Pasos para resolver inecuaciones de segundo grado

 

Lo primero que debemos hacer, es recordar ciertas propiedades de las ecuaciones de segundo grado, relacionadas con su tipo de soluciones:

 

Es posible conocer el tipo de soluciones que tendrá una ecuación de segundo grado

 

\displaystyle ax^2+bx+c=0

 

si es que tenemos el signo de su discriminante

 

\displaystyle \bigtriangleup = b^2 -4ac.

 

donde hay tres casos posibles:

 

  • Si \displaystyle \bigtriangleup > 0, entonces hay dos soluciones reales distintas

 

  • Si \displaystyle \bigtriangleup = 0, entonces hay una única solución real, con multiplicidad dos

 

  • Si \displaystyle \bigtriangleup < 0, entonces no tiene solucion real

 

Esta información será de utilidad, ya que nos permitirá realizar un proceso muy simple para conocer la solución de inecuaciones de segundo grado.

 

Es importante también, hacer notar que en términos generales, el proceso de solución de la inecuación consiste en:

 

  • Encontrar las soluciones de la ecuación

 

  • Ubicarlas en la recta real e identificar las secciones generadas

 

  • Conocer el signo del polinomio en cada una de las secciones generadas

 

  • Buscar la solución de la inecuación

 

Y en dado caso que la ecuación no tenga solución real, no se secciona a la recta real, sin embargo también se busca el signo del polinomio y el proceso es análogo.

 

Entonces, dependiendo del signo del discriminante aplicaremos un proceso a seguir, por tal razón dividiremos el proceso en tres casos.

 

Primer caso: \displaystyle \bigtriangleup > 0

 

Vamos a resolver la inecuación: \displaystyle x^2-6x+8 > 0

 

Ahora, debemos conocer el signo del discriminante

 

\displaystyle \bigtriangleup = (-6)^2-4(1)(8)=36-32=4 > 0

 

significa que existen dos soluciones reales distintas de la ecuación (o raíces del polinomio), y entonces ahora sigamos este proceso:

 

1Encontrar las soluciones de la ecuación

 

Igualamos con cero al polinomio \displaystyle x^2-6x+8=0

 

Factorizamos \displaystyle (x-4)(x-2)=0

 

Y entonces las soluciones son: \displaystyle x_1=2 y \displaystyle x_2=4

vemos que las soluciones son raíces reales distintas porque el discriminante es mayor que cero.

 

2 Ubicarlas en la recta real e identificar las secciones generadas

 

Primero, ubicamos los valores obtenidos en la recta real, colocamos encima de ellos dos círculos vacíos con la finalidad de representar geométricamente, que en la inecuación no se permite la igualdad con cero, y además observamos que se generan tres regiones

 

Representación gráfica de intervalos 2 4

 

La razón de esto es la siguiente:

 

Si \displaystyle p(x)=x^2-6x+8, entonces el polinomio valuado en las soluciones, da como resultado cero

 

  • \displaystyle p(2)=2^2-6(2)+8=4-12+8=0

 

  • \displaystyle p(4)=4^2-6(4)+8=16-24+8=0

 

y por otro lado la inecuación \displaystyle x^2-6x+8>0 al ser estrictamente mayor que cero, no admite valores x que al evaluarlos en el polinomio, el resultado genere un cero, en este caso son justamente x_1=2 y x_2=4.

 

Por esta razón se ponen los círculos vacíos, para quitar a los valores que no admite la inecuación y tomarlos únicamente como referencia.

 

En caso contrario, de admitir la inecuación iguadad con cero, se colocan círculos rellenos.

 

3 Conocer el signo del polinomio en cada una de las secciones generadas

 

Como observamos en el paso anterior, se generaron tres secciones, así que por cada una de ellas seleccionemos a uno de sus valores y evaluemos en el polinomio para conocer su signo:

 

  • Para \displaystyle (-\infty,2), podemos seleccionar \displaystyle x=0 y evaluarlo en el polinomio \displaystyle p(0)=8, resultando un valor positivo.

