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¿Qué es una inecuación?
Inecuaciones lineales
Ejercicios de inecuaciones lineales

¿Qué es una inecuación?

Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que sus dos miembros aparecen ligados por uno de estos signos:

$\begin{matrix} < & \textup{menor que} & 2x-1<7\\ \\ \leq &\; \; \; \; \; \textup{menor o igual que}\; \; \; \; \; & 2x-1\leq 7\\ \\ > & \textup{mayor que} & 2x-1>7\\ \\ \geq & \textup{mayor o igual que} & 2x-1\geq 7 \end{matrix}$

La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que verifica la inecuacíón.

Podemos expresar la solución de la inecuación mediante una representación gráfica o un intervalo:

Ejemplos

1 Resolver la ecuación $2x-1<7$

$2x-1<7$

$2x<8$

$x< 4$

Representación gráfica: Representación gráfica del intervalo abierto de menos infinito a cuatro

Intervalo: $(-\infty ,4)$

2 Resolver la ecuación $2x-1\leq 7$

$2x-1\leq 7$

$2x\leq 8$

$x\leq 4$

Representación gráfica: Representación gráfica del intervalo cerrado de menos infinito a cuatro

Intervalo: $(-\infty ,4]$

3 Resolver la ecuación $2x-1> 7$

$2x-1>7$

$2x>8$

$x>4$

Representación gráfica: Representación gráfica del intervalo abierto de cuatro a infinito

Intervalo: $(4,\infty )$

4 Resolver la ecuación $2x-1\geq 7$

$2x-1\geq 7$

$2x\geq 8$

$x\geq 4$

Representación gráfica: Representación gráfica del intervalo cerrado de cuatro a infinito

Intervalo: $[4,\infty )$

Criterios de equivalencia de inecuaciones

Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo número, la inecuación resultante es equivalente a la dada.

$3x+4<5$

$3x+4-4<5-4$

$3x<1$

Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número positivo, la inecuación resultante es equivalente a la dada.

$2x<6$

$2x\div 2<6\div 2$

$x<3$

Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número negativo, la inecuación resultante cambia de sentido y es equivalente a la dada.

$-x<5$

$-x\cdot (-1)>5\cdot (-1)$

$x>-5$

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Inecuaciones lineales

Resolución de inecuaciones lineales

Consideremos la inecuación:

$2-\left [ -2\cdot (x+1)-\cfrac{x-3}{2} \right ]\leq \cfrac{2x}{3}-\cfrac{5x-3}{12}+3x$

La resolveremos aplicando los siguientes pasos, si son posibles realizarlos:

1 Quitar los signos de agrupación

$2-\left [ -2x-2-\cfrac{x-3}{2} \right ]\leq \cfrac{2x}{3}-\cfrac{5x-3}{12}+3x$

$2+2x+2+\cfrac{x-3}{2}\leq \cfrac{2x}{3}-\cfrac{5x-3}{12}+3x$

2 Quitar denominadores.

$24+24x+24+6\cdot (x-3)\leq 8x-(5x-3)+36x$

$24+24x+24+x-18\leq 8x-5x+3+36x$

3 Agrupar los términos en $x$ a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro.

$24x+6x-8x+5x-36x\leq 3-24-24+18$

4 Efectuar las operaciones

$-9x\leq -27$

5 Como el coeficiente de la $x$ es negativo multiplicamos por $-1$ , por lo que cambiará el sentido de la desigualdad.

$9x\geq 27$

6 Despejamos la incógnita.

$x\geq 3$

Obtenemos la solución como una desigualdad, pero ésta también podemos expresarla

De forma gráfica: Representación gráfica del intervalo cerrado de tres a infinito

Como un intervalo: $[3,\infty )$

Ejercicios de inecuaciones lineales

1 $2(x+1)-3(x-2)<x+6$

$2(x+1)-3(x-2)<x+6$

$2x+2-3x+6<x+6$

$2x-3x-x<-2-6+6$

$-2x<-2$

$x>1$

Representación gráfica del intervalo abierto de uno a infinito

$(1,-\infty )$

2 $\cfrac{3x+1}{7}-\cfrac{2-4x}{3}\geq \cfrac{-5x-4}{14}+\cfrac{7x}{6}$

$\cfrac{3x+1}{7}-\cfrac{2-4x}{3}\geq \cfrac{-5x-4}{14}+\cfrac{7x}{6}$

Multiplicamos ambos miembros por el mcm de los denominadores

$\textup{mcm}(7,3,14,6)=42$

$42\cdot \left (\cfrac{3x+1}{7}-\cfrac{2-4x}{3} \right )\geq \left (\cfrac{-5x-4}{14}+\cfrac{7x}{6} \right )\cdot 42$

$6(3x+1)-14(2-4x)\geq 3(-5x-4)+49x$

$18x+6-28+56x\geq -15x-12+49x$

$18x+56x+15x-49x\geq -12-6+28$

$40x\geq 10$

$x\geq \cfrac{10}{40}$

$x\geq \cfrac{1}{4}$

Representación gráfica del intervalo cerrado de un cuarto a infinito

$\left [ \cfrac{1}{4},\infty \right ]$

3 $6\left ( \cfrac{x+1}{8}-\cfrac{2x-3}{16} \right )> 3\left ( \cfrac{3}{4}\; x-\cfrac{1}{4} \right )-\cfrac{3}{8}\, (3x-2)$

$6\left ( \cfrac{x+1}{8}-\cfrac{2x-3}{16} \right )> 3\left ( \cfrac{3}{4}\; x-\cfrac{1}{4} \right )-\cfrac{3}{8}\, (3x-2)$

$\cfrac{6(x+1)}{8}-\cfrac{6(2x-3)}{16}> \cfrac{9}{4}\; x-\cfrac{3}{4} -\cfrac{9}{8}\, x+\cfrac{6}{8}$

$\textup{mcm}(8,16,4)=16$

$12x+12-12x+18>36x-12-18x+12$

$12+18>36x-18x$

$18x<30$

$x<\cfrac{5}{3}$

$\left ( -\infty ,\cfrac{5}{3} \right )$

4 $\cfrac{2}{3}\left [ x-\left ( 1-\cfrac{x-2}{3} \right ) \right ]+1\leq x$

$\cfrac{2}{3}\left [ x-\left ( 1-\cfrac{x-2}{3} \right ) \right ]+1\leq x$

$\cfrac{2}{3}\left [ x-1+\cfrac{x-2}{3} \right ]+1\leq x$

$\cfrac{2}{3}\, x-\cfrac{2}{3}+\cfrac{2x-4}{9}+1\leq x$

$6x-6+2x-4+9\leq 9x$

$-x\leq 1$

$x\geq -1$

Representación gráfica del intervalo cerrado de menos uno a infinito

$[-1,\infty )$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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