En estos ejercicio se supondrá que ya se tiene conocimiento sobre la definición de inecuación y algunas de sus propiedades. En caso de no ser así se sugiere visitar nuestro artículo sobre teoría.

 

Resolveremos cada uno de los ejercicios paso a paso. Debemos notar que resolver una inecuación es prácticamente igual que hacer un despeje en una igualdad, simplemente que ahora debemos prestar mucha atención sobre las propiedades de inecuaciones, cuándo éstas "cambian de sentido", etc. Haremos cada paso algebraico, intentando ser lo más detallados posibles.

 

Encuentra la solucion de cada una de las siguienes inecuaciones, o sistemas de inecuaciones y grafica su conjunto solución.

 

12(x + 1) - 3(x - 2) < x + 6

Procedamos a resolver la inecuación, recuerda que es muy parecido a un despeje en una igualdad, solo que ahora en vez de encontrar únicamente un valor para nuestra variable, encontramos todo un dominio, muchas veces formado por un intervalo o por uniones o intercepciones de intervalos. Nuestra inecuación es

 

2(x + 1) - 3(x - 2) < x + 6

 

Procedamos, para esto primero haremos uso de la propiedades distributiva y luego despejaremos x

 

    \begin{align*} 2(x + 1) - 3(x - 2) &< x + 6\\2x + 2 - 3x + 6 &< x + 6\\-x + 8 &< x + 6\\2 &< 2x\\1 &< x\end{align*}

 

Notemos que esto nos dice que 1 < x, o bien, tenemos que su conjunto de solución es el intervalo (1, \infty).

 

Gráfica de valores que cumplen la inecuacion

 

2\displaystyle \frac{3x + 1}{7} - \frac{2 - 4x}{3} \geq \frac{-5x - 4}{14} + \frac{7x}{6}

Nuestra inecuación a resolver es la siguiente:

 

\displaystyle \frac{3x + 1}{7} - \frac{2 - 4x}{3} \geq \frac{-5x - 4}{14} + \frac{7x}{6}

 

Procedamos, para esto nos desharemos de las fracciones primero y luego despejaremos x. Para deshacernos de las fracciones necesitamos el mínimo común múltiplo de los denominadores, el cual es \text{MCM}(7, 3, 14, 6) = 42, así, obtenemos

 

    \begin{align*} \frac{3x + 1}{7} - \frac{2 - 4x}{3} &\geq \frac{-5x - 4}{14} + \frac{7x}{6}\\\frac{42(3x + 1)}{7} - \frac{42(2 - 4x)}{3} &\geq \frac{42(-5x - 4)}{14} + \frac{42(7x)}{6}\\6(3x + 1) - 14(2 - 4x) &\geq 3(-5x - 4) + 7(7x)\\18x + 6 - 28 + 56x &\geq -15x - 12 + 49x\\74x -22 &\geq 34x - 12\\40x &\geq 10\\x &\geq \frac{1}{4}\end{align*}

 

Notemos que esto nos dice que \displaystyle x \geq \frac{1}{4}, o bien, tenemos que su conjunto de solución es el intervalo \displaystyle \left[\frac{1}{4}, \infty\right).

 

Gráfica de valores que cumplen la inecuacion

3\displaystyle 6 \left(\frac{x + 1}{8} - \frac{2x - 3}{16} \right) > 3\left( \frac{3}{4}x - \frac{1}{4}\right) - \frac{3}{8}(3x - 2)

Nuestra inecuación a resolver es la siguiente:

 

\displaystyle 6 \left(\frac{x + 1}{8} - \frac{2x - 3}{16} \right) > 3\left( \frac{3}{4}x - \frac{1}{4}\right) - \frac{3}{8}(3x - 2)

 

Procedamos, para esto, al igual que en los ejercicio anteriores, necesitamos aplicar ley distributiva y, además, eliminar las fracciones