 

  • Para \displaystyle (2,4), podemos seleccionar \displaystyle x=3 y evaluarlo en el polinomio \displaystyle p(3)=3^2-6(3)+8=9-18+8=-1, resultando un valor negativo.

 

  • Para \displaystyle (4,\infty), podemos seleccionar \displaystyle x=5 y evaluarlo en el polinomio \displaystyle p(5)=5^2-6(5)+8=25-30+8=3, resultando un valor positivo.

 

esto significa que

 

  • Para todo elemento  \displaystyle x \in (-\infty,2) , el polinomio \displaystyle p(x)=x^2-6x+8 siempre tendrá valores positivos

 

  • Para todo elemento  \displaystyle x \in (2,4) , el polinomio \displaystyle p(x)=x^2-6x+8 siempre tendrá valores negativos

 

  • Para todo elemento  \displaystyle x \in (4,\infty) , el polinomio \displaystyle p(x)=x^2-6x+8 siempre tendrá valores positivos

 

Representación gráfica de intervalos infinto 2 4

 

4Buscar la solución de la inecuación

 

Con la información que hemos generado hasta ahora, ya podemos encontrar la solución de la inecuación

 

\displaystyle x^2-6x+8 > 0

 

es decir, valores dentro de la recta real que al evaluarlos en el polinomio \displaystyle p(x)=x^2-6x+8 el resultado final que se obtenga debe de ser positivo, además distinto de cero. Entonces sólo hace falta buscar las regiones que cumplen la condición

 

En otras palabras, la solución es:

 

\displaystyle x \in (-\infty,2) \cup (4,\infty)

 

Variaciones posibles

 

1Si la ecuación fuese \displaystyle x^2-6x+8 \geq 0, significa que ahora si se admiten valores que al evaluarlos en el polinomio el resultado sea cero, razón por la que incluimos al dos y al cuatro, entonces la solución sería:

 

\displaystyle x \in (-\infty,2] \cup [4,\infty)

 

2Si la ecuación fuese \displaystyle x^2-6x+8 < 0, la solución sería:

 

\displaystyle x \in (2,4)

 

 

3 Si la ecuación fuese \displaystyle x^2-6x+8 \leq 0, la solución sería:

 

\displaystyle x \in [2,4]

 

Segundo caso: \displaystyle \bigtriangleup = 0

 

Vamos a resolver la inecuación: \displaystyle x^2+2x+1 \geq 0

 

Ahora, debemos conocer el signo del discriminante

 

\displaystyle \bigtriangleup = (2)^2-4(1)(1)=4-4=0

 

significa que existe una sola solución  real, y entonces ahora sigamos este proceso:

 

1Encontrar la solucion de la ecuación

 

\displaystyle x^2+2x+1=0

 

Si factorizamos \displaystyle (x+1)^2=0, nos damos cuenta de que la solución es \displaystyle x=-1

 

2 Ubicarla en la recta real e identificar las secciones generadas

 

En este caso como tenemos a una solución, se generan dos secciones en la recta real

 

\displaystyle (-\infty,-1) y \displaystyle (-1,\infty)

 

3 Conocer el signo del polinomio en cada una de las secciones generadas

En este caso basta con conocer el signo del polinomio \displaystyle p(x)=x^2+2x+1 en alguno de los puntos de cualquiera de las dos secciones, ya que para ambas será el mismo resultado.
Si \displaystyle x=0 entonces \displaystyle p(0)=0^2+2(0)+1=1, el cual es un resultado positivo, significa que:

 

  • Si \displaystyle x \in (-\infty,-1) \cup (-1,\infty) entonces \displaystyle p(x)>0

 

  • Si \displaystyle x=-1 entonces \displaystyle p(x)=0

 

4Buscar la solución de la inecuación

 

Como recordamos, la inecuación

 

