Pasos para resolver inecuaciones de segundo grado

 

Primer caso: Δ > 0

 

Vamos a resolver la inecuación: x² − 6x + 8 > 0

 

1 Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.

 

x² − 6x + 8 = 0

 

 

Las soluciones son raíces reales distintas porque el discriminante es mayor que cero (Δ > 0)

 

2 Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

 

Los puntos extremos están en blanco porque no pertenecen a la solución, ya que no es mayor o igual

 

 

P(0) = 0² − 6 · 0 + 8 > 0

 

P(3) = 3² − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0

 

P(5) = 5² − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0

 

 

3 La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio.

 

 

Los intervalos son abiertos porque 2 y 4 no están incluidos en la solución

 

x ∈ (-∞, 2) [4, ∞)

 

 

Variaciones posibles

 

 

1 Si la ecuación fuese x² − 6x + 8 ≥ 0 la solución sería:

 

x ∈ (-∞, 2] (4, ∞]

 

Al ser mayor igual, 2 y 4 pertenecen a la solución.

 

 

2Si la ecuación fuese x² − 6x + 8 < 0 la solución sería:

 

x ∈ (2, 4)

 

 

3 Si la ecuación fuese x² − 6x + 8 ≤ 0 la solución sería:

 

x ∈ [2, 4]

 

Al ser menor o igual, 2 y 4 pertenecen a la solución.

 

Segundo caso: Δ = 0

 

1 Consideremos el caso en el que discriminante es cero.

x² + 2x +1 ≥ 0

 

2 Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y resolvemos la ecuación.

x² + 2x +1 = 0

 

3 Obtenemos una raíz doble. Factorizamos:

(x + 1)² ≥ 0

 

4 Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución es

 

Variaciones posibles

 

Solución
x² + 2x +1 ≥ 0 (x + 1)² ≥ 0
x² + 2x +1 > 0 (x + 1)² > 0
x² + 2x +1 ≤ 0 (x + 1)² ≤ 0 x = − 1
x² + 2x +1 < 0 (x + 1)² < 0

 

Tercer caso: Δ < 0

 

1 Consideremos el caso en que discriminante es menor que cero.

 

x² + x +1 > 0

 

2 Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y resolvemos la ecuación

 

x² + x + 1 = 0

 

 

3Cuando no tiene raíces reales, le damos al polinomio cualquier valor, por ejemplo, x = 0

 

0² + 0 +1 > 0

4Como se cumple la desigualdad, la solución es .

 

Si no cumpliera la desigualdad, no tendría solución.

 

Solución
x² + x +1 ≥ 0
x² + x +1 > 0
x² + x +1 ≤ 0
x² + x +1 < 0

 

 

Pasos para resolver inecuaciones racionales

 

 

Las inecuaciones racionales se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente que el denominador no puede ser cero.

 

Vamos a resolver la inecuación:

 

1 Hallamos las raíces del numerador y del denominador.

 

x − 2 = 0      x = 2

x − 4 = 0      x = 4

 

2 Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas.

 

 

3 Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

 

 

 

 

 

 

4 La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la fracción polinómica.

 

x ∈ (-∞, 2] (4, ∞)

 

El 4 está abierto porque es una raíz del denominador y no puede ser cero

 

Variaciones posibles

 

1 Si la ecuación fuese la solución sería:

 

x ∈ (-∞, 2) (4, ∞)

 

2 Si la ecuación fuese la solución sería:

 

x ∈ (2, 4)

 

3 Si la ecuación fuese la solución sería:

 

x ∈ [2, 4)

 

 

El 4 está abierto porque es una raíz del denominador y no puede ser cero

 

 

Ejemplo de inecuación resuelta

 

 

 

 

1 Pasamos el 2 al primer miembro y ponemos a común denominador.

 

 

2 Hallamos las raíces del numerador y del denominador

 

−x + 7 = 0      x = 7

x − 2 = 0        x = 2

 

3 Evaluamos el signo:

 

 

 

 

 

 

x ∈ (-∞, 2) (7, ∞)

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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