 

     \begin{align*} 6 \left(\frac{x + 1}{8} - \frac{2x - 3}{16} \right) &> 3\left( \frac{3}{4}x - \frac{1}{4}\right) - \frac{3}{8}(3x - 2)\\\frac{3(x + 1)}{4} - \frac{3(2x - 3)}{8} &> \frac{9}{4}x - \frac{3}{4} - \frac{3(3x - 2)}{8}\\\frac{3x + 3}{4} - \frac{6x - 9}{8} &> \frac{9x}{4} - \frac{3}{4} - \frac{9x - 6}{8}\\\frac{8(3x + 3)}{4} - \frac{8(6x - 9)}{8} &> \frac{8(9)x}{4} - \frac{8(3)}{4} - \frac{8(9x - 6)}{8}\\2(3x + 3) - (6x - 9) &> 2(9)x - 2(3) - (9x - 6)\\6x + 6 - 6x + 9 &> 18x - 6 - 9x + 6\\15 &> 9x\\\frac{15}{9} &> x \\\frac{5}{3} &> x \\\end{align*}

 

Notemos que esto nos dice que x < \frac{5}{3}, o bien, tenemos que su conjunto de solución es el intervalo \displaystyle \left( -\infty, \frac{5}{3}\right).

 

4 \displaystyle \begin{cases}10(x + 1) + x \leq 6(2x + 1)\\4(x - 10) < -6(2 - x) - 6x\end{cases}

Para resolver este sistema debemos resolver las inecuaciones por serparado y luego encontrar los valores para los cuales x cumple ambas inecuaciones.

 

Empecemos con la primer inecuación

 

    \begin{align*} 10(x + 1) + x &\leq 6(2x + 1)\\10x + 10 + x &\leq 12x + 6\\11x + 10 &\leq 12x + 6\\4 &\leq x\end{align*}

 

así, de la primer inecuación tenemos que 4 \leq x, o bien, que x pertenece al intervalo [4, \infty). Ahora resolvamos la segunda inecuación

 

    \begin{align*} 4(x - 10) &< -6(2 - x) - 6x\\4x - 40 &< -12 + 6x - 6x\\4x - 40 &< -12 \\4x &< 28 \\x &< 7 \\\end{align*}

 

así, de la segunda inecuación tenemos que x < 7, o bien, que x pertenece al intervalo (-\infty, 7). Notemos que equis debe cumplir ambas condiciones, esto es, 4 \leq x y x < 7, esto es equivalente a decir que x se encuentra en la intersección de los intervalos [4, \infty) y (-\infty, 7), así, el conjunto solución es

 

\displaystyle [4, \infty) \cap (-\infty, 7) = [4, 7)

 

Gráfica de valores que cumplen la inecuacion

 

5 7x^2 + 21x - 28 < 0

7x^2 + 21x - 28 < 0

 

Procedamos a resolver el ejercicio

 

    \begin{align*} 7x^2 + 21x - 28 &< 0\\x^2 + 3x - 4 &< 0\\(x + 4)(x - 1)&< 0\\\end{align*}

 

Notemos que esto nos dice que (x + 4)(x - 1) < 0, sin embargo, el producto es negativo únicamente cuando las expresiones que se multiplican tienen signos contrarios, esto es, tenemos dos casos principales, uno es que x + 4 < 0 y x - 1 > 0, o bien, el otro caso es que x + 4 > 0 y x - 1 < 0.

 

Evaluemos cada caso, empecemos con el primero que mencionamos. Supongamos que x + 4 < 0, entonces x < -4, además, tenemos que x - 1 > 0, entonces x > 1, esto es x debe cumplir que x < -4 y x > 1, o bien, debe pertenecer a la intersección de los intervalos (1, \infty) y (-\infty, -4). Notemos que la intersección es vacía, dichos intervalos no intersectan, por lo tanto, de este caso no obtenemos solución alguna.

 

Ahora procedamos con el segundo caso, supongamos que x + 4 > 0, entonces x > -4, además, tenemos que x - 1 < 0, entonces x < 1, esto nos dice que x debe cumplir que x > -4 y x < 1, o bien, debe pertenecer a la intersección de los intervalos (-4, \infty) y (-\infty, 1). Notemos que la intersección es (-4, 1), dicho intervalo es la solución que buscamos.