\displaystyle x^2+2x+1 \geq 0

 

tiene como solución, a valores de la recta real \displaystyle x, tales que al evaluarlos en el polinomio \displaystyle p(x)=x^2+2x+1 el resultado final sea un número mayor o igual a cero, significa que de la información obtenida, nuestra solución es

 

\displaystyle x \in (-\infty,-1) \cup \left \{ -1 \right \} \cup (-1,\infty) = \mathbb{R}

 

Variaciones posibles

 

InecuaciónFactorizaciónSolución
\displaystyle x^2+2x+1 \geq 0\displaystyle (x+1)^2 \geq 0\displaystyle \mathbb{R}
\displaystyle x^2+2x+1 > 0\displaystyle (x+1)^2 > 0\displaystyle \mathbb{R}-\left \{ -1\right \}
\displaystyle x^2+2x+1 \leq 0\displaystyle (x+1)^2 \leq 0\displaystyle x=-1
\displaystyle x^2+2x+1 < 0\displaystyle (x+1)^2 < 0\displaystyle \varnothing

 

Tercer caso: \displaystyle \bigtriangleup < 0

 

Vamos a resolver la inecuación: \displaystyle x^2+ x + 1 > 0

 

Ahora, debemos conocer el signo del discriminante

 

\displaystyle \bigtriangleup = (1)^2-4(1)(1)=1-4=-3

 

significa que no existe solución  real, significa que ahora no se generan secciones, y entonces seguimos este proceso:

 

1 Escogemos a cualquier valor real y lo evaluamos en el polinomio para conocer el signo.

 

Escogemos a \displaystyle x=0 y lo evaluamos en el polinomio

 

\displaystyle p(x)=x^2+ x + 1

 

quedando como resultado \displaystyle p(0)=0^2+ 0 + 1=1 el cual es un valor positivo.

 

Esto nos informa que para todo \displaystyle x \in \mathbb{R} el polinomio \displaystyle p(x)=x^2+ x + 1 siempre será positivo.

 

2Buscar la solución de la inecuación

 

Como buscamos la solución de la inecuación \displaystyle x^2+ x + 1 > 0, y ya sabemos que cualquier número real \displaystyle x que sea ocupado para calcular \displaystyle x^2+ x + 1 siempre nos dará como resultado un número positivo, entonces todo número real se convierte en solución de la inecuación.

 

Si en dado caso, la inecuación fuese \displaystyle x^2+ x + 1 < 0, entonces la solución es vacío, ya que no hay número real \displaystyle x que al ocuparlo para calcular \displaystyle x^2+ x + 1 no dé como resultado algún negativo, que es como lo pide la inecuación.

 

Variaciones posibles

Solución
\displaystyle x^2+ x + 1 > 0\displaystyle \mathbb{R}
\displaystyle x^2+ x + 1 \geq 0\displaystyle \mathbb{R}
\displaystyle x^2+ x + 1 \leq 0\displaystyle \varnothing
\displaystyle x^2+ x + 1 < 0\displaystyle \varnothing

 

Superprof

Pasos para resolver inecuaciones racionales

 

Las inecuaciones racionales se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente que el denominador no puede ser cero.

 

Vamos a resolver la inecuación:

 

\displaystyle \frac{x-2}{x-4} \geq 0

 

1Hallamos las raíces del numerador y del denominador.

 

\displaystyle \left.\begin{matrix} x-2 &=& 0 \\ x-4&=& 0 \end{matrix}\right\} \Rightarrow \left.\begin{matrix} x & = & 2 \\ x & = & 4 \end{matrix}\right\}

 

2 Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas.

