4, 1)

 

2−x² + 4x − 7 < 0

 

Siempre que nos encontremos con una inecuación de segundo grado con a<0 multiplicamos los dos miembros por −1, por los que cambia el sentido de la desigualdad

x² − 4x + 7 > 0

 

Igualamos a cero y resolvemos la ecuación

x² − 4x + 7 = 0

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado

 

Como no tiene raíces reales le damos un valor al azar (el cero es el más simple) en la inecuación original

−0² + 4 · 0 − 7 < 0       − 7 < 0

 

Como se cumple la desigualdad la solución es
Si no se hubiese cumplido la desigualdad no hubiese tenido solución

 

3 Inecuacion o desigualdad

 

Igualamos a cero y buscamos las raíces de la ecuación de segundo grado

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado

 

Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo

Gráfica de valores que cumplen la inecuacion

 

P(−3) = 4 · (−3)² − 16 > 0

P(0) = 4 · 0² − 16 < 0

P(3) = 4 · 3² − 16 > 0

 

Gráfica de valores que cumplen la inecuacion

 

x ∈ (-∞ , −2 ] ∪ [2, +∞)

 

Tercer segmento de inecuaciones para resolver:

 

1  Inecuacion o desigualdad

2 x4 − 25x² + 144 < 0

3 x4 − 16x² − 225 ≥ 0

 

Resuelve:

1  Inecuacion o desigualdad

 

Extraemos factor común de x²

Factorización

 

Como el primer factor es siempre positivo, sólo tendremos que estudiar el signo del 2º factor.

Igualamos el 2º factor a cero y buscamos sus raíces

Ecuación de segundo grado

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado

 

Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo

 

Gráfica de valores que cumplen la inecuacion

 

P(−17) = (−17)² + 12 · 17 − 64 > 0

P(0) = 0² + 12 · 0 − 64 < 0

P(5) = 5 ² + 12 · 5 − 64 > 0

 

Gráfica de valores que cumplen la inecuacion

 

x ∈ (-∞, −16] ∪ [4, ∞)

 

2x4 − 25x² + 144 < 0

 

Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación bicuadrada

x4 − 25x² + 144 = 0

 

Para resolver la ecuación realizamos un cambio de variable:

Cambio de variable

 

Resolvemos la ecuación de segundo grado que hemos obtenido

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado

 

Deshacemos el cambio de variable para encontrar las soluciones de la ecuación bicuadrada

 

Raíces de un valor constante

 

Raíces de un valor constante

 

Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo

 

P(−5) = (−5)4 − 25 · (−5)² + 144 >0

P(−3.5) = (−3.5)4 − 25 · (−3.5)² + 144 < 0

P(0) = 04 − 25 · 0² + 144 > 0

P(3.5) = 3.54 − 25 · 3.5² + 144 < 0

P(5) = 54 − 25 · 5² + 144 > 0

 

Gráfica de valores que cumplen la inecuacion

 

x ∈ (−4, −3) ∪ (3, 4)

 

3x4 − 16x² − 225 ≥ 0

 

Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación bicuadrada

x4 − 16x² − 225 = 0 

 

Para resolver la ecuación realizamos un cambio de variable:

Cambio de variable

 

Resolvemos la ecuación

 

 Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado

 

Deshacemos el cambio de variable

 

Raíces de un valor constante

 

Raíces de un valor constante

 

(x + 5) · (x − 5) · (x² + 9) ≥ 0

 

El segundo factor siempre es positivo y distinto de cero, sólo tenemos que estudiar el signo de los otros factores.

(x + 5) · (x − 5) ≥ 0

x² − 25 ≥ 0

P(−6) = (−6)² − 25 > 0

P(0) = 0² − 25 < 0

P(6) = 6² − 25 > 0

 

Gráfica de valores que cumplen la inecuacion

 

x ∈ (-∞, −5] ∪ [5, +∞)

 

Cuarto segmento de inecuaciones para resolver:

 

1 Inecuacion o desigualdad

 

2  Inecuacion o desigualdad

 

 

Resolver las inecuaciones:

1 Inecuacion o desigualdad

 

Hallamos las raíces del numerador y del denominador

 

Raíz del numerador

Raíz del denominador

 

Simplificamos el denominador:

Binomio al cuadrado

 

Condición para el valor de x

 

El binomio elevado al cuadrado es siempre positivo, pero al tener delante el signo menos resultará que el denominador será siempre negativo

También tenemos que tener en cuenta que para x = 1 se anula el denominador

Condición para el valor de x

 

Multiplicamos por −1:

Simplificación de la inecuacion

 

Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo

 

P(−2) = (−2)² − 1 > 0

P(0) = 0² − 1 < 0

P(2) = 2² − 1 > 0

 

 Gráfica de valores que cumplen la inecuacion

 

(−-∞ , −1] ∪ (1, +∞)

 

2 Inecuacion o desigualdad

Hallamos las raíces del numerador y del denominador

 

Raíces del numerador

Raíces del denominador

Inecuacion con condición para la variable x

 

Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo

 

Evaluación de valores en las inecuaciones

 

Gráfica de valores que cumplen la inecuacion

 

x ∈ (−2 , −1] ∪ [1, 2)

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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