 

Gráfica de valores que cumplen la inecuacion

6 -x^2 + 4x - 7 < 0

Resolvamos nuestra inecuación

 

-x^2 + 4x - 7 < 0

 

Procedamos a resolver el ejercicio

 

    \begin{align*} -x^2 + 4x - 7 &< 0\\x^2 - 4x + 7 &> 0\\\end{align*}

 

Notemos que para expresar a x^2 - 4x + 7 como producto de expresiones de primier grado debemos encontrar sus raíces, para esto, utilizando la fórmula cuadrática tenemos que

 

\displaystyle x = \frac{4 \pm \sqrt{-12}}{2}

 

sin embargo, notemos que tenemos la raíz cuadrada de un número negativo, por lo tanto las raíces del polinomio son ambas números complejos. Dicho lo anterior, como no podemos escribir el polinomio como producto de expresiones de primer grado reales, para encontrar solución sustituiremos x por un número real cualquiera que elijamos, si la inecuación se cumple, tendremos que entonces la solución es el conjunto de los números reales \mathbb{R}, en caso de no cumplirse, entonces tendremos que no existe solución. Sustuyamos x = 1, así

 

    \begin{align*} (1)^2 - 4(1) + 7 &> 0\\1 - 4 + 7 &> 0\\4 &> 0\\\end{align*}

 

Como es cierto que 4 > 0, entonces el conjunto solución es \mathbb{R}.

 

7 x^4 + 12x^3 - 64 x^2 > 0

Nuestra inecuación dada es

 

x^4 + 12x^3 - 64 x^2 > 0

 

Procedamos a resolver

 

    \begin{align*} x^4 + 12x^3 - 64 x^2 &> 0\\x^2(x^2 + 12x^1 - 64) &> 0\\x^2 + 12x^1 - 64 &> 0\\\end{align*}

 

Notemos que al final dividí entre x^2, esto es porque al ser la expresión estrictamente positiva, es imposible que x = 0, por lo tanto x^2 > 0. Ahora, calculando las raíces de x^2 + 12x^1 - 64 podemos escribir nuestra inecuación como

 

    \begin{align*} x^2 + 12x^1 - 64 &> 0\\(x + 16)(x - 4) &> 0\end{align*}

 

Esto nos dice que (x + 16)(x - 4) > 0, sin embargo, el producto es positivo únicamente cuando las expresiones que se multiplican tienen el mismo signo, esto es, tenemos dos casos principales, uno es que x + 16 < 0 y x - 4 < 0, o bien, el otro caso es que x + 16 > 0 y x - 4 > 0.

 

Evaluemos cada caso, empecemos con el primero que mencionamos. Supongamos que x + 16 < 0, entonces x < -16, además, tenemos que x - 4 < 0, entonces x < 4, esto es x debe cumplir que x < -16 y x < 4, o bien, debe pertenecer a la intersección de los intervalos (-\infty, -16) y (-\infty, -4). Notemos que la intersección es (-\infty, -16), por lo tanto esta es una solución.

 

Ahora procedamos con el segundo caso, supongamos que x + 16 > 0, entonces x > -16, además, tenemos que x - 4 > 0, entonces x > 4, esto nos dice que x debe cumplir que x > -16 y x > 4, o bien, debe pertenecer a la intersección de los intervalos (-16, \infty) y (4, \infty). Notemos que la intersección es (4, \infty), dicho intervalo también es solución.

 

Así, nuestra solución final es la unión de las dos soluciones individuales que encontramos, esto es, la solución final es (-\infty, -16) \cup (4, \infty).

