¿Qué es una inecuación?

Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que sus dos miembros aparecen ligados por uno de estos signos:

 

\begin{matrix} < & \textup{menor que} & 2x-1<7\\ \\ \leq &\; \; \; \; \; \textup{menor o igual que}\; \; \; \; \; & 2x-1\leq 7\\ \\ > & \textup{mayor que} & 2x-1>7\\ \\ \geq & \textup{mayor o igual que} & 2x-1\geq 7 \end{matrix}

 

La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que verifica la inecuacíón.

Podemos expresar la solución de la inecuación mediante una representación gráfica o un intervalo:

 

Ejemplos

 

1 Resolver la ecuación 2x-1<7

 

2x-1<7

2x<8

x< 4

Representación gráfica:      Representación gráfica del intervalo abierto de menos infinito a cuatro

Intervalo: (-\infty ,4)

 

2 Resolver la ecuación 2x-1\leq 7

 

2x-1\leq 7

2x\leq 8

x\leq 4

Representación gráfica:      Representación gráfica del intervalo cerrado de menos infinito a cuatro

Intervalo: (-\infty ,4]

3 Resolver la ecuación 2x-1> 7

 

2x-1>7

2x>8

x>4

Representación gráfica:      Representación gráfica del intervalo abierto de cuatro a infinito

Intervalo: (4,\infty )

 

4 Resolver la ecuación 2x-1\geq 7

 

2x-1\geq 7

2x\geq 8

x\geq 4

Representación gráfica:      Representación gráfica del intervalo cerrado de cuatro a infinito

Intervalo: [4,\infty )

Criterios de equivalencia de inecuaciones

 

Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo número, la inecuación resultante es equivalente a la dada.

 

3x+4<5

3x+4-4<5-4

3x<1

 

Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número positivo, la inecuación resultante es equivalente a la dada.

 

2x<6

2x\div 2<6\div 2

x<3

 

Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número negativo, la inecuación resultante cambia de sentido y es equivalente a la dada.

 

-x<5

-x\cdot (-1)>5\cdot (-1)

x>-5

 

Superprof

Inecuaciones lineales

 

Resolución de inecuaciones lineales

 

Consideremos la inecuación:

 

2-\left [ -2\cdot (x+1)-\cfrac{x-3}{2} \right ]\leq \cfrac{2x}{3}-\cfrac{5x-3}{12}+3x

 

La resolveremos aplicando los siguientes pasos, si son posibles realizarlos:

1 Quitar los signos de agrupación

 

2-\left [ -2x-2-\cfrac{x-3}{2} \right ]\leq \cfrac{2x}{3}-\cfrac{5x-3}{12}+3x

 

2+2x+2+\cfrac{x-3}{2}\leq \cfrac{2x}{3}-\cfrac{5x-3}{12}+3x

2 Quitar denominadores.

 

24+24x+24+6\cdot (x-3)\leq 8x-(5x-3)+36x

24+24x+24+x-18\leq 8x-5x+3+36x

3 Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro.

 

24x+6x-8x+5x-36x\leq 3-24-24+18

4 Efectuar las operaciones

 

-9x\leq -27

5 Como el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por -1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad.

 

9x\geq 27

6 Despejamos la incógnita.

 

x\geq 3

 

Obtenemos la solución como una desigualdad, pero ésta también podemos expresarla

De forma gráfica:           Representación gráfica del intervalo cerrado de tres a infinito

 

Como un intervalo: [3,\infty )

Ejercicios de inecuaciones lineales

1 2(x+1)-3(x-2)<x+6

 

2(x+1)-3(x-2)<x+6

2x+2-3x+6<x+6

2x-3x-x<-2-6+6

-2x<-2

x>1

Representación gráfica del intervalo abierto de uno a infinito

(1,-\infty )

 

2 \cfrac{3x+1}{7}-\cfrac{2-4x}{3}\geq \cfrac{-5x-4}{14}+\cfrac{7x}{6}

 

\cfrac{3x+1}{7}-\cfrac{2-4x}{3}\geq \cfrac{-5x-4}{14}+\cfrac{7x}{6}

Multiplicamos ambos miembros por el mcm de los denominadores

\textup{mcm}(7,3,14,6)=42

42\cdot \left (\cfrac{3x+1}{7}-\cfrac{2-4x}{3} \right )\geq \left (\cfrac{-5x-4}{14}+\cfrac{7x}{6} \right )\cdot 42

6(3x+1)-14(2-4x)\geq 3(-5x-4)+49x

18x+6-28+56x\geq -15x-12+49x

18x+56x+15x-49x\geq -12-6+28

40x\geq 10

x\geq \cfrac{10}{40}

x\geq \cfrac{1}{4}

Representación gráfica del intervalo cerrado de un cuarto a infinito

\left [ \cfrac{1}{4},\infty \right ]

 

3 6\left ( \cfrac{x+1}{8}-\cfrac{2x-3}{16} \right )> 3\left ( \cfrac{3}{4}\; x-\cfrac{1}{4} \right )-\cfrac{3}{8}\, (3x-2)

 

6\left ( \cfrac{x+1}{8}-\cfrac{2x-3}{16} \right )> 3\left ( \cfrac{3}{4}\; x-\cfrac{1}{4} \right )-\cfrac{3}{8}\, (3x-2)

\cfrac{6(x+1)}{8}-\cfrac{6(2x-3)}{16}> \cfrac{9}{4}\; x-\cfrac{3}{4} -\cfrac{9}{8}\, x+\cfrac{6}{8}

\textup{mcm}(8,16,4)=16

12x+12-12x+18>36x-12-18x+12

12+18>36x-18x

18x<30

x<\cfrac{5}{3}

\left ( -\infty ,\cfrac{5}{3} \right )

 

4 \cfrac{2}{3}\left [ x-\left ( 1-\cfrac{x-2}{3} \right ) \right ]+1\leq x

 

\cfrac{2}{3}\left [ x-\left ( 1-\cfrac{x-2}{3} \right ) \right ]+1\leq x

\cfrac{2}{3}\left [ x-1+\cfrac{x-2}{3} \right ]+1\leq x

\cfrac{2}{3}\, x-\cfrac{2}{3}+\cfrac{2x-4}{9}+1\leq x

6x-6+2x-4+9\leq 9x

-x\leq 1

x\geq -1

Representación gráfica del intervalo cerrado de menos uno a infinito

[-1,\infty )

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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