Pasos para resolver inecuaciones de segundo grado
Lo primero que debemos hacer, es recordar ciertas propiedades de las ecuaciones de segundo grado, relacionadas con su tipo de soluciones:
si es que tenemos el signo de su discriminante
.
donde hay tres casos posibles:
- Si
, entonces hay dos soluciones reales distintas
- Si
, entonces hay una única solución real, con multiplicidad dos
- Si
Vamos a resolver la inecuación: 
Ahora, debemos conocer el signo del discriminante
significa que existen dos soluciones reales distintas de la ecuación (o raíces del polinomio), y entonces ahora sigamos este proceso:
1Encontrar las soluciones de la ecuación
Igualamos con cero al polinomio
Factorizamos
Y entonces las soluciones son:
y
vemos que las soluciones son raíces reales distintas porque el discriminante es mayor que cero.
2 Ubicarlas en la recta real e identificar las secciones generadas
Primero, ubicamos los valores obtenidos en la recta real, colocamos encima de ellos dos círculos vacíos con la finalidad de representar geométricamente, que en la inecuación no se permite la igualdad con cero, y además observamos que se generan tres regiones
La razón de esto es la siguiente: Si
, entonces el polinomio valuado en las soluciones, da como resultado cero
y por otro lado la inecuación
al ser estrictamente mayor que cero, no admite valores
que al evaluarlos en el polinomio, el resultado genere un cero, en este caso son justamente
y
. Por esta razón se ponen los círculos vacíos, para quitar a los valores que no admite la inecuación y tomarlos únicamente como referencia. En caso contrario, de admitir la inecuación iguadad con cero, se colocan círculos rellenos.
3 Conocer el signo del polinomio en cada una de las secciones generadas
Como observamos en el paso anterior, se generaron tres secciones, así que por cada una de ellas seleccionemos a uno de sus valores y evaluemos en el polinomio para conocer su signo:
- Para
, podemos seleccionar 
y evaluarlo en el polinomio 
, resultando un valor positivo.
- Para
, podemos seleccionar 
y evaluarlo en el polinomio 
, resultando un valor negativo.
- Para
, podemos seleccionar 
y evaluarlo en el polinomio 
, resultando un valor positivo.
esto significa que
- Para todo elemento
, el polinomio siempre tendrá valores positivos
- Para todo elemento
, el polinomio siempre tendrá valores negativos
- Para todo elemento
, el polinomio siempre tendrá valores positivos
4Buscar la solución de la inecuación Con la información que hemos generado hasta ahora, ya podemos encontrar la solución de la inecuación
es decir, valores dentro de la recta real que al evaluarlos en el polinomio
el resultado final que se obtenga debe de ser positivo, además distinto de cero. Entonces sólo hace falta buscar las regiones que cumplen la condición En otras palabras, la solución es:
Variaciones posibles
1Si la ecuación fuese 
, significa que ahora si se admiten valores que al evaluarlos en el polinomio el resultado sea cero, razón por la que incluimos al dos y al cuatro, entonces la solución sería:
2Si la ecuación fuese 
3 Si la ecuación fuese 
, la solución sería:
Segundo caso:
Vamos a resolver la inecuación:
significa que existe una sola solución real, y entonces ahora sigamos este proceso: 1Encontrar la solucion de la ecuación
Si factorizamos
, nos damos cuenta de que la solución es
2 Ubicarla en la recta real e identificar las secciones generadas En este caso como tenemos a una solución, se generan dos secciones en la recta real
y 
3 Conocer el signo del polinomio en cada una de las secciones generadas En este caso basta con conocer el signo del polinomio
en alguno de los puntos de cualquiera de las dos secciones, ya que para ambas será el mismo resultado. Si
entonces
, el cual es un resultado positivo, significa que:
- Si
entonces 
- Si entonces
4Buscar la solución de la inecuación Como recordamos, la inecuación
tiene como solución, a valores de la recta real
, tales que al evaluarlos en el polinomio
el resultado final sea un número mayor o igual a cero, significa que de la información obtenida, nuestra solución es
Variaciones posibles
| Inecuación | Factorización | Solución |
|---|---|---|
|  |  |
 |  |  |
 |  | |
 |
Tercer caso: 
significa que no existe solución real, significa que ahora no se generan secciones, y entonces seguimos este proceso:
del intervalo 
del intervalo 
, tenemos que
del intervalo 
, tenemos que
, tenemos que
Cargando...
Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
Hay un error en el ejercicio 14. El intervalo (-3,3) da resultado positivo por lo que no es solución de la inecuación. P(0)=0^4-25•0^2+144>0
Hola tienes razón en que (-3,3) no es solución de la inecuación, pero en el articulo no menciona que lo sea, podrías hacernos el favor de ayudarnos en donde lo dice y con gusto rectificamos.
Ayúdame a resolver esto: una hamburguesa cuesta $5 y un gaseosa $2. Un cliente tiene máximo $20.¿Cuántas hamburguesas y gaseosas puede comprar?
✅ Datos
Precio de una hamburguesa = $5
Precio de una gaseosa = $2
Dinero máximo = $20
Buscamos todas las combinaciones posibles con:
5
ℎ
+
2
𝑔
≤
20
5h+2g≤20
donde h = hamburguesas (entero ≥ 0)
y g = gaseosas (entero ≥ 0)
✅ Probando cada cantidad de hamburguesas
Si compra 0 hamburguesas
Usa solo gaseosas:
$20 ÷ $2 = 10 gaseosas
➡ (0 hamburguesas, 10 gaseosas)
Si compra 1 hamburguesa
Costo hamburguesas: 1 × 5 = $5
Dinero restante: 20 – 5 = $15
Gaseosas: 15 ÷ 2 = 7.5 → solo se puede 7 gaseosas
➡ (1 hamburguesa, 7 gaseosas)
Si compra 2 hamburguesas
Costo: 2 × 5 = $10
Resto: 20 – 10 = $10
Gaseosas: 10 ÷ 2 = 5 gaseosas
➡ (2 hamburguesas, 5 gaseosas)
Si compra 3 hamburguesas
Costo: 3 × 5 = $15
Resto: 20 – 15 = $5
Gaseosas: 5 ÷ 2 = 2.5 → solo 2 gaseosas
➡ (3 hamburguesas, 2 gaseosas)
Si compra 4 hamburguesas
Costo: 4 × 5 = $20
Resto: 0
Gaseosas: 0
➡ (4 hamburguesas, 0 gaseosas)
Si compra 5 hamburguesas
5 × 5 = $25, eso pasa de $20 ❌ No se puede
✅ Todas las combinaciones válidas
Hamburguesas Gaseosas Total
0 10 0×5 + 10×2 = 20
1 7 1×5 + 7×2 = 19
2 5 2×5 + 5×2 = 20
3 2 3×5 + 2×2 = 19
4 0 4×5 + 0 = 20
✅ Estas son todas las combinaciones posibles con máximo $20.
3 hamburguesas y 2 gaseosas
En el ejercicio 9 de inecuaciones hay un error en el resultado, crec. Pone (-4,3) U (3,4) y creo que deberia ser (-4,-3)U(3,4). S no no lo comprendo.
Hola, fue un error nuestro discúlpanos ya se corrigió y gracias por tu ayuda.
(3ײ + 2× + 5) +(4ײ – × + 7)