 

Gráfica de valores que cumplen la inecuacion

 

8 x^4 - 25x^2 + 144 < 0

x^4 - 25x^2 + 144 < 0

 

Procedamos a resolver el ejercicio

 

    \begin{align*} x^4 - 25x^2 + 144 &< 0\\(x^2 - 9)(x^2 - 16) &< 0\\\end{align*}

 

Esto nos dice que (x^2 - 9)(x^2 - 16) < 0, sin embargo, el producto es negativo únicamente cuando las expresiones que se multiplican tienen signos opuestoso, esto es, tenemos dos casos principales, uno es que x^2 - 9 > 0 y x^2 - 16 < 0, o bien, el otro caso es que x^2 - 9 < 0 y x^2 - 16 > 0.

 

Evaluemos cada caso, empecemos con el primero que mencionamos. Supongamos que x^2 - 9 > 0, primero, de nuevo debemos expresar este este polinomio de segundo orden como producto de expresiones de primer grado, esto es

 

    \begin{align*} x^2 - 9 &> 0\\(x - 3)(x + 3) &> 0\\\end{align*}

 

Para que esto sea positivo se debe cumplir también que x - 3 y x + 3 sean del mismo signo, esto es, que ambos sean positivos o ambos negativos. Suponiendo que ambos son negativos, tenemos que x - 3 < 0, entonces, x < 3 y x + 3 < 0, entonces, x < -3, esto es equivalente a decir que x pertenece a la intersección de los intervalos (-\infty, 3) y (-\infty, -3) la cual es (-\infty, -3).

 

Ahora supongamos que x - 3 y x + 3 son positivos, tenemos que x - 3 > 0, entonces, x > 3 y x + 3 > 0, entonces, x > -3, esto es equivalente a decir que x pertenece a la intersección de los intervalos (3, \infty) y (-3, \infty) la cual es (3, \infty).

 

Así, para que se cumpla que x^2 - 9 > 0 se debe tener que x pertenezca a la unión de los dos intervalos que encontramos previamente, esto es, x pertenece a (-\infty, -3) \cup (3, \infty).

 

Como la suposición es que x^2 - 9 > 0, también se tiene que x^2 - 16 < 0, debemos expresar este este polinomio de segundo orden como producto de expresiones de primer grado, esto es

 

    \begin{align*} x^2 - 16 &< 0\\(x - 4)(x + 4) &< 0\\\end{align*}

 

Para que esto sea negativo se debe cumplir también que x - 4 y x + 4 tengan signos opuestos. Suponiendo que x - 4 < 0 y x + 4 > 0 tenemos que x < 4 y x > - 4 respectivamente, esto es, x pertenece a la intersección de los intervalos (-\infty, 4) y (-4, \infty) la cual es (-4, 4).

 

Ahora supongamos que x - 4 > 0 y x + 4 < 0 tenemos que x > 4 y x < - 4 respectivamente, esto es, x pertenece a la intersección de los intervalos (-\infty, -4) y (4, \infty) la cual es vacía. Así, la única forma de que x^2 - 16 < 0 es que x pertenezca al intervalo (-4, 4)

 

Todo lo anterior nos dice que para que se cumpla que x^2 - 9 > 0 y x^2 - 16 < 0, x debe de pertenecer a la intersección de los conjuntos que encontramos, (-\infty, -3) \cup (3, \infty) y (-4, 4), la cual es (-4, 3) \cup (3, 4).

 

Procedamos con nuestra segunda suposición principal, la cual es que x^2 - 9 < 0 y x^2 - 16 > 0. Supongamos que x^2 - 9 < 0, primero, de nuevo debemos expresar este este polinomio de segundo orden como producto de expresiones de primer grado, esto es

 

    \begin{align*} x^2 - 9 &< 0\\(x - 3)(x + 3) &< 0\\\end{align*}

 

Para que esto sea negativo se debe cumplir también que x - 3 y x + 3 tengan signos opuestos. Suponiendo que x - 3 < 0 y x + 3 > 0 tenemos que x < 3 y x > - 3 respectivamente, esto es, x pertenece a la intersección de los intervalos (-\infty, 3) y (-3, \infty) la cual es (-3, 3).