 

Representación gráfica de intervalos en la recta

 

3 Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo

 

Consideremos

 

\displaystyle f(x)=\frac{x-2}{x-4}

 

Ahora evaluemos en algún punto de cada uno de los intervalos generados, tomando en cuenta que no se puede evaluar en \displaystyle x=4 porque en ese lugar se indetermina la fracción, y recordando que \displaystyle f(2)=0

 

  • Si tomamos a \displaystyle x=0 del intervalo \displaystyle (-\infty,2), tenemos que

 

\displaystyle f(0)=\frac{0-2}{0-4}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}>0

 

el cual es un valor positivo

 

  • Si tomamos a \displaystyle x=3 del intervalo \displaystyle (2,4), tenemos que

 

\displaystyle f(3)=\frac{3-2}{3-4}=\frac{1}{-1}=-1<0

 

el cual es un valor negativo

 

  • Si tomamos a \displaystyle x=5 del intervalo \displaystyle (4,\infty), tenemos que

 

\displaystyle f(5)=\frac{5-2}{5-4}=\frac{3}{1}=3>0

 

el cual es un valor positivo

 

Representación gráfica de intervalos en la recta de números

 

4 La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la fracción polinómica.

 

Ahora con esta información, ya podemos encontrar la solución, basta con tomar los intervalos que generan el mismo signo que tiene la inecuacion racional, es decir positivo e igual a cero, veamos:

 

\displaystyle x \in (-\infty,2) \cup \left \{ 2\right \} \cup (4,\infty) = (-\infty,2] \cup (4,\infty)

 

El 4 está abierto porque es una raíz del denominador y no puede ser cero el denominador

 

Variaciones posibles

 

1 Si la ecuación fuese

 

\displaystyle \frac{x-2}{x-4} > 0

 

la solución sería:

 

\displaystyle x \in (-\infty,2) \cup (4,\infty)

 

2 Si la ecuación fuese

 

\displaystyle \frac{x-2}{x-4} < 0

 

la solución sería:

 

\displaystyle x \in (2,4)

 

3 Si la ecuación fuese

 

\displaystyle \frac{x-2}{x-4} \leq 0

 

la solución sería:

 

\displaystyle x \in [2,4)

 

Ejemplo de inecuación resuelta

 

Vamos a resolver la inecuación:

 

\displaystyle \frac{3x+7}{x+5} \geq 5

 

1 Pasamos el 5 al primer miembro y desarrollamos la fracción

 

\displaystyle \frac{3x+7}{x+5} -5 \geq 0

 

\displaystyle \frac{3x+7-5(x+5)}{x+5} \geq 0

 

\displaystyle \frac{3x+7-5x-25}{x+5} \geq 0

 

\displaystyle \frac{-2x-18}{x+5} \geq 0

 

2 Hallamos las raíces del numerador y del denominador

 

\displaystyle \left.\begin{matrix} -2x-18 &=& 0 \\ x+5      &=& 0 \end{matrix}\right\} \Rightarrow \left.\begin{matrix} x & = & -9 \\ x & = & -5 \end{matrix}\right\}

 

 

Representación gráfica de intervalos -9 -5

 

3 Evaluamos para conocer el signo en cada región, proponiendo un valor representativo de cada una de ellas:

 

 

  • Si tomamos a \displaystyle x=-10 del intervalo \displaystyle (-\infty,-9), tenemos que

 

\displaystyle \frac{-2(-10)-18}{-10+5}=\frac{2}{-5}=-\frac{2}{5}<0

 

el cual es un valor negativo

 

  • Si tomamos a \displaystyle x=-7 del intervalo \displaystyle (-9,-5), tenemos que

 

\displaystyle \frac{-2(-7)-18}{-7+5}=\frac{-4}{-2}=2>0

 

el cual es un valor positivo

 

  • Si tomamos a \displaystyle x=0 del intervalo \displaystyle (-5,\infty), tenemos que

 

\displaystyle \frac{-2(0)-18}{0+5}=\frac{-18}{5}<0

 

el cual es un valor negativo

 

4La solución se encuentra seleccionando a los intervalos que generan el mismo signo que la inecuación propuesta, es decir mayor o igual que cero

 

\displaystyle x \in \left \{ -9\right \} \cup (-9,-5)=[-9,-5)

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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