 

Ahora supongamos que x - 3 > 0 y x + 3 < 0 tenemos que x > 3 y x < - 3 respectivamente, esto es, x pertenece a la intersección de los intervalos (-\infty, -3) y (3, \infty) la cual es vacía. Así, la única forma de que x^2 - 9 < 0 es que x pertenezca al intervalo (-3, 3)

 

También se tiene que x^2 - 16 > 0, debemos expresar este este polinomio de segundo orden como producto de expresiones de primer grado, esto es

 

    \begin{align*} x^2 - 16 &> 0\\(x - 4)(x + 4) &> 0\\\end{align*}

 

Para que esto sea positivo se debe cumplir también que x - 4 y x + 4 sean del mismo signo, esto es, que ambos sean positivos o ambos negativos. Suponiendo que ambos son negativos, tenemos que x - 4 < 0, entonces, x < 4 y x + 4 < 0, entonces, x < -4, esto es equivalente a decir que x pertenece a la intersección de los intervalos (-\infty, 4) y (-\infty, -4) la cual es (-\infty, -4).

 

Ahora supongamos que x - 4 y x + 4 son positivos, tenemos que x - 4 > 0, entonces, x > 4 y x + 4 > 0, entonces, x > -4, esto es equivalente a decir que x pertenece a la intersección de los intervalos (4, \infty) y (-4, \infty) la cual es (4, \infty).

 

Así, para que se cumpla que x^2 - 16 > 0 se debe tener que x pertenezca a la unión de los dos intervalos que encontramos previamente, esto es, x pertenece a (-\infty, -4) \cup (4, \infty).

 

Por lo tanto tenemos que para que se cumpla que x^2 - 9 < 0 y x^2 - 16 > 0, x debe de pertenecer a la intersección de los conjuntos que encontramos, (-\infty, -4) \cup (4, \infty) y (-3, 3), la cual es vacía.

 

Nuestra solución final sería la unión de las dos soluciones para cada caso, sin embargo, como la última solución es el conjunto vacío, nuestra solución final es el conjunto (-4, 3) \cup (3, 4).

 

Gráfica de valores que cumplen la inecuacion

 

9 \displaystyle \frac{x^2 - 1}{-x^2 + 2x - 1} \leq 0

Resolveremos la siguiente inecuación:

 

\displaystyle \frac{x^2 - 1}{-x^2 + 2x - 1} \leq 0

 

Notemos que

 

    \begin{align*} \frac{x^2 - 1}{-x^2 + 2x - 1} &\leq 0\\\frac{(x - 1)(x + 1)}{-(x - 1)^2} &\leq 0\\\frac{x + 1}{-(x - 1)} &\leq 0\\\frac{x + 1}{1 - x} &\leq 0\\\end{align*}

 

Para que la fracción sea igual a cero se tiene que cumpli que el numerador sea igual a cero, esto es x + 1 = 0, por lo tanto x = -1.

 

Tenemos que para que la fracción sea estrictamente negativa, se tiene que cumplir que el numerador y el denominador sean de signo opuesto. Primero supongamos que el numerador es positivo y el denominador negativo, por lo tanto x + 1 > , esto es x > -1 y 1 - x < 0, por lo tanto 1 < x, esto quiere decir que x debe pertenecer a la intersección de los intervalos (-1, \infty) y (1, \infty), la cual es (1, \infty).

 

Ahora supongamos que el numerador es negativo y el denominador positivo, por lo tanto x + 1 < , esto es x < -1 y 1 - x > 0, por lo tanto 1 > x, esto quiere decir que x debe pertenecer a la intersección de los intervalos (-\infty, -1) y (-\infty, 1), la cual es (-\infty, -1).

 

Todo esto nos quiere decir que para que se cumpla que \displaystyle \frac{x^2 - 1}{-x^2 + 2x - 1} \leq 0, se tiene que x debe pertenecer a la unión de los dos intervalos que obtuvimos y el punto x = -1, por lo tanto, el conjunto solución es (-\infty, -1] \cup (1, \infty).

 

 Gráfica de valores que cumplen la inecuacion

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